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信号第二章
2.2零输入响应与零状态响应
从上节分析可知,系统的解可以分解为齐次解yh(t)和特解yp(t)。
由于齐次解的函数依赖于系统本身特性,与激励函数的形式无关(虽然系数A与激励信号有关),所以齐次解也称为自由响应(naturalresponse),而特解的形式是由激励函数决定,所以yp(t)也称为系统的强迫响应(forcedresponse)。
线性系统可以根据需要分解为其它的形式,以方便计算或适应不同的物理解释。
其中分解为零输入响应和零状态响应是重要的一种。
2.2.1零输入响应与零状态响应
零输人响应(zero-inputresponse):
没有外加激励信号的作用,只由起始状态(起始时刻系统的储能)所产生的响应。
一般用yzi(t)表示。
零状态响应(zero-stateresponse):
不考虑起始时刻系统的储能的作用(起始状态为零),由
系统的外部激励信号所产生的响应。
一般用yzs(t)表示。
由式(2-2)可知,系统的全响应为
y(t)=yh(t)+yp(t)
当特征方程无重根时,一般形式为
y(t)=
n
αkt
∑
k=1
Ake+yp
(t)
对于yzi(t),由于外部激励为零,则yzi(t)中不包含yp(t),所以yzi(t)的形式与齐次解相同
yzi
(t)=
n
∑
k=1
Azik
eαkt
(2-7)
zizi
由于外部没有加激励,所以系统的储能没有发生变化,所以y(k)(0+)=y(k)(0−)=y(k)(0−),
zi
也就是说,只要用起始状态y(k)(0−)来确定y
(t)中的系数Azik。
(k)−
对于yzs(t),由于不考虑起始时刻系统的储能的作用,即yzs(0)=0,这时yzs(t)的形式为
n
zs∑
zskp
y(t)=
A
k=1
eαkt+y
(t)
(2-8)
虽然y(k)(0−)=0,但由于激励x(t)的加入,系统的初始状态可能会产生跳变,使得
zs
y(k)(0+)≠0,因此,求零状态响应y
(t)的系数A要用跳变量y(k)(0+)=y(k)(0+)−y(k)(0−)来确
zszs
定。
这样,全响应可以写成
zskzi
nn
∑zik
∑zskp
y(t)=
Aeαkt+
Aeαkt+y
(t)=
(2-9)
k=1
k=1
零输入响应零状态响应
n
∑(zikzsk)eNp
A+A
αkt+y
(t)
(2-10)
k=1强迫响应
自由响应
可以看出,两种分解方法有着明显的区别,虽然自由响应yh(t)与零输入响应yzi(t)都能满
(k)+
足齐次方程的解,但Ak是由系统的初始条件y
(0)和外部激励x(t)共同决定的,而Azik仅仅
zi
由系统的起始储能y(k)(0−)决定。
在起始条件为零的条件下,必然有y
(t)=0,但
yzs
(t)不为零,
而且yzs(t)中所包含的自由响应分量一般也不为零。
也就是说,自由响应也可以分解为两部分,
一部分由系统的起始储能产生,另一部分由激励信号产生。
当系统的起始状态为零时,前一部
分为零时,后一部分仍可存在。
例2-9系统的微分方程为
dy(t)+3y(t)=3u(t)
dt
且y(0−)=3,求自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应和完全响应。
2
解
1)求齐次解,由特征方程可方便地获得特征根为α=−3,所以
h
y(t)=Ae−3t
而yp(t)=1
所以完全响应为
y(t)=Ae−3t+1(t>0)
由微分方程式两端奇异函数平衡条件可以判断,y(t)在起始点无跳变,y(0+)=y(0−)=3。
利
2
用y(0+)可求出系数A=1,所以
2
y(t)=1e−3t+1(t>0)
2
y(t)=1e−3t,y
(t)=1
h2p
2)求零输入响应,这时
zizi
借助y(0−)=3可获得A=3,于是有
y(t)=Ae−3t
2zi2
yzi
(t)=3e−3t
2
再求零状态响应,其形式为
+
yzi(t)=Azs
e−3t+1
这时令yzs(0)=0
(起始点无跳变)代入到yzs(t)中,可以得到Azs=−1,所以得到
这样,全响应可分解为
yzi
(t)=−e−3t+1
2.2.2系统响应的线性特性分析
在上一章中曾指出,线性时不变系统必须满足均匀性与叠加性及微积分特性。
但这种线性时不变特性是在—定条件下满足的。
下面举例说明。
若系统的微分方程为
dy(t)+2y(t)=x(t)
dt
起始状态y(0−)=2时,则系统对激励x(t)=e−t的响应y(t)为
1
y1(t)=e
−t
−2t
1
+e−t
若把激励信号乘以5,即x2(t)=5e
,则响应y2(t)可以求得为
y2(t)=−3e
−2t
+5e−t
很明显,y2(t)≠5y1(t),不符合均匀性的要求,但不能据此说明该系统是一个非线性系统。
产
生这一现象的原因在于,虽然系统的激励被放大,但是系统的起始储能y(0−)没有随着外部激
励而变化,所以导致系统的全响应不满足线性特性。
那么我们将系统的响应分为零输入响应和零状态响应来分别计算,根据微分方程和起始状
−t
态可以容易获得在x1(t)=e
及y(0−)=2的条件下,系统的响应为
y1(t)=
2Ne
−2t
+(−e
−2t
+e−t)
零输入响应零状态响应
−t
而在x2(t)=5e
和y(0−)=2的条件下,响应为
y2(t)=
2Ne
−2t
+5(−e
−2t
+e−t)
零输入响应零状态响应
比较y1(t)和y2(t)可见,零状态响应满足线性系统的特性。
2
若把y(0−)也按照同样的比例放大得y(0−)=10,则在x(t)=5e−t激励下,响应为
y3(t)=
1N0e
−2t
+5(−e
−2t
+e−t)
零输入响应零状态响应
可见,这时y3(t)与y1(t)满足了线性系统的均匀性,但是这是以改变系统的起始储能为条件的。
从上面的例子可以说明常系数线性微分方程描述的系统在下面几点上是线性的。
1)响应的可分解性:
系统响应可分解为零输入响应和零状态响应;
2)零状态响应线性:
系统的零状态响应对于各激励信号呈线性,且系统也为时不变系统,所以零状态响应满足微积分特性,即激励为x(t)时,零状态响应为yzs(t),而激励为x(t)的微分或积分时,零状态响应也为yzs(t)的微分或积分;
3)零输入响应线性:
系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。
现在我们己讨论了将响应分解为零输入响应和零状态响应的方法及求解方法,讨论了线性特性,从讨论中可看出,求零输入响应比较简单,而求零状态响应比较复杂。
这种分解方法为现代时域分析方法——卷积分析法提供了途径。
2.3冲激响应与阶跃响应
2.3.1定义
冲激响应(impulseresponse):
以单位冲激信号δ(t)作为激励,系统产生的零状态响应称
为“单位冲激响应”,或简称“冲激响应”。
通常用h(t)表示。
阶跃响应(stepresponse):
以单位阶跃信号u(t)作为激励,系统产生的零状态响应称为“单位阶跃响应”,或简称“阶跃响应”。
通常用g(t)表示。
我们对这两种响应感兴趣的第一个原因是冲激函数和阶跃函数是两种典型信号,求这两种信号引起的零状态响应是线性系统分析中常见的典型问题。
第二个原因是为用卷积积分分析系统的零状态响应作准备。
我们前面介绍过,信号可以分解为阶跃信号或冲激信号的组合,这样可以借助于冲激响应或阶跃响应分析系统的零状态响应。
另一方面,h(t)还与今后将要介绍的系统函数及系统的稳定性等许多系统的特性有关。
所以h(t)和g(t)是系统的两个重要响应。
2.3.2
h(t)的求解
若系统的微分方程为
dny(t)dn−1y(t)dy(t)
dmx(t)dm−1x(t)dx(t)
a
ndtn
+an−1
dtn−1
+"a1dt
+a0y(t)=bm
dtm
+bm−1
dtm−1
+"b1dt
+b0x(t)
在x(t)=δ(t)时求得的零状态响应即为h(t)。
当把x(t)=δ(t)代入微分方程,则在方程的右
端将出现δ(t)及其各阶导数,为保证方程两端奇异函数平衡,则h(t)中是否包含有δ(t)及导数
将和n与m的相对大小有关。
一般有n>m,在这种情况下,方程右端最高阶次为d
mδ(t)
,为
dtm
nmn−1
m−1
dn−mh(t)
与之相匹配,则dh(t)中应包含有ddtn
δ(t),则d
dtm
h(t)中应包含有ddtn−1
δ(t),以此类推,
dtm−1
dtn−m
将包含有δ(t),而
dn−m−1h(t)dh(t)
"、h(t)中将不包含有δ(t)函数。
在n=m的情况下,h(t)中
dtn−m−1dt
将包含有δ(t)信号,而在n 今后我们可以看 到,为保证系统稳定,有n≥m的要求。 这里我们仅讨论n>m的情况。 由定义可知,δ(t)及其各阶导数在t>0时都为零,于是h(t)的形式应与齐次解的形式相 同,不包含特解。 若系统的特征方程共有n个非重根,则 h(t)=( n ∑ k=1 αkt Ake)u(t) (2-11) 这说明δ(t)的加入,在t=0时刻引起了系统储能的变化,而在t>0以后,外部激励将不 存在,这样只有冲激信号引起的系统储能起作用,所以h(t)必然与齐次解形式相同。 剩下的问题是确定系数Ak 。 由于系统的起始状态为零,即 h(0−)=h'(0−)="=h(n−1)(0−)=0,我们可以利用2.1节所述的奇异函数平衡法来求出初始条件 k h(0+)、h'(0+)"h(n−1)(0+),从而代入式(2-11)来确定系数A。 但这种方法求解过程比较麻烦, 容易引起错误。 现在,我们再介绍一种确定Ak的方法,即将h(t)的表达式(2-11)及h(t)的各阶 导数代入微分方程,使方程两端奇异函数的系数相匹配,从而求出Ak,下面将举例说明。 例2-10系统的微分方程为 2 (L2−M2)di2(t)+2RLdi2(t)+R2i(t)=Mdu(t) dt2 dt2dt 试求其冲激响应。 解 首先求其特征根为 RR 于是有 α1=−, 1 2 L+M α2=− L−M 对h(t)逐次求导得到 h(t)=(Aeα1t +Aeα2t)u(t) dh(t)=(A+A)δ(t)+(Aαeα1t+Aαeα2t)u(t) dt121122 d2h(t) =(A+A)δ'(t)+(Aα +Aα )δ(t)+(Aα2eα1t+Aα2eα2t)u(t) dt2 1211221122 2 将h(t)、dh(t)、dh(t)代入微分方程,利用奇异函数平衡的原则,令左右两端对应的奇 dtdt2 异函数项系数相等,可以得到 ⎧(L2−M2)(A+A)=M ⎪12 ⎨ 2RL(A+A)+(L2−M2)(Aα +Aα )=0 可以解得 121122 A=−1 A=−1 12(L+M) 22(L−M) 于是,冲激响应为 h(t)= 1eα2t ( eα1t − )u(t) 2L−ML+M 这里我们采用了将h(t)直接代入方程的方法求系数,避免了求h(0+)、h'(0+)"等初始条 件的问题。 2.3.3阶跃响应g(t)的求法 g(t)的形式与微分方程两端的阶次有关,在n≥m的情况下,g(t)中将不包含冲激函数。 而且g(t)是由自由响应和强迫响应构成,当特征方程有n个非重根时,g(t)的形式为 g(t)=( n αkt ∑ k=1 Ake+B)u(t) (2-12) 其中B为常数,可用待定系数法求特解的方法确定。 而Ak可以用代入微分方程然后用奇异函 数平衡的方法确定,与求h(t)的方法类似。 这里就不详细举例介绍。 根据线性时不变系统的特性,h(t)与g(t)之间有一定的依从关系。 由于δ(t)是u(t)的微分, 而u(t)是δ(t)的积分,所以h(t)和g(t)也满足微积分关系,即有 h(t)=dg(t) dt (2-13) t g(t)=∫ h(τ)dτ (2-14) −∞ 那么知道h(t)和g(t)中的任一个,另一个就可以方便地获得。 2.4系统的卷积积分分析 从以上的分析可以看出,用经典法求零状态响应比较复杂,特别当激励函数较复杂和系统的阶次较高时,求解将十分困难。 而求h(t)则相对容易。 那么就可以利用信号的分解原理,将信号分解为冲激信号的组合,然后将这些冲激信号分别通过线性系统,得到各个冲激信号所对应的冲激响应,再利用线性时不变系统的线性特性和时不变特性,将各冲激响应叠加就得到零状态响应。 这就是系统的卷积积分分析的基本原理。 卷积积分是分析线性时不变系统的一个重要工具,随着信号与系统理论研究的深入以及计算机技术的发展,卷积积分得到了更为广泛的应用。 我们在学习卷积积分分析时,不仅要掌握卷积积分的计算方法,而且要理解卷积的物理概念,这样对掌握线性时不变系统的分析方法有 帮助。 2.4.1卷积积分 数学上一种称为卷积积分的运算是两个具有相同变量t的函数f1(t)和f2(t)经过以下的积分可得到第三个相同变量的函数s(t) ∞ s(t)=∫ f1(τ)f2(t−τ)dτ (2-15) −∞ 卷积常用简写符号“*”表示,于是式(2-15)可写作 ∞ s(t)=∫−∞ f1(τ)f2(t−τ)dτ= f1(t)∗f2(t) (2-16) 积分限−∞∼∞是对一般函数的表达式,对于具体的函数,要根据具体函数的定义区间来 选择积分限。 下面可以具体根据f1(t)和f2(t)的定义区间来确定卷积积分的积分限。 若当t<0时,,f1(t)=0,也即当τ<0时,f1(τ)=0,这样有f1(τ)f2(t−τ)=0,于是式(2-16) 的积分限的下限应从零开始,于是有 ∞ f1(t)∗f2(t)=∫0 f1(τ)f2(t−τ)dτ (2-17) 在另一种情况下,若f1(t)不受到限制,即f1(t)的范围为−∞到∞,而当t<0时f2(t)=0,也即t−τ<0(即τ>t)时,f2(t−τ)=0,这样当τ>t时有f1(τ)f2(t−τ)=0,于是式(2-16)的 积分限的上限应到t为止,于是有 t f1(t)∗f2(t)=∫ f1(τ)f2(t−τ)dτ (2-18) −∞ 在第三种情况下,当t<0时,f1(t)与f2(t)均为零,则可以根据式(2-17)和式(2-18) 得到 t f1(t)∗f2(t)=∫0f1(τ)f2(t−τ)dτ (2-19) 从上面三种情况可以看出,卷积积分的积分限要根据具体函数的定义域来确定,而且还要根据t的变化而改变积分限。 2.4.2借助于冲激响应和叠加原理求系统的零状态响应 设系统的激励为x(t),而线性时不变系统的冲激响应为h(t),且x(t)、h(t)均为因果信号, 即当t<0时,有x(t)=0,h(t)=0。 根据第1章式(1-67)和式(1-68),信号x(t)可以分解为δ(t)的 线性组合,即 t x(t)=∫− n x(τ)δ(t−τ)dτ=lim∑ x(k∆t)δ(t−k∆t)∆t 0∆t→0k=0 因为对于δ(t)的零状态响应为h(t),则根据时不变特性,对于δ(t−∆t)的零状态响应则为 h(t−∆t),又根据齐次性,对于x(k∆t)δ(t−∆t)∆t的零状态响应为x(k∆t)h(t−∆t)∆t,最后,根 据叠加性,对于激励x(t)的零状态响应则为 n yzs(t)=lim∑x(k∆t)h(t−k∆t)∆t ∆t→0k=0 当∆t→0时,可将∆t写成dτ,而k∆t可写作τ,同时对各项取和将转化成取积分,即 t yzs(t)=∫0−x(τ)h(t−τ)dτ=x(t)∗h(t) (2-20) 即系统的零状态响应恰为x(t)与h(t)的卷积积分。 由于x(t)与h(t)均为因果信号,因此积分限是前述第三种情况,即式(2-19)的情况,若x(t)和h(t)的定义域不同,则积分限将有所变化。 卷积积分的物理概念就是将激励信号分解为一系列冲激信号的组合,然后让这些冲激信号依次通过系统,得到一系列的冲激响应,然后将这些冲激响应叠加起来,从而得到了系统的零状态响应。 根据卷积积分的物理意义,可以确定一个系统零状态响应的时间范围。 若h(t)的时间范围 为t1≤t≤t2,而激励信号x(t)的时间范围为t3≤t≤t4。 则可以这样分析,h(t)是在t=0时加一个激励信号δ(t)所得到的响应,其响应起始于t1,结束于t2,而x(t)可以分解为δ(t)信号的组合,且信号的起始点为t=t3,则可以等效为在t=t3时加一个冲激信号,则响应信号的起始点为t3+t1,而信号结束于t4,即等效为t=t4时加入一个冲激,则此冲激所对应的响应起始于 t4+t1,结束于t3+t2,即响应信号y(t)的范围为t3+t1≤t≤t4+t2。 这样可以用此方法判断卷积 积分的范围。 这里t1、t2可为正、为负,若t1为正,则此系统为一个因果系统,若t1为负,则 系统为非因果系统。 利用卷积求零状态响应,再与零输入响应相加即得到全响应,表达式如下 nt y(t)= ∑ k=1 Azik eαkt+ ∫0− x(τ)h(t−τ)dτ (2-21) 式中,第一项为零输入响应[引用式(2-7)],αk为特征根,共n个且无重根,系数Azik由系 统的起始状态y(k)(0−)决定,而第二项是卷积积分,积分限从0−开始。 2.4.3卷积积分的图解法 卷积积分的图解说明可以帮助我们理解卷积的概念,把一些抽象的关系形象化。 如果给定f1(t)和f2(t),要求二函数的卷积积分s(t)=f1(t)∗f2(t),首先要改变自变量,即将f1(t)、f2(t)变为f1(τ)、f2(τ),这时函数图形与原来一样,只是横坐标t变为τ。 然后再经过如下四个步骤(称为四步曲): (1)反褶,即将f2(τ)进行反褶,变为f2(−τ); (2)时移,即 将f2(−τ)时移t成为f2(t−τ)= f2[−(τ−t)],当t>0时,将f2(−τ)右移t,而当t<0时,将f2(−τ) 左移t;(3)相乘,即将f1(τ)与f2(t−τ)相乘得到f1(τ) f2(t−τ);(4)积分,即将乘积f1(τ) f2(t−τ) 进行积分,积分的关键是确定积分限。 一般是将f1(τ) f2(t−τ)不等于零的区间作为积分的上、 下限,而且当t取不同的值时,不为零的区间有所变化,因此要将t分成不
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