高考数学之函数知识点总结.docx
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高考数学之函数知识点总结
函数概念
(一)知识梳理
1.映射的概念
设是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中的任意元素,在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从到的映射,通常记为,f表示对应法则
注意:
⑴A中元素必须都有象且唯一;
⑵B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。
2.函数的概念
(1)函数的定义:
设是两个非空的数集,如果按照某种对应法则,对于集合中的每一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从到的一个函数,通常记为
(2)函数的定义域、值域
在函数中,叫做自变量,的取值范围叫做的定义域;与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合称为函数的值域。
(3)函数的三要素:
定义域、值域和对应法则
3.函数的三种表示法:
图象法、列表法、解析法
(1).图象法:
就是用函数图象表示两个变量之间的关系;
(2).列表法:
就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
(3).解析法:
就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。
4.分段函数
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
(二)考点分析
考点1:
映射的概念
例1.
(1),,;
(2),,;
(3),,.
上述三个对应
(2)是到的映射.
例2.若,,,则到的映射有81个,到的映射有64个,到的函数有81个
例3.设集合,,如果从到的映射满足条件:
对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数,则映射的个数是()
8个12个16个18个
考点2:
判断两函数是否为同一个函数
例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1),;
(2),
(3),(n∈N*);(4),;
(5),
考点3:
求函数解析式
方法总结:
(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则用待定系数法;
(2)若已知复合函数的解析式,则可用换元法或配凑法;
(3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出
题型1:
由复合函数的解析式求原来函数的解析式
例1.已知二次函数满足,求.
例2.(09湖北改编)已知=,则的解析式可取为
题型2:
求抽象函数解析式
例1.已知函数满足,求
考点4:
求函数的定义域
题型1:
求有解析式的函数的定义域
(1)方法总结:
如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围,实际操作时要注意:
①分母不能为0;②对数的真数必须为正;③偶次根式中被开方数应为非负数;④零指数幂中,底数不等于0;⑤负分数指数幂中,底数应大于0;⑥若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集;⑦如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:
研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写。
例1.(08年湖北)函数的定义域为()
.;C..
题型2:
求复合函数和抽象函数的定义域
例1.(2007·湖北)设,则的定义域为()
A.;B.;C.;D.
例2.已知函数的定义域为,求的定义域
例3.已知的定义域是,求函数的定义域
例4.已知的定义域是(-2,0),求的定义域(-3 考点5: 求函数的值域 1.求值域的几种常用方法 (1)配方法: 对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法, 如求函数,可变为解决 (2)基本函数法: 一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求, 如函数就是利用函数和的值域来求。 (3)判别式法: 通过对二次方程的实根的判别求值域。 (4)分离常数法: 常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数的值域,因为 (5)利用基本不等式求值域: 如求函数的值域 (6)利用函数的单调性求求值域: 如求函数的值域 (7)图象法: 如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域 (8)导数法――一般适用于高次多项式函数,如求函数,的最小值。 (-48) (9)对勾函数法像,(m>0)的函数,m<0就是单调函数了 三种模型: (1)如,求 (1)单调区间 (2)x的范围[3,5],求值域(3)x[-1,0)(0,4],求值域 (2)如,求 (1)[3,7]上的值域 (2)单调递增区间(x0或x4) (3)如, (1)求[-1,1]上的值域 (2)求单调递增区间 函数的单调性 (一)知识梳理 1、函数的单调性定义: 设函数的定义域为,区间,如果对于区间内的任意两个值,,当时,都有,那么就说在区间上是单调增函数,称为的单调增区间;如果对于区间内的任意两个值,,当时,都有,那么就说在区间上是单调减函数,称为的单调减区间。 如果用导数的语言来,那就是: 设函数,如果在某区间上,那么为区间上的增函数;如果在某区间上,那么为区间上的减函数; 2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法: (1)①定义法(取值――作差――变形――定号);②导数法(在区间内,若总有,则为增函数;反之,若在区间内为增函数,则, (2)在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意,型函数的图象和单调性在解题中的运用: 增区间为,减区间为. (3)复合函数法: 复合函数单调性的特点是同增异减 (4)若与在定义域内都是增函数(减函数),那么在其公共定义域内是增函数(减函数)。 3、单调性的说明: (1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域; (2)函数单调性定义中的,有三个特征: 一是任意性;二是大小,即;三是同属于一个单调区间,三者缺一不可; (3)函数的单调性是对某个区间而言的,所以受到区间的限制,如函数分别在和内都是单调递减的,但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的,只能说函数的单调递减区间为和。 4、函数的最大(小)值 设函数的定义域为,如果存在定值,使得对于任意,有恒成立,那么称为的最大值;如果存在定值,使得对于任意,有恒成立,那么称为的最小值。 (二)考点分析 考点1函数的单调性 题型1: 讨论函数的单调性 例1. (1)求函数的单调区间; (2)已知若试确定的单调区间和单调性. 解: (1)单调增区间为: 单调减区间为, (2),, 令,得或,令,或 ∴单调增区间为;单调减区间为. 例2.判断函数f(x)=在定义域上的单调性. 解: 函数的定义域为{≤-1或x≥1},则f(x)=, 可分解成两个简单函数.f(x)=2-1的形式.当x≥1时,u(x)为增函数,为增函数. ∴f(x)=在[1,+∞)上为增函数.当x≤-1时,u(x)为减函数,为减函数, ∴f(x)=在(-∞1]上为减函数. 题型2: 研究抽象函数的单调性 例1.已知函数的定义域是的一切实数,对定义域内的任意都有,且当时, (1)求证: 是偶函数; (2)在上是增函数;(3)解不等式. 解: (1)令,得,∴,令,得∴, ∴,∴是偶函数. (2)设,则 ∵,∴,∴,即,∴ ∴在上是增函数. (3),∴, ∵是偶函数∴不等式可化为, 又∵函数在上是增函数,∴,解得: , 即不等式的解集为. 题型3: 函数的单调性的应用 例1.若函数在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数的取值范围是(答: )); 例2.已知函数在区间上为增函数,则实数的取值范围(答: ); 考点2函数的值域(最值)的求法 求最值的方法: (1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法。 (2)利用函数的单调性求最值: 先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用函数的单调性求最值。 (3)基本不等式法: 当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取得)。 (4)导数法: 当函数比较复杂时,一般采用此法(5)数形结合法: 画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围。 题型1: 求分式函数的最值 例1.(2007上海)已知函数当时,求函数的最小值。 [解析]当时, ,。 在区间上为增函数。 在区间上的最小值为。 题型2: 利用函数的最值求参数的取值范围 例2.(2008广东)已知函数若对任意恒成立,试求实数的取值范围。 [解析]在区间上恒成立;在区间上恒成立;在区间上恒成立;函数在区间上的最小值为3,即 函数的奇偶性 (一)知识梳理 1、函数的奇偶性的定义: ①对于函数的定义域内任意一个,都有〔或〕,则称为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。 ②对于函数的定义域内任意一个,都有〔或〕,则称为偶函数.偶函数的图象关于轴对称。 ③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称) 2.函数的奇偶性的判断: (1)可以利用奇偶函数的定义判断 (2)利用定义的等价形式,,() (3)图像法: 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于轴对称 3.函数奇偶性的性质: (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若奇函数定义域中含有0,则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。 (3)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”。 如设是定义域为R的任一函数,,。 (4)复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. (5)设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇. (二)考点分析 考点1判断函数的奇偶性及其应用 题型1: 判断有解析式的函数的奇偶性 例1.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)1|--1|; (2)f(x)=(x-1)·; (3);(4) 题型2: 证明抽象函数的奇偶性 例1.(09年山东)定义在区间上的函数f(x)满足: 对任意的,都有.求证f(x)为奇函数; [解析]令x=y=0,则f(0)+f(0)=∴f(0)=0 令x∈(-1,1)∴-x∈(-1,1)∴f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0 ∴f(-x)=-f(x)∴f(x)在(-1,1)上为奇函数 例2. (1)函数,,若对于任意实数,都有,求证: 为奇函数。 (2)设函数定义在上,证明是偶函数,是奇函数。 考点2函数奇偶性、单调性的综合应用 例1.已知奇函数是定义在上的减函数,若,求实数的取值范围。 [解析]是定义在上奇函数对任意有 由条件得= 是定义在上减函数,解得 实数的取值范围是 例2.设函数对于任意的,都有,且时, (1)求证是奇函数; (2)试问当时,是否有最值? 如果有,求出最值;如果没有,说出理由。 例3.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a21) [解析]设0 ∴f(-x2) ∴f(x2) 由f(2a21) 2a21>3a2-2a+1.解之,得0 又a2-3a+1=(a-)2-. ∴函数()的单调减区间是 结合0 函数的周期性 (一)知识梳理 1.函数的周期性的定义: 对于函数,如果存在一个非零常数,使得定义域内的每一个值,都满足,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个
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