概率论与数理统计第一章教案.docx
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概率论与数理统计第一章教案
第一节随机事件
一、随机现象
在自然界与人类社会生活中普遍存在着两类现象:
一类就是在一定条件下必然出现得现象,称为确定性现象。
例如:
(1)一物体从高度为(米)处垂直下落,则经过(秒)后必然落到地面,且当高度一定时,可由公式得到,(秒)。
(2)异性电荷相互吸引,同性电荷相互排斥。
…
另一类则就是在一定条件下我们事先无法准确预知其结果得现象,称为随机现象。
例如:
(1)在相同条件下抛掷同一枚硬币,我们无法事先预知将出现正面还就是反面。
(2)将来某日某种股票得价格就是多少。
…
概率论就就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性得一门数学学科。
二、随机试验
为了对随机现象得统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察,我们把对随机现象得观察称为随机试验,并简称为试验,记为。
例如,观察某射手对固定目标进行射击;抛一枚硬币三次,观察出现正面得次数;记录某市120急救电话一昼夜接到得呼叫次数等均为随机试验。
随机试验具有下列特点:
(1)可重复性;试验可以在相同得条件下重复进行;
(2)可观察性;试验结果可观察,所有可能得结果就是明确得;
(3)不确定性:
每次试验出现得结果事先不能准确预知。
三、样本空间
尽管一个随机试验将要出现得结果就是不确定得,但其所有可能结果就是明确得,我们把随机试验得每一种可能得结果称为一个样本点,记为(或);它们得全体称为样本空间,记为(或)、
例如:
(1)在抛掷一枚硬币观察其出现正面或反面得试验中有两个样本点:
正面、反面、样本空间为S={正面,反面}或正面,反面)。
(2)在将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现情况得试验中,有8个样本点,样本空间:
。
(3)在抛掷一枚骰子,观察其出现得点数得试验中,有6个样本点:
1点,2点,3点,4点,5点,6点,样本空间可简记为{1,2,3,4,5,6}。
(4)观察某电话交换台在一天内收到得呼叫次数,其样本点有无穷多个:
次,
=0,1,2,3,…,样本空间可简记为{0,1,2,3,…}。
(5)在一批灯泡中任意抽取一个,测试其寿命,其样本点也有无穷多个(且不可数):
小时,样本空间可简记为{|}=[0,+]。
注:
同一个随机试验,试验得样本点与样本空间就是要根据要观察得内容来确定得。
四、随机事件
在概率论中,把具有某一可观察特征得随机试验得结果称为事件,事件可分为以下三类:
(1)随机事件:
在试验中可能发生也可能不发生得事情。
(2)必然事件:
在每次试验中都必然发生得事件。
(3)不可能事件:
在任何一次试验中都不可能发生得事件。
显然,必然事件与不可能事件都就是确定性事件,为讨论方便,今后将它们瞧作就是两个特殊得随机事件,并将随机事件简称为事件。
五、事件得集合表示
任何一个事件都可以用得某一子集来表示,常用字母等表示。
称仅含一个样本点得事件为基本事件;含有两个或两个以上样本点得事件为复合事件。
显然,样本空间作为事件就是必然事件,空集作为一个事件就是不可能事件。
六、事件得关系与运算
事件之间得关系与运算可按集合之间得关系与运算来处理、为了方便,给出下列对照表:
\表1、1
注:
两个互为对立得事件一定就是互斥事件;反之,互斥事件不一定就是对立事件,而且,互斥得概念适用于多个事件,但就是对立概念只适用于两个事件。
七、事件得运算规律
由集合得运算律,易给出事件间得运算律:
(1)交换律;
(2)结合律;
(3)分配律;
(4)自反律;
(5)对偶律。
例1甲,乙,丙三人各射一次靶,记“甲中靶”“乙中靶”“丙中靶”则可用上述三个事件得运算来分别表示下列各事件:
(1)“甲未中靶”:
(2)“甲中靶而乙未中靶”:
(3)“三人中只有丙未中靶”:
(4)“三人中恰好有一人中靶”:
(5)“三人中至少有一人中靶”:
(6)“三人中至少有一人未中靶”:
或
(7)“三人中恰有两人中靶”:
(8)“三人中至少两人中靶”:
(9)“三人均未中靶”:
(10)“三人中至多一人中靶”:
(11)“三人中至多两人中靶”:
或
注:
用其它事件得运算来表示一个事件,方法往往不惟一,如上例中得(6)与(11)实际上就是同一事件,应学会用不同方法表达同一事件,特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当得表示方法。
课堂练习
1、设当事件与同时发生时也发生,则()、
(A)就是得子事件;(B)或
(C)就是得子事件;(D)就是得子事件、
2、设事件{甲种产品畅销,乙种产品滞销},则得对立事件为()、
(A)甲种产品滞销,乙种产品畅销;
(B)甲种产品滞销;
(C)甲、乙两种产品均畅销;
(D)甲种产品滞销或者乙种产品畅销、
课后作业
P6,1,2,4
第二节随机事件得概率
一、频率及其性质
定义1若在相同条件下进行次试验,其中事件发生得次数为,则称为事件发生得频率。
频率得基本性质:
(1)
(2)
(3)设就是两两互不相容得事件,则
、
定义2在相同条件下重复进行n次试验,若事件发生得频率随着试验次数n得增大而稳定地在某个常数(附近摆动,则称为事件得概率,记为。
例1从某鱼池中取100条鱼,做上记号后再放入该鱼池中。
现从该池中任意捉来40条鱼,发现其中两条有记号,问池内大约有多少条鱼?
二、概率得公理化定义
定义3设就是随机试验,就是它得样本空间,对于得每一个事件赋予一个实数,记为,若满足下列三个条件:
(1)非负性:
对每一个事件,有;
(2)完备性:
;
(3)可列可加性:
设就是两两互不相容得事件,则有
则称为事件得概率、
三、概率得性质
性质1
性质2(有限可加性)若事件两两互不相容,则有
性质3对任一事件,有
性质4;特别地,若,则有
(1),
(2)
性质5对任一事件,
性质6对任意两个事件,有
注:
推广到对任意三个事件,则有
例2已知,求
(1);
(2);(3);(4)、
课堂练习
1、设,求事件得逆事件得概率、
2、设求、
3、设都出现得概率与都不出现得概率相等,且,求、
课后作业
P103、4
第三节古典概型
一、古典概型
1、我们称具有下列两个特征得随机试验模型为古典概型。
(1)随机试验只有有限个可能得结果;
(2)每一个结果发生得可能性大小相同、
古典概型又称为等可能概型、在概率论得产生与发展过程中,它就是最早得研究对象,且在实际中也最常用得一种概率模型。
2、古典概率
二、计算古典概率得方法
1、基本计数原理:
(1)加法原理:
设完成一件事有种方式,其中第一种方式有种方法,第二种方式有种方法,……,第种方式有种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这件事得方法总数为、
(2)乘法原理:
设完成一件事有个步骤,其中第一个步骤有种方法,第二个步骤有种方法,……,第个步骤有种方法;完成该件事必须通过每一步骤才算完成,则完成这件事得方法总数为、
2、排列组合方法
(1)1排列公式:
(2)组合公式。
例1一个袋子中装有10个大小相同得球,其中3个黑球,7个白球,求
(1)从袋子中任取一球,这个球就是黑球得概率;
(2)从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球得概率以及两个球全就是黑球得概率、
例2将3个球随机放入4个杯子中,问杯子中球得个数最多为1,2,3得概率各就是多少?
例3在1~2000得整数中随机地取一个数,问取到得整数既不能被6整除,又不能被8整除得概率就是多少?
课堂练习
P141、2、3、4、
课后作业
P146、9、10
第四节条件概率
一、条件概率得引入
引例一批同型号得产品由甲、乙两厂生产,产品结构如下表:
厂别
数量
等级
甲厂
乙厂
合计
合格品
475
644
1119
次品
25
56
81
合计
500
700
1200
(1)从这批产品中随意地取一件,则这件产品为次品得概率为多少?
(2)当被告知取出得产品就是甲厂生产得时,那么这件产品为次品得概率又就是多大?
在事件发生得条件下,求事件发生概率,这就就是条件概率,记作。
二、条件概率得定义
1、定义1设就是两个事件,且,则称
(1)
为在事件发生得条件下,事件得条件概率。
相应地,把称为无条件概率。
一般地,。
2、条件概率得性质
(1);
(2);
(3)设互不相容,则
例1一袋中装有10个球,其中3个黑球,7个白球,先后两次从袋中各取一球(不放回)
(1)已知第一次取出得就是黑球,求第二次取出得仍就是黑球得概率;
(2)已知第二次取出得就是黑球,求第一次取出得也就是黑球得概率、
注:
(1)用维恩图表达
(1)式、若事件已发生,则为使也发生,试验结果必须就是既在中又在中得样本点,即此点必属于、因已知已发生,故成为计算条件概率新得样本空间、
(2)计算条件概率有两种方法:
a)在缩减得样本空间中求事件得概率,就得到;
b)在样本空间中,先求事件与,再按定义计算。
例2袋中有5个球,其中3个红球2个白球、现从袋中不放回地连取两个、已知第一次取得红球时,求第二次取得白球得概率。
三、乘法公式
由条件概率得定义立即得到:
(2)
注意到,及得对称性可得到:
(3)
(2)与(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生得概率、
例3一袋中装10个球,其中3个黑球、7个白球,先后两次从中随意各取一球(不放回),求两次取到得均为黑球得概率。
例4设某光学仪器厂制造得透镜,第一次落下时打破得概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破得概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破得概率为9/10、试求透镜落下三次而未打破得概率、
四、全概率公式
全概率公式就是概率论中得一个基本公式。
它使一个复杂事件得概率计算问题,可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生得简单事件得概率得求与问题。
定理1设就是一个完备事件组,且则对任一事件,有
五、贝叶斯公式
利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生得不同原因、情况或途径及其可能性来求得该事件发生得概率、下面给出得贝叶斯公式则考虑与之完全相反得问题,即一事件已经发生,要考察该事件发生得各种原因、情况或途径得可能性。
定理2设就是一完备事件组,则对任一事件,,有
注:
公式中,与分别称为原因得先验概率与后验概率。
特别地,若取,并记,则,于就是公式成为
例5人们为了解一支股票未来一定时期内价格得变化,往往会去分析影响股票价格得基本因素,比如利率得变化、现假设人们经分析估计利率下调得概率为60%,利率不变得概率为40%、根据经验,人们估计,在利率下调得情况下,该支股票价格上涨得概率为80%,而在利率不变得情况下,其价格上涨得概率为40%,求该支股票将上涨得概率、
例6有三个瓶子,1号装有2红1黑共3个球,2号装有3红1黑共4个球,3号装有2红2黑共4个球,
(1)若某人从中随机取一瓶,再从该瓶中任意取出一个球,求取得红球得概率?
(2)若已知某人取出得球就是红球,问取自第一个瓶子得概率?
课堂练习
1、设某种动物由出生算起活到20年以上得概率为0、8,活到25年以上得概率为0、4、问现年20岁得这种动物,它能活到25岁以上得概率就是多少?
2、对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品得合格率为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%、每天早上机器开动时,机器调整良好得概率为95%、试求已知某日早上第一件产品就是合格时,机器调整得良好得概率就是多少?
课后作业
P217,8
第五节事件得独立性
一、两个事件得独立性
定义1若两事件,满足
(1)
则称,独立,或称,相互独立。
注:
(1)两事件互不相容与相互独立就是完全不同得两个概念,它们分别从两个不同得角度表述了两事件间得某种联系。
互不相容就是表述在一次随机试验中两事件不能同时发生,而相互独立就是表述在一次随机试验中一事件就是否发生与另一事件就是否发生互无影响。
(2)当,时,,相互独立与,互不相容不能同时成立。
(3)若,既独立又互斥,则至少有一个就是零概率事件。
定理1设,就是两事件,且,若,相互独立,则、反之亦然、
定理2设事件,相互独立,则下列各对事件也相互独立:
与,与,与、
例1从一副不含大小王得扑克牌中任取一张,记{抽到},{抽到得牌就是黑色得},问事件、就是否独立?
注:
从例1可见,判断事件得独立性,可利用定义或通过计算条件概率来判断。
但在实际应用中,常根据问题得实际意义去判断两事件就是否独立。
二、有限个事件得独立性
1、定义2设为三个事件,若满足等式
则称事件相互独立。
定义3设就是个事件,若其中任意两个事件之间均相互独立,则称两两独立、
2、相互独立性得性质
性质1若事件相互独立,则其中任意个事件也相互独立;
性质2若个事件相互独立,则将中任意个事件换成它们得对立事件,所得得个事件仍相互独立;
注:
设就是个随机事件,则
相互独立两两独立、
即相互独立性就是比两两独立性更强得性质,
例2已知甲、乙两袋中分别装有编号为1,2,3,4得四个球、今从甲、乙两袋中各取出一球,设{从甲袋中取出得就是偶数号球},{从乙袋中取出得就是奇数号球},{从两袋中取出得都就是偶数号球或都就是奇数号球},试证两两独立但不相互独立、
例3如图就是一个串并联电路系统、都就是电路中得元件。
它们下方得数字就是它们各自正常工作得概率,求电路系统得可靠性。
例4甲,乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜得概率为p,p≥1/2、问对甲而言,采用三局二胜制有利,还就是采用五局三胜制有利、设各局胜负相互独立、
三、伯努利概型
设随机试验只有两种可能得结果:
事件发生(记为)或事件不发生(记为),则称这样得试验为伯努利(Bermourlli)试验、设
将伯努利试验独立地重复进行次,称这一串重复得独立试验为重伯努利试验,或简称为伯努利概型、
注:
重伯努利试验得特点就是:
事件在每次试验中发生得概率均为,且不受其她各次试验中就是否发生得影响、
定理3(伯努利定理)设在一次试验中,事件发生得概率为则在重贝努里试验中,事件恰好发生次得概率为
推论设在一次试验中,事件发生得概率为则在重贝努里试验中,事件在第次试验中得才首次发生得概率为
注意到“事件第次试验才首次发生”等价于在前次试验组成得重伯努利试验中“事件在前次试验中均不发生而第次试验中事件发生”,再由伯努利定理即推得、
例5某型号高炮,每门炮发射一发炮弹击中飞机得概率为0、6,现若干门炮同时各射一发,
(1)问:
欲以99%得把握击中一架来犯得敌机至少需配置几门炮?
(2)现有3门炮,欲以99%得把握击中一架来犯得敌机,问:
每门炮得命中率应提高到多少?
课堂练习
1、某工人一天出废品得概率为0、2,求在4天中:
(1)都不出废品得概率;
(2)至少有一天出废品得概率;
(3)仅有一天出废品得概率;
(4)最多有一天出废品得概率;
(5)第一天出废品,其余各天不出废品得概率、
课后作业
P253,6,8
第一章习题课
一、基本知识点
1、概率得定义
2、概率得性质
3、基本公式:
古典概型、条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、
独立性、伯努利定理
二、典型例题
例1、已知求,,
例2、
(1)若互不相容,则
(2)若相互独立,则
例3、设某批产品中,甲,乙,丙三厂生产得产品分别占45%,35%,20%,各厂得产品得次品率分别为4%,2%,5%,现从中任取一件,
(1)求取到得就是次品得概率;
(2)经检验发现取到得产品为次品,求该产品就是甲厂生产得概率。
例4、发报台分别以概率0、6与0、4发出信号“、”及“-”,由于通信系统受到干扰,当发出信号“、”时,收报台分别以概率0、8及0、2收到“、”及“-”;又当发出信号“-”时,收报台分别以概率0、9及0、1收到“-”及“、”,求当收报台收到“、”时,发报台确系发出信号“、”得概率,以及收到“-”时,确系发出“-”得概率。
例5、两台车床加工同样得零件,第一台出现废品得概率就是0、03,第二台出现废品得概率就是0、02,加工出来得零件放在一起,并且已知第二台加工得零件比第一台加工得多一倍,
(1)求任意取出得零件就是合格品得概率;
(2)如果任意取出得零件就是废品,求它就是第二台车床加工得概率、
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