微分方程数值解法实验2.docx

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微分方程数值解法实验2

一、实验概述：

【实验目的】

熟练掌握求解

方程第一边值问题的五点差分格式。

【实验原理】

1.取定沿X轴和Y轴的步长h1和h2，

作两族与坐标轴平行的直线：

，两族直线的交点称为网点或节点，记为

，假定

为正则内点。

沿x,y方向分别用二阶中心差商代替

则得

，由于差分方程中只出现u在（i,j）及其四个邻点上的值，故称为五点差分格式。

2.

迭代法

设线性方程组

（1）

的系数矩阵

可逆且主对角元素

均不为零，令

，并将

分解成

（2）

从而

（1）可以写成

，令

，其中

（3）

以

为迭代矩阵的迭代法

（4）

称为

迭代法，用向量的分量来表示，（4）为

（5）

其中

为初始向量。

3.

迭代法

把矩阵

分解成

（6）

其中

，

分别为

的主对角元除外的下三角和上三角部分，于是方程组

（1）可以写成

，即

，其中

（7）

以

为迭代矩阵构成的迭代法

（8）

称为

迭代法，用向量表示的形式为

4.

迭代

【实验环境】

MATLABR2014a

二、实验内容：

【实验方案】

1.求解边值问题

取步长h=k=1/64,1/128,做五点差分格式。

用jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代和SOR迭代（取

）求解差分方程，以前后两次重合到小数点后四位的迭代值作为解的近似。

比较三种解法的迭代次数以及差分解

与精确解

的精度。

2.在

软件上编写代码；

3.运行得出结论。

【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）

1.分析问题。

2.在

上编写代码，调试。

3.运行代码，发现问题后改进代码。

4.分别输入n值为64和128，得出结论。

【实验结论】（结果）

n=64时:

1.Jacobi迭代

迭代次数

i=7811

2.Guass-Seidel迭代

迭代次数

i=4211

3.SOR超松弛法

迭代次数

i=121

n=128时：

1.Jacobi迭代

迭代次数

i=20001

2.Guass-Seidel迭代

迭代次数

i=15660

3.SOR超松弛法

迭代次数

i=242

【实验小结】（收获体会）

通过本次实验，掌握了求解

方程第一边值问题的五点差分格式，比较了三种解法的迭代次数以及差分解与精确解的精度，更加熟悉的掌握了利用MATLAB求解数学问题的方法。

三、指导教师评语及成绩：

评语

评语等级

优

良

中

及格

不及格

1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强

2.实验方案设计合理

3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）

4实验结论正确.

成绩：

指导教师签名：

批阅日期：

附录1：

源程序

clc;

n=input（'请输入等分数n='）;

h=1/n;

A=zeros

（1）;

A=sparse（A）;

b=zeros（（n-1）^2,1）;

b=sparse（b）;

u=zeros（（n-1）^2,1）;

u=sparse（u）;

I=speye（（n-1）^2）;

D=zeros（（n-1）^2,1）;

D=sparse（D）;

fori=1:

（n-1）

forj=1:

（n-1）

xi=i*h;

yj=j*h;

b（j+（i-1）*（n-1）,1）=2*pi^2*exp（pi*（xi+yj））*（sin（pi*xi）*cos（pi*yj）+cos（pi*xi）*sin（pi*yj））;

u（j+（i-1）*（n-1）,1）=exp（pi*（xi+yj））*sin（pi*xi）*sin（pi*yj）;%精确解

end

end

%---------------------建立系数矩阵A--------------------------

j=0;

fori=1:

（n-1）^2

if（i>=n）

j=j+1;

A（i,j）=1/h^2;

A（j,i）=1/h^2;

end

end

fori=1:

（n-1）^2

A（i,i）=-4/h^2;

end

j=0;

fori=2:

（n-1）^2

j=j+1;

if（mod（j,n-1）~=0）

A（i,j）=1/h^2;

A（j,i）=1/h^2;

end

end

A;

D=diag（diag（A））;

L=tril（A,-1）;

R=triu（A,1）;

L=sparse（L）;

R=sparse（R）;

Z=speye

（1）;

x=1/n:

1/n:

（n-1）/n;

y=1/n:

1/n:

（n-1）/n;

[X,Y]=meshgrid（x,y）;

Z1=exp（pi*（X+Y））.*sin（pi*X）.*sin（pi*Y）;

subplot（2,2,1）;

mesh（X,Y,Z1）;%精确解图像

title（'精确解图像'）;

xlabel（'x'）;

ylabel（'y'）;

zlabel（'u'）;

%------------Jacboi迭代使用------------------

G=-inv（D）*（L+R）;

H=inv（D）*b;

%------------Guass-Seidel迭代使用----------------

M=inv（D+L）;

M=sparse（M）;

R1=-M*R;

R1=sparse（R1）;

M=M*b;

%-----------SOR超松弛法使用--------------------

Aw=zeros

（1）;

Aw=sparse（Aw）;

B=zeros

（1）;

B=sparse（B）;

B=I-inv（D）*A;

q=eig（B）;

q=q

（1）;

w=2/（1+sqrt（1-q^2））;

P=inv（D-w*（-L））;

Aw=P*（w*（-R）+（1-w）*D）;

P=w*P*b;

%-----------------------------------------------------

fork=1:

3

switchk

%--------------------------Jacobi迭代--------------

case1

U=speye（（n-1）^2,1）;

U0=zeros（（n-1）^2,1）;

U0=sparse（U0）;

disp（'1.Jacobi迭代'）;

i=0;

whilenorm（U-U0）>1e-4

U0=U;

U=G*U0+H;

i=i+1;

if（i>20000）

break

end

end

disp（'迭代次数'）;

i

fora=1:

n-1

forb=1:

n-1

Z（a,b）=U（（n-1）*（a-1）+b,1）;

end

end

subplot（2,2,2）;

mesh（X,Y,Z）;

title（'Jacobi迭代图像'）;

xlabel（'x'）;

ylabel（'y'）;

zlabel（'u'）;

%----------------Guass-Seidel迭代------------------

case2

U=speye（（n-1）^2,1）;

U0=zeros（（n-1）^2,1）;

U0=sparse（U0）;

disp（'2.Guass-Seidel迭代'）;

i=0;

whilenorm（U-U0）>1e-4

U0=U;

U=R1*U0+M;

i=i+1;

if（i>20000）

break

end

end

disp（'迭代次数'）;

i

fora=1:

n-1

forb=1:

n-1

Z（a,b）=U（（n-1）*（a-1）+b,1）;

end

end

subplot（2,2,3）;

mesh（X,Y,Z）;

title（'Guass-Seidel迭代图像'）;

xlabel（'x'）;

ylabel（'y'）;

zlabel（'u'）;

%---------------SOR超松弛法------------------------

case3

U=speye（（n-1）^2,1）;

U0=zeros（（n-1）^2,1）;

U0=sparse（U0）;

disp（'3.SOR超松弛法'）;

i=0;

whilenorm（U-U0）>1e-1

U0=U;

U=Aw*U0+P;

i=i+1;

if（i>20000）

break

end

end

disp（'迭代次数'）;

i

fora=1:

n-1

forb=1:

n-1

Z（a,b）=U（（n-1）*（a-1）+b,1）;

end

end

subplot（2,2,4）;

mesh（X,Y,Z）;

title（'SOR超松弛法图像'）;

xlabel（'x'）;

ylabel（'y'）;

zlabel（'u'）;

end

end

附录2：

实验报告填写说明

1．实验项目名称：

要求与实验教学大纲一致。

2．实验目的：

目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。

3．实验原理：

简要说明本实验项目所涉及的理论知识。

4．实验环境：

实验用的软、硬件环境。

5．实验方案（思路、步骤和方法等）：

这是实验报告极其重要的内容。

概括整个实验过程。

对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。

对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。

对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。

6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：

写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。

7．实验结论（结果）：

根据实验过程中得到的结果，做出结论。

8．实验小结：

本次实验心得体会、思考和建议。

9．指导教师评语及成绩：

指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。