直角坐标系伸缩变换.docx
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直角坐标系伸缩变换.docx
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直角坐标系伸缩变换
课前案
知识梳理:
(一)、直角坐标系:
1、直线上点的坐标:
2、平面直角坐标系:
右手系:
左手系:
3、空间直角坐标系:
(二)、平面上的伸缩变换:
1、定义:
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换
x'x(0)
:
y'y(0)
的作用下,点P(x,y)对应P’(x’,y称’).为平面直角坐标系中的伸缩变换
2、注
(1)0,0
^.
1
x
x'
例2、在同一平面直角坐标系中,
曲线C经过伸缩变换
3
后的曲线方程是4x'
2
9y'
2
36,
1
y'y
2
求曲线C的方程。
x'
3x
例3.
(1)在同一平面直角坐标系中,曲线C经过伸缩变换
后的曲线方程是
y'
y
2
2
x'
9y'9,求曲线C的方程。
(2)把图形看成点的运动轨迹,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到;
(3)在伸缩变换下,平面直角坐标系不变,在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
(2)、在同一平面直角坐标系中,求直线
x-2y=2变成直线2x'y'
4的伸缩变换
课中案
例1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件,求出原图形的方程:
x'
3x
(3,4),则x=
,y=.
(1)、已知点(x,y)经过伸缩变换
后的点的坐标是
y'
2y
x'1x
例4.曲线C经过伸缩变换3后的曲线方程是4x'29y'236,求曲线C的方程。
1
y'
1
y
(2)、已知点(x,y)
经过伸缩变换
x'
x后的点的坐标是(
-2,6),则x=
,y=
;
2
2
y'3y
课后案
1.将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是()
x'
2
x'
3
x
x
x'
y
x'
x
1
A.
3
B.
2
C.
D.
3
2
y'
x
y'
y
1
y'
y'
y
y
2
3
2.将点P(x,y)的横坐标伸长到原来的
2倍,纵坐标压缩为原来的
1,得到点P的坐标为
3
()
A.
x,3)
B.
(2x,
y
C.
(3x,
y
D.
(
x
(2
y
3)
2)
3,2y)
x
x
log2(x2)
3.曲线C经过伸缩变换
y
1y后得到曲线C的方程为y
则曲线C的
3
方程为
(
)
A.
1
B.
y
3log2(x
2)
y
3log2(x
2)
C.
y
1
2)
D.y
log2(3x
2)
log2(3x
4.把函数y
sin2x的图像作怎样的变换能得到
y
sin(2x
3
)的图像
(
)
A.向左平移
6
B
.向右平移
C
.向左平移
3
D
.向右平移
6
3
5.将y
f(x)的图像横坐标伸长到原来的
3倍,纵坐标缩短到原来的
1,则所得函数的解析式为
3
(
)
A.y3f(3x)
B.
y
1f(3x)
C.
y
3f(1x)
D.
y
1f(1x)
3
3
3
3
1
6.点(x,y)经过伸缩变换
x'
2x后的点的坐标是(
-2,6),则x
,y
;
y'
3y
7.将直线x
2y
2变成直线2x'
y'
4的伸缩变换是.
8.为了得到函数
y
x
),x
R的图像,只需将函数y
2sinx,x
R的图像上所有的点
2sin(
3
6
^.
A.向左平移
6
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1倍(纵坐标不变)
3
B.向右平移
6
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1倍(纵坐标不变)
3
C.向左平移
6
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的
3倍(纵坐标不变)
D.向右平移
6
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的
3倍(纵坐标不变)
9.曲线y
sin(x
x'
3x
)经过伸缩变换
后的曲线方程是
;
6
y'
2y
10.曲线x2
y2
2x
0变成曲线x'2
16y'2
4x'0的伸缩变换是.
x'
1x
11.曲线9x2
4y2
36经过伸缩变换
2
后的曲线方程是
.
y'
1
y
3
12.将直线x
2y
2变成直线2x'y'
4的伸缩变换是.
13.函数y
1
cos2x
3sinxcosx
1,x
R.
2
2
(1)当函数y取得最大值时,求自变量
x的集合;
(2)该函数的图像可由
ysinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?
()
^.
^.
3.在伸缩变换
x'
2x
x'
2x
y2
1分别变成什么图形?
y'
与
y'
的作用下,单位圆x2
y
2y
4.函数y
x
,经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数
y
1
?
3x1
x
1.点(x,y)经过伸缩变换
x'
3x
4),则x
,y.
y'
后的点的坐标是(3,
2y
2.将直线x
2y
2变成直线
2x'
y'4的伸缩变换是.
3.为得到函数y
2sin(x
6
),x
R的图像,需将y
2sinx,xR的图像上所有的点(
)
3
1倍(纵坐标不变)
A.向左平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
6
3
B.向右平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1倍(纵坐标不变)
6
3
C.向左平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的
3倍(纵坐标不变)
6
D.向右平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的
3倍(纵坐标不变)
6
4.曲线ysin(x
)经过伸缩变换
x'
3x
y'
后的曲线方程是
;
6
2y
5.将曲线x2
y2
2x0变成曲线x'2
16y'24x'0
的伸缩变换是.
6.函数f(x)的图像是将函数
log2(x
1)的图像上各点的横坐标变为原来的
1,纵坐标变为原来
的1而得到的,则与
3
f(x)的图像关于原点对称的图像的解析式是
。
2
x'2x
1.点(,1)经过伸缩变换后的点的坐标是;
2y'3y
x'
1
x
2
问题一:
(1)点(2,-3)经过伸缩变换
后的点的坐标是
;
1
y'
y
3
解:
变式
1.(1,-1);
1
(2)点(x,y)经过伸缩变换
x'
2
x后的点的坐标是(
-2,6),则x
,y
;
y'
3y
解:
变式2.x4,y
2
x'
1x
问题二:
(1).曲线9
x
2
4
y
2
36
经过伸缩变换
2
后的曲线方程是
'2
y
'2
1
.
1
x
y'
y
3
x'
1x
(2)曲线
C经过伸缩变换
3
后的曲线方程是
4x'
2
9y'
2
36,则曲线
C的方程是
1y
y'
2
x'2y'2
1
.
x'
2x
(
3);
1.点(,1)经过伸缩变换
后的点的坐标是
;
2
y'
3y
x'
2x
x'
2x
y2
1分别变成什么图形?
3.在伸缩变换
与伸缩变换
的作用下,单位圆x2
y'
y
y'
2y
x'
2x
x'2
y'
2
1
x'
2x
解:
在
的作用下,单位圆变成椭圆
4
;在
的作用下,单位圆变成圆
y'
y
y'
2y
x'2y'2
4;
^.
4.函数y
x
,经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数
y
1?
3x
1
x
解:
分析:
可考虑先伸缩,再平移;也可考虑先平移,再伸缩;也可交替地运用平移与伸缩。
方法一、(先伸缩,再平移)
y伸长到原来的3倍:
1y
x
1
得y
3x
1
3
3x
3x
3(1x)
x
1
1
x伸长到原来的
3倍:
y
3
1
得y
1
1
x
1
1
x
1
1
x
3(
x)
3
向左平移
1个单位,再向下平移
1个单位:
(y
1)
1
1
得y
1
(x
1)
。
1
x
方法二、(先平移,再伸缩)
1
x
1
1
1
1
1
向左平移
个单位:
y
3
得y
3
1
3
9x
3
9x
3(x
1
)
3
再向下平移
1个单位:
(y
1)
1
1
得y
1
3
3
3
9x
9x
x伸长到原来的
9倍:
y
1
1
1
x
9(
x)
9
方法三、(平移与伸缩的交替运用)
1x
1x
x
1
x伸长到原来的
3倍:
y
3
3
得3y
1
1
1
x
1
x
1
x
1
3(
x)
3
向左平移
1个单位:
3y
1
1
1
1
(x
1)
1
x
y伸长到原来的
3倍:
3(1y)
1
1
得y
1
1
3
1
x
1
x
向下平移
1个单位:
y1
1
得y
x
x
评注:
这是一道培养发散思维能力的好题。
五,作业
x'
3x
(3,4),则x
x,
1.点(x,y)经过伸缩变换
后的点的坐标是
y'
2y
y
y2.
2.将直线x2y2变成直线2x'y'
4
x'
x
的伸缩变换是
.
y'
4y
3.为了得到函数y
x
),x
R的图像,只需将函数y
2sinx,xR的图像上所有的点
2sin(
3
6
(C)
A.向左平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1倍(纵坐标不变)
6
3
B.向右平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1倍(纵坐标不变)
6
3
C.向左平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的
3倍(纵坐标不变)
6
D.向右平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的
3倍(纵坐标不变)
6
4.曲线y
sin(x
)经过伸缩变换
x'
3x
y'2sin(x'
);
y'
后的曲线方程是
6
2y
3
6
5.将曲线x2
y2
2x0变成曲线x'216y'24x'0的伸缩变换是
x'
2x
y'
1
.
y
2
6.函数f(x)的图像是将函数log2(x1)的图像上各点的横坐标变为原来的
1
,纵坐标变为原来
^.
的1
而得到的,则与
f(x)的图像关于原点对称的图像的解析式是
。
2
解:
Qylog2(x
1)
以3x,2y分别代x,y得2ylog2(3x
1)
y
1log2(3x
1)
有f(x)
1log2(3x1),它的图像关于原点对称的图像的解析式是
2
2
y
1log2(1
3x)
2
〖典例剖析〗
【例1】:
求下列点经过横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍后的点的坐标:
(1)(1,2);
(2)(-2,-1).
【例1】解:
(1)(2,6);
(2)(-4,-3).
【变式与拓展1】.
x'
2x
【例2】:
在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
后的图形:
y'
3y
(1)2x3y0;
(2)x2
y2
1.
【例2】解:
(1)x'y'0
;
(2)x'2
y'2
1
49
3
^.
^.
坐标压缩变换:
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标不变,将横坐标x缩为原来1/2,得到
x'
1
x
点P’(x’,y坐’标).对应关系为:
y'
2
y通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
思考2:
怎样由正弦曲线
y=sinx
得到曲线y=3sinx?
写出其坐标变换。
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持横坐标x不变,将纵坐标y伸长为原来3倍,
x'x
得到点P’(x’,y坐’标).对应关系为:
y'3y通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。
思考3:
怎样
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- 关 键 词:
- 直角 坐标系 伸缩 变换