概率论与数理统计课程练习计算题docx.docx
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概率论与数理统计课程练习计算题docx
三、解答题
1.设对于事件
A、B、C有P(A)P(B)P(C)
1/4,P(AB)
P(BC)0,
P(AC)
1/8,求A、B、C至少出现一个的概率。
解:
由于ABC
AB,从而由性质
4知,P(ABC)
P(AB)0,又由概率定义知
P(ABC)
0,所以
P(ABC)
0,从而由概率的加法公式得
P(AB
C)P(A)
P(B)
P(C)P(AB)P(AC)P(BC)
P(ABC)
1
1
5
3
8
8
4
2.设有10件产品,其中有3件次品,从中任意抽取5件,问其中恰有2件次品的概率是多
少
解:
设A表示:
“任意抽取的
5件中恰有
2件次品”。
则n()
C5
。
5件产品中恰有
2件
10
次品的取法共有C32C73种,即n(A)
C32C73。
于是所求概率为
P(A)n(A)/n()C32C73/
C105
35/84
3.一批产品共有10个正品
2个次品,从中任取两次,每次取一个(有放回)。
求:
(1)第二次取出的是次品的概率;
(2)两次都取到正品的概率;
(3)第一次取到正品,第二次取到次品的概率。
解:
设Ai表示:
“第i次取出的是正品”(i=1,2),则
(1)第二次取到次品的概率为
P(A1A2
10
2
2
2
1
A1A2)
12
12
12
6
12
(2)两次都取到正品的概率为
P(A1A2)P(A1)P(A2
|A1)
10
10
25
12
12
36
(3)第一次取到正品,第二次取到次品的概率为
P(A1A2)
1025
121236
4.一批产品共有10个正品2个次品,从中任取两次,每次取一个(不放回)。
求:
(1)至少取到一个正品的概率;
(2)第二次取到次品的概率;
(3)恰有一次取到次品的概率。
解:
设A表示:
“第i次取出的是正品”(i
=1,2),则
i
(1)至少取到一个正品的概率
1P(A1A2)1P(A1)P(A2
2
1
65
|A1)1
11
66
12
(2)第二次取到次品的概率为
P(A1A2A1A2)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)
10
2
2
1
1
12
11
12
11
6
(3)恰有一次取到次品的概率为
P(A1A2A1A2)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)
10
2
2
10
10
12
11
12
11
33
5.一批产品共有10件正品2件次品,从中任取两件,求:
(1)两件都是正品的概率;
(2)恰有一件次品的概率;
(3)至少取到一件次品的概率。
解:
设A表示:
“取出的两件都是正品是正品”;B表示:
“取出的两件恰有一件次品”;
C表示:
“取出的两件至少取到一件次品”;则
(1)两件都是正品的概率
C10215
P(A)
C12222
(2)恰有一件次品的概率
C1
C1
10
P(B)
10
2
C122
33
(3)至少取到一件次品的概率
P(C)1P(A)
C102
15
7
1
1
C122
22
22
6.一工人照看三台机床,在一小时内,甲机床需要照看的概率是,乙机床和丙机床需要
照看的概率分别是和。
求在一小时中,
(1)没有一台机床需要照看的概率;
(2)至少有一台机床不需要照看的概率。
解:
设A表示:
“没有一台机床需要照看”;B
表示:
“至少有一台机床不需要照看“;Ci
表示:
“第i台机床需要照看”(i=1,2,3)。
则A
C1C2C3;BC1
C2C3。
P(A)
P(C1C2C3)
P(C1)P(C2)P(C3)
(1P(C1))(1P(C2))(1P(C3))
0.04
P(B)
P(C1
C2
C3)
P(C1C2C3)
1P(C1C2C3)
1P(C1)P(C2)P(C3)0.76
7.在某城市中发行三种报纸
A、B、C,经调查,订阅A报的有50%,订阅B报的有30%,
订阅C报的有20%,同时订阅A及B报的有10%,同时订阅A及C报的有
8%,同时订阅B及C
报的有5%,同时订阅A、B、C报的有3%,试求下列事件的概率:
(1)只订阅A及B报;
(2)恰好订阅两种报纸。
解:
(1)P(ABC)P(AB
C)
P(ABABC)
P(AB)
P(ABC)0.10.03
0.07
(2)P(ABC
ABC
ABC)
P(ABC)
P(ABC)P(ABC))
0.070.020.050.14
8.一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%,从中任取一球,结果不是红球,求:
(1)取到的是白球的概率;
(2)取到的是黑球的概率。
解:
设Ai分别表示:
“取到的是黑球、红球、白球”(i=1,2,3),则问题
(1)化为求
P(A
|A);问题
(2)化为求P(A
|A)。
由题意A1、A2、A3两两互不相容,所以,
3
2
1
2
(1)P(AA
)P(A
A
)
P(A)。
因此由条件概率公式得
3
2
3
2
3
P(A3
P(A3A2)P(A3)
0.2
2
|A2)
P(A2)
P(A2)
10.3
7
(2)P(A1A2)P(A1A2)P(A1)
P(A1
P(A1A2)P(A1)
0.5
5
|A2)
P(A2)
10.3
7
P(A2)
9.已知工厂A、B生产产品的次品率分别为1%和2%,现从由A、B的产品分别占60%和
40%的一批产品中随机抽取一件,求:
(1)该产品是次品的概率;
(2)若取到的是次品,那么该产品是B工厂的概率。
解:
设C表示“取到的产品是次品”;A“取到的产品是A工厂的”;
B“取到的产品是B工厂的”。
则
(1)取到的产品是次品的概率为
P(C)P(A)P(C|A)
P(B)P(C|B)
60
1
40
2
7
100
100
100
100
500
(2)若取到的是次品,那么该产品是
B工厂的概率为
P(B|C)
P(BC)
P(B)P(C|B)
P(C)
P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)
402
1001004
77
500
10.有两个口袋,甲袋中盛有4个白球,2个黑球;乙袋中盛有2个白球,4个黑球。
由甲
袋任取一球放入乙袋,再从乙袋中取出一球,求从乙袋中取出的是白球的概率。
解:
设A表示:
“由甲袋取出的球是白球”;
B表示:
“由甲袋取出的球是黑球”;
C表示:
“从乙袋取出的球是白球”。
则
P(C)
P(A)P(C|A)
P(B)P(C|B)
421
661
2
6
2
61
8
21
11.设有一箱同类产品是由三家工厂生产的,其中
1/2
是第一家工厂生产的,其余两家各
生产
1/4,又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有
2%、4%、5%的次品,现从箱中任取一件
产品,求:
(1)取到的是次品的概率;
(2)若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。
解:
设事件A表示:
“取到的产品是次品”
;事件Ai表示:
“取到的产品是第i家工厂生产
的”(i1,2,3)。
则A1A2A3
,且P(Ai)0,A1、A2、A3两两互不相容,
(1)
由全概率公式得
3
1
2
1
4
1
5
13
P(A)
P(Ai)P(A|Ai)
100
4
100
4
100
400
i
1
2
(2)由贝叶斯公式得
P(A1)P(A|A1)
1
2
4
P(A1|A)=
2
100
3
13
13
P(Aj)P(A|Aj)
400
j1
12.三家工厂生产同一批产品,各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%,其产品的
不合格率依次为、、和。
现从出厂的产品中任取一件,求:
(1)恰好取到不合格品的概率;
(2)若已知取到的是不合格品,它是第二家工厂生产的概率。
解:
设事件
A表示:
“取到的产品是不合格品”
;事件Ai表示:
“取到的产品是第
i家工厂
生产的”(i
1,2,3
)。
3
则Ai
,且P(Ai
)0,A1、A2、A3两两互不相容,由全概率公式得
i1
3
(1)P(A)
P(A)P(A|A)
i1
i
i
40
5
25
4
35
2
37/1000
100
100
100
100
100
100
(2)由贝叶斯公式得
P(A
|A)=
P(A2)P(A|A2)
2
3
P(Aj)P(A|Aj)
j1
0.25
0.04
10/37
37/1000
13.有朋友远方来访,他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为
3/10、1/5、1/10、2/5,
而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为
1/4、1/3、1/12、1/8。
求:
(1)此人来迟的概率;
(2)若已知来迟了,此人乘火车来的概率。
解:
设事件A表示:
“此人来迟了”;事件Ai分别表示:
“此人乘火车、轮船、汽车、飞机
4
来”(i
1,2,3,4)。
则
Ai
,且P(Ai)
0,A1、A2、A3、A4两两互不相容
i
1
(1)由全概率公式得
4
P(A)P(Ai)P(A|Ai)
i1
3
1
1
1
1
1
2
1
1
10
4
5
3
10
12
5
8
5
(2)由贝叶斯公式得
3
1
3
P(A1|A)=4
P(A1)P(A|A1)
104
P(Aj)P(A|Aj)
1/5
8
j
1
14.有两箱同类零件,第一箱50只,其中一等品10
只,第二箱30
只,其中一等品
18只,
今从两箱中任选一箱,然后从该箱中任取零件两次,每次取一只(有放回)
,试求:
(1)第一次
取到的是一等品的概率;
(2)两次都取到一等品的概率。
解:
设
i箱零件”(i
Bi
表示:
“第i次取到的是一等品”(i
Ai
表示:
“取到第
1,2)
1,2);
;
则
(1)P(B1)
P(B1A1
B1A2)
P(B1A1)P(B1A2)
1
10
1
18
2
2
50
2
30
5
(2)P(BB
)
P(BB
2
ABB
A
)
P(B1B2A1)P(B1BA2)
1
2
1
1
1
2
2
1
(10)2
1
(18)2
1
2
50
2
30
5
15.设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成,它们分别以、、的概率被损坏而发生
断路,求电路发生断路的概率。
解:
设A表示:
“第i个电子元件被损坏”(
i=1,2,3),则有
(
A
)0.03
;
P(A)0.04
;
i
P
1
2
P(A3)
0.06。
依题意所求概率为
P(A1
A2A3)P(A1)
P(A2)P(A3)
P(A1A2)
P(A1A3)
P(A2A3)
P(A1A2A3)
0.03
0.04
0.06
0.03
0.04
0.04
0.06
0.03
0.06
0.03
0.04
0.06
0.124672
0.070.020.050.14
16.甲、乙两人各自同时向敌机射击,已知甲击中敌机的概率为,乙击中敌机的概率为,
求下列事件的概率:
(1)敌机被击中;
(2)甲击中乙击不中;(3)乙击中甲击不中。
解:
设事件A表示:
“甲击中敌机”;事件B表示:
“乙击中敌机”;事件C表示:
“敌机被击中”。
则
(1)P(C)P(AB)1P(AB)1P(AB)
1
0.1
0.9
(2)P(AB)
P(A)P(B)
0.8
(10.5)0.4
(3)P(AB)
P(A)P(B)
(1
0.8)0.50.1
17.已知P(A)
1/4,P(B|A)
1/3,P(A|B)
1/2,求P(AB)。
解:
由于
P(A
B)
P(A)
P(B)
P(AB)
P(AB)
P(A)P(B|A)
1
1
1
4
3
12
P(AB)
1
1
P(B)
12
P(A|B)
1
6
2
所以
P(A
1
1
1
1
B)
6
12
3
4
18.设P(A)
0.3,P(B)
0.4,P(AB)0.5,求P(B|(AB))。
解:
由于
P(B|(A
B))
P(B(AB))
,
P(A
B)
B(AB)
BA
BBBA,A
AB
AB,AB
AB
,
而
P(BA)
P(A)
P(AB)
1
P(A)
P(AB)
0.705.
0.2,
P(A
B)
P(A)
P(B)P(AB)
0.71
0.4
05.
08.,
故
P(B|(AB))
P(B(AB))
0.21。
P(A
B)
0.8
4
19.设事件A、B相互独立,已知
P(A)
0.4,P(A
B)
0.7。
求:
(1)P(AB);
(2)P(AB)
。
解:
由P(AB)P(A)P(B)
P(AB)0.7
即
0.4P(B)0.4P(B)0.7
解得
P(B)
0.5
所以
P(AB)
P(A)P(B)
0.4
(1
0.5)
0.2
P(A
B)
0.6
0.5
0.6
0.5
0.8
20.设A、B为随机事件,且
P(A)
0.5,P(B)
0.6,P(B|A)
0.8,求:
(1)P(AB);
(2)P(AUB)。
解:
(1)P(AB)
P(A)P(B|A)
0.5
0.8
0.4
(2)P(A
B)
P(A)
P(B)
P(AB)
0.5
0.6
0.4
0.7
21.设事件A、B相互独立,已知
P(A)
0.5,P(A
B)0.8,求:
(1)P(AB);
(2)P(AUB)。
解:
由条件
P(AB)
P(A)
P(B)
P(AB)
P(A)
P(B)
P(A)P(B)0.8
即
0.5P(B)
0.5P(B)0.8
解得P(B)
0.6,所以
(1)P(AB)P(A)P(B)0.50.40.2
(2)P(AB)P(A)P(B)P(AB)
0.50.40.50.40.7
22.设事件A与事件B相互独立,试证明:
(1)事件A与事件B相互独立;
(2)事件A与事件B相互独立;
(3)事件A与事件B相互独立。
证明:
(1)欲证明
A、B相互独立,只需证
P(AB)P(A)P(B)即可。
而
P(AB)
P(A
AB)
P(A)
P(A)P(B)
P(A)(1
P(B))
P(A)P(B)
所以事件A与事件B相互独立。
同理
(2)由于
P(AB)
P(B
AB)
P(B)
P(A)P(B)
P(B)(1
P(A))
P(A)P(B)
所以事件A与事件B相互独立。
(3)由于
P(AB)
P(A
B)
1
P(A
B)
1P(A)
P(B)
P(AB)
1
P(A)
P(B)P(A)P(B)
[1
P(
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