冀教版九年级数学上册知识点.docx
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冀教版九年级数学上册知识点
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23章数据分析
23.1平均数和加权平均数
1、一般地,我们把n个数x1,x2,...,xn的和与n的比,叫做这n个数的算术平均数,简称
平均数,记作x,读作“x拔”,即x1(x1...xn).
n
2、已知n个数x1,x2,...,xn,若w1,w2,...,wn为一组正数,则把
x1w1x2w2...xnwn
叫做n个数x1,x2,...,xn的加权平均数,w1,w2,...,wn分
w1w2...wn
别叫做这n个数的权重,简称权。
23.2中位数和众数
1、一般地,将n个数据按大小顺序排列,如果n为奇数,那么把处于中间位置的数据叫做
这组数据的中位数;如果n为偶数,那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。
2、一般地,把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。
一组数据的众数可能不止一
个,也可能没有众数。
23.3方差
设n个数据x1,x2,...,xn的平均数为x,各个数据与平均数偏差的平方分别是
(x1x)2,(x2x)2,...,(xnx)2。
偏差平方的平均数叫做这组数据的方差,用s2表示,即
s21(x1x)2(x2x)2...(xnx)2
n
当数据分布比较分散时,方差较大;当数据分布比较集中时,方差较小。
因此,方差的大小反映了数据波动(或离散程度)的大小。
23.4用样本估计总体
由于抽样的任意性,即使是相同的样本容量,不同样本的平均数一般也不同;当样本容量较小时,差异可能还较大。
但是当样本容量增大时,样本的平均数的波动变小,逐渐趋于稳定,
且与总体的平均数比较接近。
因此,在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。
同样的道理,我们也用样本的方差估计总体的方差。
24章一元二次方程
24.1一元二次方程
1、只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程,叫做一元二次方程。
一元
二次方程的一般形式为ax2bxc0(a0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数,bx是一次
项,b是一次项系数,c是常数项。
一元二次方程的解也叫做这个方
程的根。
1
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24.2解一元二次方程
1、配方法:
通过配方,把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方,另一边为
常数,当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求
出原方程的根。
配方时,先将常数项移至等号右边,然后将二次项系数化为1,再在方程两
边同时加上一次项系数一半的平方。
2、对于一元二次方程ax2bxc0:
当b24ac0时,方程有两个不相等的实数根;当b24ac0时,方程有两个相等的实数根;当b24ac0时,方程没有实数根。
我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0的根的判别式。
3、当b24ac0时,一元二次方程ax2bxc0的两实数根可以用
x
2
bb4ac求出。
这个式子叫做一元二次方程的求根公式。
利用求根公式解一元
2a
二次方程的方法叫做公式法。
4、因式分解法:
把一元二次方程的
一边化为
0,另一边分解成两个一次因式的乘积
,进而
转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根。
24.3一元二次方程根与系数关系
0的两根分别为
b,x1x2
如果一元二次方程ax2
bxc
x1,x2,那么x1x2
c。
24.4一元二次方程的应用
a
a
25章图形的相似
25.1比例线段
1、如果选用同一度量单位,量得线段
a和b的长度分别为
m和n,我们就把m和n的比叫
做线段a和b的比,记作a:
b
a
m。
m:
n,或
b
n
ac
2、在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,我们就把这四条
bd
线段叫做成比例线段,简称比例线段。
此时也称这四条线段成比例。
3、比例的基本性质
如果a
c,那么ad
bc。
b
d
如果ad
bc,那么a
c(b,d
0
)
b
d
特别地,如果a
b,即b2
ac,就把b叫做a,c的比例中项。
如果a
b
c
k,那么a
c...
m
c
...
mk
b
d
n
b
d
...
n
2
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4、黄金分割
AC和BC满足AC
BC,那么
在线段AB上有一点C,如果点C把AB分成的两条线段
称线段AB被点C黄金分割,点C称为线段AB
AB
AC
的黄金分割点,AC称为黄金比。
黄金比
AB
AC51
A
ED
0.618DEA
AB2
每条线段上的黄金分割点都有两个。
BCBC
25.2平行线分线段成比例
(1)基本事实
两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例。
对应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段(AB与DE、BC与EF、AC与DF),对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比,等于另一条直线上与它们对应的线段的比。
ABDE,ABDE,BCEF
BCEFACDFACDF
(2)推论1
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。
ADAE,ADAE,BDCE
ABACDBECABAC
(3)推论2
平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例。
A
E
D
在△ABC中,DE∥BC,ADAEDE
ABACBC
B
C
25.3相似三角形
(1)对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应边的比叫
做它们的相似比。
如果两个三角形相似,那么它们的对应角相等,对应边成比例。
(2)利用平行线分线段成比例判定两个三角形相似
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形
相似。
25.4相似三角形的判定
相似三角形的判定定理
(1)两角对应相等的两个三角形相似。
(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
(3)
三条边对应成比例的两个三角形相似。
A
D
l1
(4)
直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。
B
E
l2
25.5相似三角形的性质
C
F
l3
相似三角形的性质定理
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比,都等于相似比。
(2)相似三角形周长的比等于相似比。
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3
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25.6相似三角形的应用
25.7相似多边形和图形的位似
(1)形状相同的图形称为相似图形。
一般地,如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例,
那么这两个多边形就叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。
(2)两个图形不仅相似,而且经过每对对应顶点的直线相交于一点,对应边互相平行(或
重合),我们把这样的两个图形称为位似图形,对应顶点所在直线的交点称为位似中心,这时的相似比又称位似比。
(3)位似图形的画法
确定位似中心(位似中心可以在图形外部、图形内部或图形的边上);
选取图形的关键点(一般是顶点)并分别连接各关键点与位似中心,并延长成射线;根据位似比在射线上取点,得到各关键点的对应点;
④顺次连接各对应点,得到相应的位似图形。
26章解直角三角形
26.1锐角三角函数
1、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即
tanA
A的对边
a
A的邻边
b
∠A
的对边与斜边的比叫做∠A
的正弦,记作
sinA,即
sinA
A的对边
a
斜边
c
∠A
的邻边与斜边的比叫做
∠A的余弦,记作
cosA,即
cosA
A的邻边
b
斜边
c
2、一些特殊角的三角函数值
30°45°60°
sinα
123
222
cosα
321
222
tanα
1
3
3
3
3、在直角三角形中,锐角α的对边与斜边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比,都是唯一确定的;当锐角α变化时,相应的比值也会发生相应的变化。
我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为α的三角函数。
为方便起见,今后将
sin
2,cos
2,tan
2分别记作sin2
cos2
tan2
。
4
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26.2锐角三角函数的计算
26.3解直角三角形
1、在直角三角形中,除直角外,还有三条边和两个锐角共五个元素。
由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形。
2、在Rt△ABC中,∠C=90°
三边之间的关系是a2b2c2;
两锐角之间的关系是AB90;
边角之间的关系是
A的对边a
sinA
斜边c
A的邻边b
cosA
斜边c
A的对边a
tanA
A的邻边b
在边角之间的关系中,将∠A换成∠B,同时将a,b交换,即可得到∠B与边之间的关系式。
根据以上关系,如果知道五个元素中的两个元素(至少有一个是边),就可以求出其他三个
元素。
26.4解直角三角形的应用
l的比h叫做坡面的坡度(或坡比)
我们通常把坡面的垂直高度
h和水平宽度
,坡面与水平
l
h
面的夹角α叫做坡角。
显然,tan
l
27章反比例函数
27.1反比例函数
一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成
y
k(k为常数,且k
0)的形
x
式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数,自变量x的取值范围是不等于0的实数。
27.2反比例函数的图像和性质
反比例函数yk(k为常数,且k0)的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成,这
x
样的曲线叫做双曲线。
对于反比例函数y
k
x
,当k>0时,它的图像位于第一、三象限,在每个象限内,y的值随
x的值增大而减小;当k<0时,它的图像位于第二、四象限,在每个象限内,y的值随x的
值增大而增大。
27.3反比例函数的应用
5
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28章圆
28.1圆的概念及性质
(1)平面上,到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,叫做圆,这个定点叫做圆心,这条定长叫做圆的半径。
(2)圆是轴对称图形,过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆也是中心对称图形,圆心是它的对称中心。
(3)圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦。
过圆心的弦叫做这个圆的直径。
(4)圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧,这样的一条弧叫做半圆。
(5)大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧。
(6)能够完全重合的两个圆叫做等圆。
能够完全重合的两条弧叫做等弧。
28.2过三点的圆
(1)不在同一条直线上的三点确定一个圆。
(2)我们把经过三角形三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心。
28.3圆心角和圆周角
(1)顶点在圆心的的角叫做圆心角。
圆的每一个圆心角都对应一条弦和一条弧。
(2)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧也相等。
(3)
在同圆或等圆中,两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中,
只要
有一组量相等,其他两组量就分别相等。
(4)
顶点在圆上,两边都与圆相交的角叫做圆周角。
(5)
圆周角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
(6)直径所对的圆周角是直角。
90°的圆周角所对的弦是直径。
(7)同弧所对的圆周角相等。
(8)四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆。
(9)圆内接四边形的对角互补。
28.4垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
28.5弧长和扇形面积的计算
(1)计算公式
设n圆心角所对弧的长为
l,所对扇形的面积为
S,则l
nr,S
nr2
1
或Slr
180
360
2
(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线。
圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高。
(3)将圆锥的侧面沿母线展开成平面图形,该图形为一个扇形,扇形的半径长等于圆锥的母线长。
反过来,扇形也可以围成一个圆锥。
6
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