届高三数学理科第二次月考试题含答案.docx
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届高三数学理科第二次月考试题含答案
广东省实验中学2018届高三第二次月考
理科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分,考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回。
一、选择题(满分40分)
1.设集合则=()
A.B.C.D.
2.若,则()
(A)(B)(C)(D)
3.在空间中,给出下面四个命题,则其中正确命题的个数为()
①过平面外的两点,有且只有一个平面与平面垂直;
②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等,则;
③若直线与平面内的无数条直线垂直,则;
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条平行线;
A.0B.1C.2D.3
4.已知是等比数列,则=()
A.B.C.D.
5.把函数的图像适当变化就可以得到的图像,这个变化可以是()
A.沿轴方向向右平移B.沿轴方向向左平移
C.沿轴方向向右平移D.沿轴方向向左平移
6.函数在区间上的最大值为1,则的值是()
A.0B.C.D.
7.点是边长为2的正方形内或边界上一动点,是边的中点,则的最大值是()
A.2B.4C.5D.6
8.已知是定义在上的不恒为零的函数,且对任意满足下列关系式:
,,,考察下列结论:
①②为偶函数③数列为等比数列④数列为等差数列,其中正确的结论的个数是()
A.1B.2C.3D.4
二.填空题(每小题5分,共30分)请把答案填在答案卷内
9.已知的三边长分别为,则的值为
10.已知不等式对任意恒成立,则实数a的取值范围为
11.若数列满足则称数列为调和数列,已知数列为调和数列,且,则=
12.已知,则满足的的值为.
13.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)。
则该几何体的体积为
14.已知函数,若存在一个实数x,使与均不是正数,则实数m的取值范围是________________.
三.解答题(满分80分,15、16题12分,17、18、19、20题14分)
15.已知向量设函数
(I)求的最小正周期与单调递减区间;
(II)在△ABC中,分别是角A、B、C的对边,若△ABC的面积为,求的值
16.已知等比数列的前项和为,若,,成等差数列,试判断,,是否成等差数列,并证明你的结论.
17.正三棱柱的所有棱长均为2,是侧棱上任意一点.
(1)求正三棱柱的体积;
(2)判断直线与平面是否垂直,请证明你的结论;
(3)当时,求二面角的余弦值.
18.已知数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列的前n项和,,求证:
。
19.某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品.根据经验知道,该厂生产这种仪器,次品率与日产量(件)之间大体满足关系:
(其中c为小于96的正常数)
注:
次品率,如表示每生产10件产品,约有1件为次品.其余为合格品.
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元,但每生产一件次品将亏损元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器每天的盈利额(元)表示为日产量(件)的函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
20.设(e为自然对数的底数)
(I)求p与q的关系;
(II)若在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;
(III)证明:
①;
②(n∈N,n≥2).
参考答案
一、选择题(每小题5分,共40分)
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
A
C
D
D
D
C
二、填空题(每小题5分,共30分)
9.10.11.12.13.14.
三、解答题(15、16题12分,17、18、19、20题14分)
15.解:
(I)
…………3分
…………4分
…………6分
(II)由得
…………9分
…………10分
…………12分
16.解:
设等比数列的首项为,公比为,
若,,成等差数列,
则.
∴.
∵,,∴.
解得或.…………4分
当时,∵,,,
∴.
∴当时,,,不成等差数列.…………7分
当时,,,成等差数列.下面给出两种证明方法.
证法1:
∵
,
∴.
∴当时,,,成等差数列.
证法2:
∵,
又
,
∴.
∴当时,,,成等差数列.…………12分
17.
(1)……3分
(2)建立如图空间坐标系,设,……4分
则的坐标分别为……6分
∴,
∴不垂直
∴直线不可能与平面垂直……8分
(3),由,得
即
又
∴是面的法向量……10分
设面的法向量为,
由得……12分
设二面角的大小为,则
∴二面角的余弦值大小为……14分
说明:
有些结果由于法向量的方向问题,出现余弦值为负值者扣1分.
18.解:
(1),…………3分
又,是公比为的等比数列,…………6分
(2),…………8分
记…①,则…………10分
②,①-②得:
,…………12分
…………14分
19解
(1)当时,,所以,每天的盈利额;
当时,,所以,每日生产的合格仪器约有件,次品约有件.故,每天的盈利额
.
综上,日盈利额(元)与日产量(件)的函数关系为:
…………3分
(2)由
(1)知,当时,每天的盈利额为0.…………4分
当时,.…………5分
令,则.故
.…………7分
当且仅当,即时,等号成立.…………8分
所以(i)当时,(等号当且仅当时成立).…………9分
(ii)当时,由得,
易证函数在上单调递增(证明过程略).…………10分
所以,.所以,
即.(等号当且仅当时取得)…………12分
综上,若,则当日产量为84件时,可获得最大利润;若,则当日产量为时,可获得最大利润. …………14分
20.解:
(I)由题意
(II)由(I)知:
令h(x)=px2-2x+p.要使g(x)在(0,+∞)为单调函数,只需h(x)在(0,+∞)满足:
h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.………………………………4分
①,
∴g(x)在(0,+∞)单调递减,
∴p=0适合题意.………………………………………………5分
②当p>0时,h(x)=px2-2x+p图象为开口向上抛物线,
称轴为x=∈(0,+∞).
∴h(x)min=p-.
只需p-≥0,即p≥1时h(x)≥0,g′(x)≥0,
∴g(x)在(0,+∞)单调递增,∴p≥1适合题意.…………………………7分
③当p<0时,h(x)=px2-2x+p图象为开口向下的抛物线,
其对称轴为x=(0,+∞),
只需h(0)≤0,即p≤0时h(0)≤(0,+∞)恒成立.
∴g′(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)单调递减,
∴p<0适合题意.
综上①②③可得,p≥1或p≤0.……………………………………9分
(III)证明:
①即证:
lnx-x+1≤0(x>0),
设.
当x∈(0,1)时,k′(x)>0,∴k(x)为单调递增函数;
当x∈(1,∞)时,k′(x)<0,∴k(x)为单调递减函数;
∴x=1为k(x)的极大值点,
∴k(x)≤k
(1)=0.
即lnx-x+1≤0,∴lnx≤x-1.………………………………11分
②由①知lnx≤x-1,又x>0,
∴结论成立.…………………………………………………………………………14分
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