c720043a5aeef8c75fbfc77da26925c52cc59138.docx
- 文档编号:10487712
- 上传时间:2023-02-13
- 格式:DOCX
- 页数:54
- 大小:816.82KB
c720043a5aeef8c75fbfc77da26925c52cc59138.docx
《c720043a5aeef8c75fbfc77da26925c52cc59138.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《c720043a5aeef8c75fbfc77da26925c52cc59138.docx(54页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
山西省太原市届高三第一次模拟数学理试题含答案解析
山西省太原市2022届高三第一次模拟数学(理)试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.
,则
( )
A.
B.
C.
D.
2.已知全集为
,集合
,
,集合
和集合
的韦恩图如图所示,则图中阴影部分可表示为( )
A.
B.
C.
D.
3.设
为非零向量,
,则下列命题为真命题的是( )
A.若
,则
B.若
,则
C.若
,则
D.若
,则
4.南北朝时期数学家,天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理:
幂势既同,则积不容异,其中“幂”指截面积,“势”指几何体的高.意思是说:
两个等高几何体,若在每一等高处截面积都相等,则两个几何体体积相等,已知某不规则几何体与一个由正方体和三棱锥组成的几何体满足“幂势同”,组合体的三视图如图所示,则该不规则几何体的体积为( )
A.
B.10C.12D.
5.
的内角
的对边分别为
.若
,
,
,则
的面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展,我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育,要求这5名教师被分派到3个学校对口支教,每名教师只去一个学校,每个学校至少安排1名教师,其中2名女教师分派到同一个学校,则不同的分派方法有( )
A.18种B.36种C.68种D.84种
7.下列函数图象中,函数
的图象不可能的是( )
A.
B.
C.
D.
8.设
,
是椭圆
:
的左、右焦点,过点
斜率为
的直线交椭圆于点
,若
,则椭圆
的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
9.已知α为锐角,且
,则α的值为( )
A.70°B.60°C.50°D.40°
10.在平面直角坐标系中,从
轴上点
向圆
作一条切线,设切线长为
,点
到直线
的距离为
,当
取最小值时,
的值为( )
A.2B.3C.
D.4
11.已知实数
,
满足
,
,则
( )
A.112B.28C.7D.4
12.已知函数
,若函数
恰有三个零点,则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13.
的展开式中
的系数为__________.
14.已知双曲线
的左焦点为
,点
在双曲线的渐近线上,
是边长为2的等边三角形(
为原点),则双曲线的方程为___________.
15.已知在三棱锥
中,
平面
,
,
,若三棱锥的外接球体积为
,则异面直线
与
所成角的余弦值为__________.
16.设函数
,给出下列四个结论:
①
的最小正周期为
; ②
的值域为
;
③
在
上单调递增; ④
在
上有4个零点.
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题
17.设数列
的前
项和为
,
,数列
满足
,
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)求数列
的通项公式;
(3)设数列
,求数列
的前
项和
.
18.某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”,经过层层选拔,甲、乙两个班级进入最后决赛,规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级4名选手,现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题.已知这4人中,甲班级有3人可以正确回答这道题目,而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为
,甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的.
(1)求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率.
(2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为
,
,求随机变量
,
的期望
,
和方差
,
,并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好.
19.已知一圆形纸片的圆心为
,直径
,圆周上有
、
两点.如图,
,
,点
是
上的动点.沿
将纸片折为直二面角,并连结
,
,
,
.
(1)当
平面
时,求
的长;
(2)当三棱锥
的体积最大时,求二面角
的余弦值.
20.已知抛物线
的焦点为
,点
为坐标原点,一条直线过定点
与抛物线相交于
、
两点,且
.
(1)求抛物线方程;
(2)连接
,
并延长交抛物线于
、
两点,设
和
的面积分别为
和
,则
是否为定值?
若是,求出其值;若不是,请说明理由.
21.已知函数
.
(1)求函数
在区间
上的最值;
(2)讨论方程
实根个数.
22.在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,点
的极坐标为
.
(1)求点
的直角坐标和曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线
和曲线
交于
,
两点,求点
到线段
中点
的距离.
23.已知函数
.
(1)求满足不等式
的最大整数
;
(2)在
(1)的条件下,对任意
,若
,求
的最小值.
参考答案:
1.A
【解析】
【分析】
利用复数除法运算求出复数
,再由共轭复数的意义求解作答.
【详解】
依题意,
,
所以
.
故选:
A
2.A
【解析】
图中阴影部分是表示不在集合
中,但在集合
中的元素.
【详解】
图中阴影部分是表示不在集合
中,但在集合
中的元素,根据题意,
,
故选:
A
3.D
【解析】
【分析】
根据向量垂直的数量积表示判断A,由向量共线判断BC,利用数量积的运算判断D.
【详解】
对于A,
,结论不成立,命题为假;
对于B,当
与
方向相反时,结论不成立,命题为假;
对于C,当
与
共线时,结论不成立,命题为假;
对于D,若
,则
,即
,则
,所以
,命题为真.
故选:
D.
4.A
【解析】
【分析】
根据三视图还原得该几何体为一个正方体与一个三棱锥的组合体,结合正方体和三棱锥的体积公式计算即可.
【详解】
由三视图还原得该几何体为一个正方体与一个三棱锥的组合体,
由题意可得,
.
故选:
A.
5.C
【解析】
【分析】
利用余弦定理可构造方程求得
,利用三角形面积公式可求得结果.
【详解】
由余弦定理可得:
,解得:
,
,
.
故选:
C.
6.B
【解析】
【分析】
由题意:
2名女教师分派到同一个学校考虑该校是否分配男教师,即可求出答案.
【详解】
根据题意,分派方案可分为两种情况:
①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校,则有
种方法.
②2名女教师分派到同一个学校,且该学校没有分配没有男教师,则有:
种方法.
故一共有:
36种分配方法.
故选:
B.
7.C
【解析】
当
时,验证
正确.当
时,验证
正确.当
时,验证
正确.
【详解】
当
时,
,定义域为
关于原点对称.
,则
为偶函数.
当
时,
.
则
即函数
在
上单调递增,则函数
在
上单调递减.
此时函数
的图象可能为
选项.
当
时,
,定义为
且
关于原点对称.
,则
为偶函数.
当
时,
.
则
当
时
,即函数
在
上单调递减
当
时
,即则函数
在
上单调递增.
根据对称性可知,此时函数
的图象可能为
选项.
当
时,
,定义为
关于原点对称.
,则
为奇函数.
当
时,
.
则
令
,则
即
并且在
上单调递增,并且
在
上单调递增.
根据对称性可知,此时函数
的图象可能为
选项.
故选:
C
【点睛】
本题考查函数的图象,判断函数的奇偶性,利用导数判断函数的单调性,属于较难的题.
8.B
【解析】
【分析】
根据给定条件求出
,由椭圆半焦距为c表示
,然后利用椭圆定义列式计算作答.
【详解】
因过点
斜率为
的直线交椭圆于点
,则有
,
,
因此,在
中,
,令椭圆半焦距为c,于是得
,
,
由椭圆定义得:
,
,
所以椭圆
的离心率是
.
故选:
B
9.D
【解析】
【分析】
直接利用三角函数关系式的恒等变换求出
即得解.
【详解】
解:
由
可得
,
即
,
所以
,
又
为锐角,故
.
故选:
D.
10.B
【解析】
【分析】
利用切线长定理求出m的表达式,结合几何意义将问题转化为点P到定点距离与到定直线距离的和最小求解作答.
【详解】
圆
的圆心
,半径
,过点P作圆的切线PA,A为切点,连接PC,AC,如图,
则有
,
,
表示动点P到定点
的距离,令直线
为l,过P作
于点R,则
,
过M作
于N,交x轴于点Q,连PM,MR,
,当且仅当P,Q重合时取“=”,
直线
的斜率为
,其方程为:
,令
,得
,则
,
当
取最小值时,
的值为3.
故选:
B
11.B
【解析】
【分析】
等式
化为:
,构造函数并探讨其单调性,求出x,y的关系推理计算作答.
【详解】
由
得:
,即
,显然有
,
令
,则有
,即有
在
上单调递增,
依题意,
,即
得:
,又
,则
,解得
,
所以
.
故选:
B
【点睛】
思路点睛:
涉及含有不同变量的两个等式,细心挖掘问题的内在联系,构造函数,分析并运用函数的单调性求解作答.
12.C
【解析】
【分析】
令
,易知0是其中一个零点,当
时,转化为
,令
,作出函数
的图象,由
有两个不同的交点求解.
【详解】
解:
令
,
当
时,成立,
当
时,可化为
,
令
,
当
时,
,则
,
令
,则
,
所以
递减,则
即
,
所以
在
上递增,
作出函数
的图象,如图所示:
因为函数
恰有三个零点,且0是其中一个零点,
所以
有两个不同的交点,
由图象知:
,
故选:
C
13.
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项公式可求得结果.
【详解】
因为
,又
的展开式的通项
所以
的展开式中
的系数为
.
故答案为:
.
14.
【解析】
【分析】
由题意可知
,进而可得出
,再结合
可求得
、
的值,由此可得出双曲线的方程.
【详解】
由于
是边长为
的等边三角形,则
,
由题意可得
,解得
,
因此,双曲线的方程为
.
故答案为:
.
15.
##0.5
【解析】
【分析】
根据给定条件,确定出三棱锥外接球球心并求出球半径,再借助空间向量计算作答.
【详解】
在三棱锥
中,因
平面
,
平面
,则
,
,而
,
,
平面
,因此,
平面
,又
平面
,则
,
取PC中点O,连接BO,AO,如图,于是得
,即有O是三棱锥
的外接球球心,
由
得:
,
,而
,则有
,
而
,
,则
,
从而有
,
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故答案为:
16.①②④
【解析】
【分析】
讨论
的范围去掉绝对值可得到
,结合图象逐项分析可得答案.
【详解】
当
时,
,
当
时,
,
当
时,
,
当
时,
,
所以
,
的图象如下
所以
的最小正周期为
,①正确;
的值域为
,②正确;
在
上有增有减,③错误;
在
上有4个零点,④正确.
故答案为:
①②④.
17.
(1)
;
(2)
;
(3)
.
【解析】
【分析】
(1)根据递推公式,结合数列前
项和与第
项之间的关系、等比数列的定义进行求解即可;
(2)根据递推公式,结合
(1)中的结论进行求解即可;
(3)根据平方差公式,结合等差数列前
项和公式进行即可.
(1)
由
因为
,
所以当
时,
,
得:
,所以
,
当
时,也适合,因此
;
(2)
因为
,
所以当
时,
,
两式相减得:
,
由
(1)可知:
,所以
,
当
时,
,也适合上式,
故
;
(3)
因为
,
所以
,
因此
.
18.
(1)
(2)
,
,
,甲班级代表学校参加大赛更好.
【解析】
【分析】
(1)根据相互独立事件的概率计算公式即可求出答案;
(2)结合超几何分布和二项分布,根据数学期望和方差的定义依次求出
,
,
,
,由此可求出答案.
(1)
解:
甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率
;
(2)
解:
甲班级能正确回答题目人数为
,则
的可能取值为1,2,
,
,
则
,
.
乙班级能正确回答题目人数为
,则
的可能取值为0,1,2.所以
,
∴
,
.
由
,
可知,由甲班级代表学校参加大赛更好.
19.
(1)
;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)利用线面平行可得
,进而求出等腰
的底角即可计算作答.
(2)由已知证明
平面
,再由体积最大可得
,然后作出二面角
的平面角,借助直角三角形求解作答.
(1)
因
平面
,
平面
内,平面
平面
,则有
,
因此,
,而
,则
,
所以
的长是
.
(2)
因
,平面
平面
,平面
平面
,
平面ABC,则
平面
,
三棱锥
的体积
,
因此,三棱锥
的体积最大,当且仅当
,即
,
取PD中点M,连接OM,CM,由
,
可得
,如图,
于是得
,即
是二面角
的平面角,
而
,在
中,
,则
,
,
所以二面角
的余弦值是
.
20.
(1)
;
(2)存在定值,定值为
.理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据题意设出直线方程,利用平面向量互相垂直的性质,结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可;
(2)根据三角形面积公式,结合
(1)中的方法进行求解即可.
(1)
设直线
的方程为:
,
与抛物线方程联立为:
,设
,
所以
,因为
,
所以
,
化简得:
,把
代入得:
,所以抛物线的方程为
;
(2)
抛物线
的焦点
,
设直线
的方程为:
,
与抛物线方程联立为:
,设
,
所以
,即
,
设
,同理可得:
,即
,
,因为
,所以
,
因为
,所以
,
而
,
,
,
所以
,因此
为定值,定值为
.
【点睛】
关键点睛:
利用一元二次根与系数的关系是解题的关键.
21.
(1)最小值为
,最大值为
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
(1)首先求函数的导数,再分析函数的单调性,再求函数的最值;
(2)构造函数
,再根据导函数求出单调性、最值,结合图像,即可求解.
(1)
函数
的定义域是
,
令
则
在
上单调递增.
又
时,
,
当
时,
单调递减;
当
时,
单调递增.
故函数
在
上单调递减,在
上单调递增,
又
且显然
函数
在区间
上的最小值为
,最大值为
(2)
即为
,得
,
即
,令
易知
在
上单调递增,故
,
构造函数
,
则
故
在
上单调递减,在
上单调递增.
.
①当
时,
恒成立,方程
没有实根;
②当
时,当
时,
;当
时,
恒成立;方程
有1个实根;
③当
时,
,
先证:
时,
,
令
,即
时,
,
当
时,
即
在
上分别有一个零点,而
在
上单调递递减,在
上单调递递增,所以
在
上分别有一个零点,
因此方程
有2个实根.
22.
(1)
;
;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)利用极坐标与直角坐标互化公式求出点
的直角坐标和曲线
的直角坐标方程.
(2)将直线
的参数方程代入曲线
的直角坐标方程,求出点M所对参数,再结合参数的几何意义计算作答.
(1)
点
的极坐标为
,由
可得点P的直角坐标为
,
曲线
:
,即
,
于是得曲线
的直角坐标方程:
.
(2)
显然点
在直线
上,将直线
的参数方程为
(
为参数)代入方程
得:
,整理得:
,
设点
,
所对参数分别为
,线段
中点
所对参数为
,则
是方程
的两根,
于是得
,
,
所以点
到线段
中点
的距离为
.
23.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据零点分段法解不等式,即可求出
的值;
(2)由
,结合基本不等式,利用乘“1”法即可求得
的最小值.
(1)
当
时,原不等式可转化为
,
所以
;
当
时,原不等式可转化为
,解得
,
所以
当
时,原不等式可转化为
,解得
(舍),
综上所述,原不等式的解集为
,
所以满足不等式
的最大整数
.
(2)
由
(1)得
,
因为
,
所以
,
当且仅当
,即
时等号成立,
故
的最小值为
.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- c720043a5aeef8c75fbfc77da26925c52cc59138