人教版高中数学全部公式及应用解析.docx

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人教版高中数学全部公式及应用解析

人教版高中数学全部公式及应用解析

一、元素与集合的公式及概念解析

1.元素与集合的关系

x∈A⇔x∉CA,

U

x∈CA⇔x∉A.

U

2.德摩根公式

C（AB）=CACB;C（AB）=CACB.

UUUUUU

3.包含关系

AB=A⇔AB=B⇔⊆⇔⊆

ABCBCA

UU

⇔ACB=Φ⇔CAB=R

UU

4．集合{a,a,,a}的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；

1.12n

n–1个；非空的真子集有2n–2个

非空子集有2

二、二次函数相关公式

5.二次函数的解析式的三种形式

（1）一般式f（x）=ax2+bx+c（a≠0）;

（2）顶点式f（x）=a（x−h）2+k（a≠0）;

（3）零点式

f（x）=a（x−x）（x−x）（a≠0）.

12

6.闭区间上的二次函数的最值

二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在闭区间[p,q]上的最值只能在

x

b

=−处

2a

及区间的两端点处取得，具体如下：

bb

（1）当a>0时，若=[pq]，则{}

x−∈,f（x）=f（−）,f（x）=f（p）,f（q）；

minmaxmax

2a2ab

若x=−∉[p,q]，f（x）={f（p）,f（q）}，f（x）={f（p）,f（q）}.

maxmaxminmin

2a

b

（2）当a<0时，若=[pq]，则{}

x−∈,f（x）=minf（p）,f（q），

min

2ab

若x=−∉[p,q]，则f（x）=max{f（p）,f（q）}，f（x）=min{f（p）,f（q）}.

maxmin

2a

7.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

（1）在给定区间[α,β]上含参数的二次不等式f（x,t）≥0（t为参数）恒成立的充要条件是f（x,t）≥0（x∉L）

min

（2）在给定区间[α,β]上含参数的二次不等式f（x,t）≥0（t为参数）恒成立的充要条件是f（x,t）≤0（x∉L）.

man

（3）f（x）=ax4+bx2+c>0恒成立的充要条件是

a≥

0

≥

b0

>

c0

a<0

或

b4ac0

2−<

.

8.四种命题的相互关系

原命题互逆逆命题

若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ

互互

互为为互否否

逆逆

否否

否命题逆否命题

若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ

9.充要条件

（1）充分条件：

若p⇒q，则p是q充分条件.

（2）必要条件：

若q⇒p，则p是q必要条件.

（3）充要条件：

若p⇒q，且q⇒p，则p是q充要条件.

注：

如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

10.函数的单调性

（1）设[]

x1⋅x∈a,b,x≠x那么

212

f（x）−f（x）

（x−x）[f（x）−f（x）]>0⇔fx[ab]

0（）,上是增函数；1>⇔在

2

1212

12

x−x

f（x）−f（x）

（x−x）[f（x）−f（x）]<0⇔12<0⇔f（x）在[a,b]

上是减函数.

1212

12

x−x

（2）设函数y=f（x）在某个区间内可导，如果f′（x）>0，则f（x）为增函数；如

果f′（x）<0，则f（x）为减函数.

11．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一

个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于

y轴对称，那么这个函数是偶函数．

12.对于函数y=f（x）（x∈R）,f（x+a）=f（b−x）恒成立,则函数f（x）的对称轴

a+b

是函数x=;两个函数y=f（x+a）与y=f（b−x）的图象关于直线

2a+b

x=对称.

2

13.两个函数图象的对称性

（1）函数y=f（x）与函数y=f（−x）的图象关于直线x=0（即y轴）对称.

（2）函数y=f（mx−a）与函数y=f（b−mx）的图象关于直线

（3）函数y=f（x）和y=f−1（x）的图象关于直线y=x对称.

x

a+b

=对称.

2m

14.若将函数y=f（x）的图象右移a、上移b个单位，得到函数y=f（x−a）+b的

图象；若将曲线f（x,y）=0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线

f（x−a,y−b）=0的图象.

15.几个常见的函数方程

（1）正比例函数f（x）=cx,f（x+y）=f（x）+f（y）,f

（1）=c.

（2）指数函数f（x）=ax,f（x+y）=f（x）f（y）,f

（1）=a≠0.

（3）对数函数f（x）=logx,f（xy）=f（x）+f（y）,f（a）=1（a>0,a≠1）.

a

（4）幂函数f（x）=xα,f（xy）=f（x）f（y）,f'

（1）=α.

16．有理指数幂的运算性质

（1）ar⋅as=ar+s（a>0,r,s∈Q）.

（2）（ar）s=ars（a>0,r,s∈Q）.

（3）（ab）r=arbr（a>0,b>0,r∈Q）.

注：

若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用

.

三、指数式与对数式

17.指数式与对数式的互化式

logb

aN=b⇔a=N（a>0,a≠1,N>0）

.

18.对数的换底公式

log

a

N

logN

=m（a>0,且a≠1,m>0,且m≠1,N>0）.

loga

m

n

推论log=log（a>0,且a>1,m,n>0,且m≠1,n≠1,N>0）.

bb

n

ma

a

m

19．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

（1）loga（MN）=logaM+logaN;

M

（2）log=logM−logN;

aaa

N

（3）logaMn=nlogaM（n∈R）.

四、等差数列和等比数列

20.等差数列的通项公式

a=a1+（n−1）d=dn+a1−d（n∈N）；

*n

其前n项和公式为

n（a+a）n（n−1）

s=n

1=na+dn1

22d1

=2+−.

n（ad）n

1

22

21.等比数列的通项公式

a

a=a1q=⋅q（n∈N）；

n−11n*n

q

其前n项的和公式为

−n

a（1q）

1

s=−q

1

n

=

na,q1

1

q≠1

五、三角函数

22．常见三角不等式

π

（1）若x∈（0,），则sinx

2π

（2）若x∈（0,），则1

2

（3）|sinx|+|cosx|≥1.

23.同角三角函数的基本关系式

sinθ

sin2θ+cos2θ=1，tanθ=

cosθ

24.正弦、余弦的诱导公式

奇变偶不变符号看象限

，tanθ⋅cotθ=1.

25.和角与差角公式

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ;

cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ;

tanα±tanβ

tan（α±β）=

1tanαtanβ

aα+bα=a2+b2sin（α+ϕ）（辅助角ϕ所在象限由点（a,b）的象限决

sincos

b

定,tanϕ=）.

a

26.二倍角公式

sin2α=sinαcosα.

cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α.

2tanα

tan2α=

.

1−tanα

2

.

27.三角函数的周期公式

函数y=sin（ωx+ϕ），x∈R及函数y=cos（ωx+ϕ），x∈R（A,ω,ϕ为常数，

2π

且A≠0，ω＞0）的周期T=；

ω

π

函数y=tan（ωx+ϕ），x≠kπ+,k∈Z（A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0）

2π

的周期T=.

ω

28.正弦定理

abc

===2R.（R是外接圆的半径）

sinAsinBsinC

29.余弦定理

a2=b2+c2−2bccosA;

b2=c2+a2−2cacosB;

c2=a2+b2−2abcosC.

30.面积定理

（1）

（2）

111

S=ah=bh=ch（h、h、h分别表示a、b、c边上的高）.

abcabc

222

111

S=absinC=bcsinA=casinB.

222

31.三角形内角和定理

在△ABC中，有A+B+C=π⇔C=π−（A+B）

CπA+B

⇔=−⇔2C=2π−2（A+B）.

222

六、向量和数量积

32.向量的数量积的运算律：

（1）a·b=b·a（交换律）;

（2）（λa）·b=λ（a·b）=λa·b=a·（λb）;

（3）（a+b）·c=a·c+b·c.

33.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一

向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

34.a与b的数量积（或内积）

a·b=|a||b|cosθ．数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影

|b|cosθ的乘积．

35.平面向量的坐标运算

（1）设a=（x,y）,b=（x,y），则a+b=

（x+x,y+y）.11221212

（2）设a=（x,y）,b=（x,y），则a-b=（x−x,y−y）.

11221212

（3）设A（x,y），B（x,y）,则（,）.

AB=OB−OA=x−xy−y11222121

（4）设a=（x,y）,λ∈R，则λa=（λx,λy）.

（5）设a=（x,y）,b=（x,y），则a·b=（xx+yy）.

11221212

36.两向量的夹角公式

θ=+

xxyy

cos

1212

x+y⋅x+y

2222

1122

（a=（x,y）,b=（x,y））.

1122

37.平面两点间的距离公式

d=|AB|=AB⋅AB

A,B

=（x−x）2+（y−y）2（A

（x,y），B（x,y））.21211122

38.向量的平行与垂直

设a=（x,y）,b=

（x,y），且b≠0，则1122

a||b⇔b=λax1y2x2y10

⇔−=.

⇔xx+yy=.

a⊥b（a≠0）⇔a·b=012120

39.线段的定比分点公式

设

P1（x1,y1），2（2,2）

Pxy，P（x,y）是线段

PP的分点,λ是实数，且

12

PP=λPP，则

12

=

x+λx

x12

++λ

1λOPOP

⇔OP=12

+

yλy1+λ

=

y12

+

λ

1

⇔

OP=tOP+−tOP（1

1

（1）2t=

1+λ

）.

40.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A（x,y）、

11

x+x+xy+y+y

心的坐标是G（123,123）

33

.

O为∆ABC的重心⇔OA+OB+OC=0.

B（x,y）、C（x,y）,则△ABC的重

2233

41.点的平移公式

=+=−

''

xxh⇔xxh

y'=y+ky=y'−k

⇔'=+'

OPOPPP

.

注:

图形F上的任意一点P（x，y）在平移后图形F'上的对应点为P'（x',y'），

且PP'的坐标为（h,k）.

42.“按向量平移”的几个结论

（1）点P（x,y）按向量a=（h,k）平移后得到点P'（x+h,y+k）.

（2）函数y=f（x）的图象C按向量a=（h,k）平移后得到图象C',则C'的函数

解析式为y=f（x−h）+k.

（3）图象C'按向量a=（h,k）平移后得到图象C,若C的解析式y=f（x）,则

C'的函数解析式为y=f（x+h）−k.

（4）曲线C:

f（x,y）=0按向量a=（h,k）平移后得到图象C',则C'的方程为

f（x−h,y−k）=0.

（5）向量m=（x,y）按向量a=（h,k）平移后得到的向量仍然为m=（x,y）.

43.常用不等式：

（1）a,b∈R⇒a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“=”号）．

ab

+≥（当且仅当a＝b时取“=”号）．

（2）a,b∈R+⇒

ab

2

（3）a3+b3+c3≥3abc（a>0,b>0,c>0）.

（4）柯西不等式：

（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2,a,b,c,d∈R.

（5）a−b≤a+b≤a+b.

44.最值定理（积定和最小）

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当x=y时和x+y有最小值2p；

1

（2）若和x+y是定值s，则当x=y时积xy有最大值s2.

4

推广已知x,y∈R，则有（x+y）2=（x−y）2+2xy

（1）若积xy是定值,则当|x−y|最大时,|x+y|最大；

当|x−y|最小时,|x+y|最小.

（2）若和|x+y|是定值,则当|x−y|最大时,|xy|最小；

当|x−y|最小时,|xy|最大.

45.指数不等式与对数不等式

（1）当a>1时,

a（）>a（）⇔f（x）>g（x）;

fxgx

f（x）>0

logf（x）>logg（x）⇔g（x）>0

aa

>

f（x）g（x）

（2）当0

af（x）>ag（x）⇔f（x）

f（x）>0

logf（x）>logg（x）⇔g（x）>0

aa

<

f（x）g（x）

.

46.斜率公式

y−y

k=21

x−x

21

（

Pxy、

1（1,1）

Pxy）.

2（2,2）

七、几何公式

47.直线的五种方程

（1）点斜式y−y1=k（x−x1）（直线l过点1（1,1）

Pxy，且斜率为k）．

（2）斜截式y=kx+b（b为直线l在y轴上的截距）.

yyxx

−=−

（3）两点式11

y−yx−x

2121

（

y≠y）（

12

Pxy、

1（1,1）

Pxy（

2（2,2）

x≠x））.

12

xy

（4）截距式+=1（a、b分别为直线的横、纵截距，a、b≠0）

ab

（5）一般式Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）.

48.两条直线的平行和垂直

l1:

y=k1x+b1，ly=kx+b

若2:

22

①l1||l2⇔k1=k2,b1≠b2;

l⊥l⇔kk=−.

②12121

49.

l到l的倒角公式

12

α=k−k

（1）tan21.

1+kk

21

（1:

11kk≠−）

ly=kx+b，

l2:

y=k2x+b2,

121

50．两种常用直线系方程

（1）平行直线系方程：

与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是

Ax+By+λ=0（λ≠0），λ是参变量．

（2）垂直直线系方程：

与直线Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）垂直的直线系

方程是Bx−Ay+λ=0,λ是参变量．

51.点到直线的距离

|Ax+By+C|

d=

00

A+B

22

（点

P（x,y）,直线l：

Ax+By+C=0）.

00

52.Ax+By+C>0或<0所表示的平面区域

设直线l:

Ax+By+C=0，则Ax+By+C>0或<0所表示的平面区域是：

（1）若B≠0，当B与Ax+By+C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与

Ax+By+C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

（2）若B=0，当A与Ax+By+C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与

Ax+By+C异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.

53.圆的四种方程

（1）圆的标准方程（x−a）2+（y−b）2=r2.

（2）圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2−4F＞0）.

（3）圆的参数方程

（4）圆的直径式方程

=+θ

xarcos

=+

.

ybrsinθ

（x−x）（x−x）+（y−y）（y−y）=0（圆的直径的端点是

1212

A（x,y）、

11

B（x,y））.

22

54.直线与圆的位置关系

直线Ax+By+C=0与圆（x−a）2+（y−b）2=r2的位置关系有三种:

d>r⇔相离⇔∆<0;d=r⇔相切⇔∆=0;d0.

其中d

Aa+Bb+C

=.

A2+B

2

55.椭圆

xy

22

2+2=1（>>0）的参数方程是

ab

ab

x=acosθ

=

ybsinθ

.

xy

22

椭圆221（0）

+=a>b>焦半径公式

ab

aa

22

PF=e（x+，2e（x）

）PF=−.

1c

c

椭圆的的内外部

（1）点

P（x,y）在椭圆

00

xy

22

221（ab0）

+=>>的内部

ab

xy

22

⇔0+0<.

221

ab

（2）点

P（x,y）在椭圆

00

xy

22

221（ab0）

+=>>的外部

a