摆线公式等.docx
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摆线公式等
摆线公式等
摆线方程
它是这样定义的:
一个圆沿一直线缓慢地滚动,则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线x=a(φ-sinφ),y=a(1-cosφ)设该点初始坐标为(0,0),圆心坐标为(0,a)当圆转动φ时,圆心坐标为(aφ,a)该点相对于圆心坐标为(-asinφ,-acosφ)所以该点坐标为(a(φ-sinφ),a(1-cosφ))即x=a(φ-sinφ),y=a(1-cosφ)
摆线[编辑]
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(2010年7月25日)
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一条由滚动的圆所生成的摆线
在数学中,摆线(Cycloid)被定义为,一个圆沿一条直线运动时,圆边界上一定点所形成的轨迹。
它是roulette曲线的一个例子。
摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。
[隐藏]
1历史
2方程
3面积
4弧长
5其它相关联的曲线
6应用
7参考
8外部连结
历史[编辑]
摆线的研究最初开始于NicholasofCusa,之后梅森(MarinMersenne)也有针对摆线的研究。
1599年伽利略为摆线命名。
1634年.deRoberval指出摆线下方的面积是生成它的圆面积的三倍。
1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是生成它的圆直径的四倍。
在这一时期,伴随着许多发现,也出现了众多有关发现权的争议,甚至抹杀他人工作的现象,而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”(TheHelenofGeometers)。
[1].
方程[编辑]
由半径为2的圆所生成的摆线
过原点半径为r的摆线参数方程为
在这里实参数t是在弧度之下,圆滚动的角度。
对每一个给出的t,圆心的坐标为(rt,r)。
通过替换解出t可以求的笛卡尔坐标方程为
摆线的第一道拱由参数t在(0,2π)区间内的点组成。
摆线也满足下面的微分方程。
面积[编辑]
一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定:
微分,
于是可以求得
弧长[编辑]
弧形的长度可以由下面的式子计算出:
其它相关联的曲线[编辑]
一些曲线同摆线紧密相关。
当我们弱化定点只能固定在圆边界上时,我们得到了短摆线(curtatecycloid)和长摆线(prolatecycloid),两者合称为次摆线(trochoid),前面的情形是定点在圆的内部,后者则是在圆外。
trochoid则是上述三种曲线的统称。
更进一步,如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话,我们会得到外摆线(epicycloid)(沿着圆的外部运动,定点在圆的边缘),内摆线(hypocycloid)(沿着圆内部滚动,定点在圆的边缘)以及外旋轮线(epitrochoid)和内旋轮线(hypotrochoid)(定点可以在圆内的任一点包括边界。
)
小圆边缘沿大圆转动:
圆外螺线/外摆线·圆内螺线/内摆线
小圆短径外转:
外旋轮线·小圆长径内转:
内旋轮线
小圆边缘沿直线转动:
摆线
外摆线[编辑]
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不同的外摆线
外摆线是所有形式为
的曲线,其中n为正实数。
轨迹定义[编辑]
n=4的外摆线轨迹
假设有一个定圆,若有另一个半径是刚才的圆形的
倍的圆在上滚动,则圆周上的一定点在滚动时划出的轨迹就是一条外摆线。
心脏线[编辑]
心脏线
心脏线是外摆线的一种,其n为2。
它亦可以极坐标的形式表示:
r=1+cosθ
这样的心脏线的周界为8,围得的面积为
。
心脏线亦为蚶线的一种。
在曼德博集合正中间的图形便是一个心脏线。
心脏线的英文名称“Cardioid”是deCastillon在1741年的《PhilosophicalTransactionsoftheRoyalSociety》发表的;意为“像心脏的”。
肾脏线[编辑]
肾脏线亦是外摆线的一种,其n为3。
圆内螺线[编辑]
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内摆线(圆内螺线)是所有形式为
的曲线,其中n为正实数。
轨迹定义[编辑]
假设有一个定圆,若有另一个半径是刚才的圆形的
倍的圆在其内部滚动,则圆周上的一定点在滚动时划出的轨迹就是一条内摆线(圆内螺线)。
三尖瓣线和星形线[编辑]
三尖瓣线(Deltoid,字自“Delta”Δ)是内摆线(圆内螺线)一种,其n为2(或1/2)。
[1]
星形线是内摆线(圆内螺线)一种,其n为3。
外旋轮线[编辑]
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R=3,r=1和d=1/2的外旋轮线
外旋轮线(Epitrochoid-IPA[ptrkd,-tr-])是追踪附着在围绕半径为R的固定的圆外侧滚转的半径r的圆上的一个点而得到的转迹线,这个点距离外部滚动的圆的中心的距离是d。
外旋轮线的参数方程是
特殊情况包括R=r的蜗牛线和d=r的外摆线。
经典的玩具万花尺追踪外旋轮线和内旋轮线。
转子活塞发动机的定子是外旋轮线。
内旋轮线[编辑]
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红色曲线是R=,r=3,d=5的内旋轮线
内旋轮线(hypotrochoid)是追踪附着在围绕半径为R的固定的圆内侧滚转的半径为r的圆上的一个点得到的转迹线,这个点到内部滚动的圆的中心的距离是d。
内旋轮线的参数方程是:
特殊情况包括d=r的内摆线和R=2r的椭圆。
经典的玩具万花尺追踪出内旋轮线和外旋轮线。
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