乘法原理.docx

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乘法原理

教学目标

1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；

2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系。

3.培养学生准确分解步骤的解题能力；

乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯。

知识要点

一、乘法原理概念引入

老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课。

如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？

我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔。

这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的。

在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线。

但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？

这样数，恐怕是要耗费很多的时间了。

这个时候我们的乘法原理就派上上用场了。

二、乘法原理的定义

完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，……，第n步有N种不同的方法。

那么完成这件事情一共有A×B×……×N种不同的方法。

结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条。

三、乘法原理解题三部曲

1、完成一件事分N个必要步骤；

2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；

3、步步相乘

四、乘法原理的考题类型

1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；

2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色的方法；

3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；

4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；

5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法。

例题精讲

模块一：

简单乘法原理的应用

【例1】（难度等级※）邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？

【巩固】（难度等级※）如下图所示，从A地去B地有5种走法，从B地去C地有3种走法，那么李明从A地经B地去C地有多少种不同的走法？

【例2】（难度等级※）如下图中，小虎要从家沿着线段走到学校，要求任何地点不得重复经过。

问：

他最多有几种不同走法？

【巩固】（难度等级※）在下图中，一只甲虫要从

点沿着线段爬到

点，要求任何点不得重复经过。

问：

这只甲虫最多有几种不同走法？

【例3】（难度等级※※）在右图中，一只甲虫要从

点沿着线段爬到

点，要求任何点不得重复经过．问：

这只甲虫最多有几种不同走法？

【巩固】（难度等级※※）在右图中，一只蚂蚁要从

点沿着线段爬到

点，要求任何点不得重复经过．问：

这只蚂蚁最多有几种不同走法？

【巩固】（难度等级※※）在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过。

问：

这只甲虫最多有几种不同走法？

【巩固】（难度等级※※）在右图中，一只甲虫要从

点沿着线段爬到

点，要求任何点不得重复经过．问：

这只甲虫最多有几种不同走法?

【例4】（难度等级※※）按下表给出的词造句，每句必须包括一个人、一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多少个不同的句子？

【例5】（难度等级※※）题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷。

问：

由该题库共可组成多少种不同的试卷？

【巩固】（难度等级※※）文艺活动小组有3名男生，4名女生，从男、女生中各选1人做领唱，有多少种选法？

【巩固】（难度等级※※）小丸子有许多套服装，帽子的数量为5顶、上衣有10件，裤子有8条，还有皮鞋6双，每次出行要从几种服装中各取一个搭配。

问：

共可组成多少种不同的搭配（帽子可以选择戴与不戴）？

【例6】（难度等级※※）要从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，有多少种不同的评选结果？

【巩固】（难度等级※※）从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，如果要求同一个班级只能得到一个先进集体，那么一共有多少种评选方法？

【例7】（难度等级※※）从全班20人中选出3名学生排队，一共有多少种排法？

【例8】（难度等级※※）五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。

如果贝贝和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法？

【巩固】（难度等级※※※）10个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？

【例9】（难度等级※※※）“数学”这个词的英文单词是“MATH”。

用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字母染的颜色都不一样．这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？

【巩固】（难度等级※※）“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？

【例10】（难度等级※※）“学习改变命运”这六个字要用6种不同颜色来写，现只有6种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？

【巩固】（难度等级※※）有6种不同颜色的笔，来写“学习改变命运”这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不同的方法？

【巩固】（难度等级※※）用5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法？

模块二：

较复杂的乘法原理应用

【例11】（难度等级※※）北京到上海之间一共有6个站，车站应该准备多少种不同的车票？

（往返车票算不同的两种）

【巩固】（难度等级※※※）一条线段上除了两个端点还有6个点，那么这段线段上可以有多少条线段？

【巩固】（难度等级※※）某次大连与庄河路线的火车，一共有6个停车点，铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？

【巩固】（难度等级※※）北京到广州之间有10个站，其中只有两个站是大站（不包括北京、广州），从大站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？

【例12】（难度等级※※）⑴由数字1、2可以组成多少个两位数？

⑵由数字1、2可以组成多少个没有重复数字的两位数？

【巩固】（难度等级※※）用数字0，1，2，3，4可以组成多少个：

⑴三位数？

⑵没有重复数字的三位数？

【巩固】（难度等级※※）⑴由3、6、9这3个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？

⑵由3、6、9这3个数字可以组成多少个三位数？

【例13】（难度等级※※※）有五张卡，分别写有数字1、2、4、5、8。

现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，问：

可以组成多少个不同的偶数？

【巩固】（难度等级※※※）三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？

【例14】（难度等级※※※）有5张卡，分别写有数字2，3，4，5，6．如果允许6可以作9用，那么从中任意取出3张卡片，并排放在一起．问

⑴可以组成多少个不同的三位数？

⑵可以组成多少个不同的三位偶数？

【例15】（难度等级※※）用1、2、3这三个数字可以组成多少个不同的三位数？

如果按从小到大的顺序排列，213是第几个数？

【巩固】（难度等级※※※）有一些四位数，它们由4个互不相同且不为零的数字组成，并且这4个数字和等于12.将所有这样的四位数从小到大依次排列，第35个为。

【例16】（难度等级※※※）将1332，332，32，2这四个数的10个数码一个一个的划掉，要求先划位数最多的数的最小数码，共有多少种不同的划法？

【巩固】（难度等级※※）一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一个三位数，例如：

532吃掉311，123吃掉123，但726与267相互都不被吃掉。

问：

能吃掉678的三位数共有多少个？

【巩固】（难度等级※※）9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？

【例17】（难度等级※※※）在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？

【例18】（难度等级※※※）用1～9可以组成______个不含重复数字的三位数：

如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1，那么可以组成______个满足要求的三位数？

【例19】（难度等级※※※）如图，地图上有A，B，C，D四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?

【巩固】（难度等级※※※）如图，一张地图上有五个国家

，

，

，

，

，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？

【例20】（难度等级※※※）如图：

将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：

如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？

【巩固】（难度等级※※※）用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有几种不同的涂法？

【例21】（难度等级※※※）如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？

【巩固】（难度等级※※※※）某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?

【例22】（难度等级※※※）右图中共有16个方格，要把A，B，C，D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：

共有多少种不同的放法？

【巩固】（难度等级※※※）在下图的方格内放入五枚棋子，要求每行、每列都只能有一枚棋子，共有多少种放法？

【例23】（难度等级※※※）如图，其中同时包括两个☆的长方形有个。

【巩固】（难度等级※※※）在下图中，不包含☆的长方形有________个。

【例24】（难度等级※※※）下图是一个中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法？

【巩固】（难度等级※※※）国际象棋棋盘是8×8的方格网，下棋的双方各有16个棋子位于16个区格中，国际象棋中的“车”同中国象棋中的“车”一样都可以将位于同一条横行或竖行的对方棋子吃掉，如果棋局进行到某一时刻，下棋的双方都只剩下一个“车”，那么这两个“车”位置有多少种情况？

【例25】（难度等级※※※）奥运吉祥物中的

个“福娃”取“北京欢迎您”的谐音：

贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．如果在盒子中从左向右放

个不同的“福娃”，那么，有种不同的放法。

【第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛】

【例26】（难度等级※※※）4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？

如果要求2个女生紧挨着排在正中间有多少种不同的排法？

【巩固】（难度等级※※※）4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？

【巩固】（难度等级※※※）书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？

如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？

【例27】（难度等级※※※）1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位？

【巩固】（难度等级※※※）所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？

【例28】（难度等级※※※※）四对夫妇围一圆桌吃饭，要求每对夫妇两人都要相邻，那么一共有多少安排座位的方法？

（如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种．）

【巩固】（难度等级※※※）3个3口之家在一起举行家庭宴会，围一桌吃饭，要求一家人不可以被拆开，那么一共有多少种排法？

（如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种。

）

【例29】（难度等级※※※※）有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？

【巩固】（难度等级※※※）有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？

【例30】（难度等级※※※※）一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。

问：

⑴如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序?

⑵如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序?

【仁华试题】