完整word版鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解.docx
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完整word版鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解
鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解
【鸡兔问题公式】
(1)已知总头数和总脚数,求鸡、兔各多少:
(总脚数-每只鸡的脚数×总头数)÷(每只兔的脚数-每只鸡的脚数)=兔数;
总头数-兔数=鸡数。
或者是(每只兔脚数×总头数-总脚数)÷(每只兔脚数-每只鸡脚数)=鸡数;
总头数-鸡数=兔数。
例如,“有鸡、兔共36只,它们共有脚100只,鸡、兔各是多少只?
”
解一(100-2×36)÷(4-2)=14(只)………兔;
36-14=22(只)……………………………鸡。
解二(4×36-100)÷(4-2)=22(只)………鸡;
36-22=14(只)…………………………兔。
(答略)
(2)已知总头数和鸡兔脚数的差数,当鸡的总脚数比兔的总脚数多时,可用公式
(每只鸡脚数×总头数-脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的兔数;=脚数).
总头数-兔数=鸡数
或(每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只免的脚数)=鸡数;
总头数-鸡数=兔数。
(例略)
(3)已知总数与鸡兔脚数的差数,当兔的总脚数比鸡的总脚数多时,可用公式。
(每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;
总头数-兔数=鸡数。
或(每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=鸡数;
总头数-鸡数=兔数。
(例略)
(4)得失问题(鸡兔问题的推广题)的解法,可以用下面的公式:
(1只合格品得分数×产品总数-实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。
或者是总产品数-(每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。
例如,“灯泡厂生产灯泡的工人,按得分的多少给工资。
每生产分。
15还要扣除每生产一个不合格品不仅不记分,分,4一个合格品记.
某工人生产了1000只灯泡,共得3525分,问其中有多少个灯泡不合格?
”
解一(4×1000-3525)÷(4+15)
=475÷19=25(个)
解二1000-(15×1000+3525)÷(4+15)
=1000-18525÷19
=1000-975=25(个)(答略)
(“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”,运到完好无损者每只给运费××元,破损者不仅不给运费,还需要赔成本××元……。
它的解法显然可套用上述公式。
)
(5)鸡兔互换问题(已知总脚数及鸡兔互换后总脚数,求鸡兔各多少的问题),可用下面的公式:
〔(两次总脚数之和)÷(每只鸡兔脚数和)+(两次总脚数之差)÷(每只鸡兔脚数之差)〕÷2=鸡数;
〔(两次总脚数之和)÷(每只鸡兔脚数之和)-(两次总脚数之差)÷(每只鸡兔脚数之差)〕÷2=兔数。
例如,“有一些鸡和兔,共有脚44只,若将鸡数与兔数互换,则共有脚52只。
鸡兔各是多少只?
”
〕÷2)4-2)÷(52-44(+)4+2)÷(52+44(〔解
=20÷2=10(只)……………………………鸡
〔(52+44)÷(4+2)-(52-44)÷(4-2)〕÷2
=12÷2=6(只)…………………………兔(答略)
鸡兔同笼
目录1总述2假设法3方程法一元一次方程二元一次方程
4抬腿法5列表法6详解7详细解法
基本问题特殊算法习题
8鸡兔同笼公式
1总述
鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。
大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的:
“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?
”这四句话的意思是:
有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。
问笼中各有几只鸡和兔?
算这个有个最简单的算法。
(总脚数-总头数×鸡的脚数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=兔的只数
鸡数=)12)-兔子数(35总头数()兔子数2=12()÷2×35-94(.
(23)
解释:
让兔子和鸡同时抬起两只脚,这样笼子里的脚就减少了头数×2只,由于鸡只有2只脚,所以笼子里只剩下兔子的两只脚,再除以2就是兔子数。
虽然现实中没人鸡兔同笼。
2假设法
假设全是鸡:
2×35=70(只)
鸡脚比总脚数少:
94-70=24(只)
兔:
24÷(4-2)=12(只)
鸡:
35-12=23(只)
假设法(通俗)
假设鸡和兔子都抬起一只脚,笼中站立的脚:
94-35=59(只)
然后再抬起一只脚,这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了,只剩下用两只脚站立的兔子,站立脚:
59-35=24(只)兔:
24÷2=12(只)鸡:
35-12=23(只)
3方程法
一元一次方程
解:
设兔有x只,则鸡有(35-x)只。
4x+2(35-x)=94
4x+70-2x=94
2x=94-70
2x=24
x=24÷2
x=12
35-12=23(只)
或解:
设鸡有x只,则兔有(35-x)只。
2x+4(35-x)=94
2x+140-4x=94
2x=46
x=23
35-23=12(只)
答:
兔子有12只,鸡有23只。
注:
通常设方程时,选择腿的只数多的动物,会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上,好算一些。
二元一次方程
解:
设鸡有x只,兔有y只。
x+y=35
2x+4y=94
(x+y=35)×2=2x+2y=70
(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)
y=12
把y=12代入(x+y=35)
x+12=35
(只)x=35-12.
x=23(只)。
答:
兔子有12只,鸡有23只
4抬腿法法一
假如让鸡抬起一只脚,兔子抬起2只脚,还有94除以2=47只脚。
笼子里的兔就比鸡的头数多1,这时,脚与头的总数之差47-35=12,就是兔子的只数。
法二
假如鸡与兔子都抬起两只脚,还剩下94-35×2=24只脚,这时鸡是屁股坐在地上,地上只有兔子的脚,而且每只兔子有两只脚在地上,所以有24÷2=12只兔子,就有35-12=23只鸡
5列表法
腿数
鸡(只数)
兔(只数)
6详解
中国古代《孙子算经》共三卷,成书大约在公元5世纪。
这本书浅显易懂,有许多有趣的算术题,比如“鸡兔同笼”问题:
今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?
题目中给出雉兔共有35只,如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来,看作是一只脚,两只后脚也用绳子捆起来,看作是一只脚,那么,兔子就成了2只脚,即把兔子都先当作两只脚的鸡。
鸡兔总的脚数是。
(只)94-70=24只要少94,比题中所说的(只)2=70×35.
现在,我们松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数就会增加2只,即70+2=72(只),再松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数又增加2,2,2,2……,一直继续下去,直至增加24,因此兔子数:
24÷2=12(只),从而鸡有35-12=23(只)。
我们来总结一下这道题的解题思路:
如果先假设它们全是鸡,于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看看差多少,每差2只脚就说明有1只兔,将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只兔。
概括起来,解鸡兔同笼题的基本关系式是:
兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数-每只鸡脚数)。
类似地,也可以假设全是兔子。
我们也可以采用列方程的办法:
设兔子的数量为x,鸡的数量为y
那么:
x+y=35那么4x+2y=94这个算方程解出后得出:
兔子有12只,鸡有23只。
7详细解法
基本问题
鸡兔同笼是一类有名的中国古算题。
最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法?
假设法来求解。
因此很有必要学会它的解法和思路.
例1有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只
而每只兔子都用一只脚站着;,金鸡独立每只鸡都是我们设想,解:
两条后腿,像人一样用两只脚站着。
现在,地面上出现脚的总数的一半,·也就是
244÷2=122(只).
在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次。
因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数
122-88=34(只),
有34只兔子.当然鸡就有54只。
答:
有兔子34只,鸡54只。
上面的计算,可以归结为下面算式:
总脚数÷2-总头数=兔子数.总头数-兔子数=鸡数
特殊算法
上面的解法是《孙子算经》中记载的。
做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!
能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,脚数就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通。
因此,我们对这类问题给出一种一般解法.
还说例1.
如果设想88只都是兔子,那么就有4×88只脚,比244只脚多了
88×4-244=108(只).
每只鸡比兔子少(4-2)只脚,所以共有鸡
(88×4-244)÷(4-2)=54(只).
说明我们设想的88只兔子中,有54只不是兔子。
而是鸡.因此可以列出公式
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数).
当然,我们也可以设想88只都是鸡,那么共有脚2×88=176(只),比244只脚少了
244-176=68(只).
每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚,
68÷2=34(只).
说明设想中的鸡,有34只是兔子,也可以列出公式
兔数=(总脚数-鸡脚数×总头数)÷(兔脚数-鸡脚数).
上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数。
假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为假设法.
现在,拿一个具体问题来试试上面的公式。
例2红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元。
问红,蓝铅笔各买几支?
解:
以分作为钱的单位.我们设想,一种鸡有11只脚,一种兔子有19只脚,它们共有16个头,280只脚。
现在已经把买铅笔问题,转化成鸡兔同笼问题了.利用上面算兔数公式,就有.
蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)
=24÷8
=3(支).
红笔数=16-3=13(支).
答:
买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。
对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的脚数9与11之和是30.我们也可以设想16只中,8只是兔子,8只是鸡,根据这一设想,脚数是
8×(11+19)=240(支)。
比280少40.
40÷(19-11)=5(支)。
就知道设想中的8只鸡应少5只,也就是鸡(蓝铅笔)数是3.
30×8比19×16或11×16要容易计算些。
利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.
实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。
例如,设想16只中,兔数为?
尬鸡数为6,就有脚数
19×10+11×6=256.
比280少24.
24÷(19-11)=3,
就知道设想6只鸡,要少3只。
要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领.
下面再举四个稍有难度的例子。
.
例3一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时。
甲打字用了多少小时?
解:
我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷6=5(份),乙每小时打30÷10=3(份).
现在把甲打字的时间看成兔头数,乙打字的时间看成鸡头数,总头数是?
兔的脚数是?
鸡的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成鸡兔同笼问题了。
根据前面的公式
兔数=(30-3×7)÷(5-3)
=4.5,
鸡数=7-4.5
=2.5,
也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时。
答:
甲打字用了4小时30分.
例4今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁。
四年后(2002年)父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年?
解:
4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父弟的年龄头数,鸡我们可以把兄的年龄看作78+8=86.母年龄之和是
看作兔头数。
25是总头数.86是总脚数.根据公式,兄的年龄是
(25×4-86)÷(4-3)=14(岁).
1998年,兄年龄是
14-4=10(岁).
父年龄是
(25-14)×4-4=40(岁).
因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是
(40-10)÷(3-1)=15(岁).
这是2003年。
答:
公元2003年时,父年龄是兄年龄的3倍.
例5蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀。
现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只?
解:
因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成8条腿与条腿两种。
利用公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)
=5(只).
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13(只).
也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀。
再利用一次公式
蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6(只).
.(只)13-6=7因此蜻蜓数是
答:
有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉。
例6某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人?
解:
对2道,3道,4道题的人共有
52-7-6=39(人).
他们共做对
181-1×7-5×6=144(道).
由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人((2+3)÷2=2.5).这样
兔脚数=4,鸡脚数=2.5,
总脚数=144,总头数=39.
对4道题的有
(144-2.5×39)÷(4-2.5)=31(人).
答:
做对4道题的有31人。
以例1为例有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只?
以简单的X方程计算的话,我们一般用设大数为X,那么也就是设兔为X,那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数,即(88-X)只。
解:
设兔为X只。
则鸡为(88-X)只。
4X+2×(88-X)=244
4X就是共有的脚数。
兔子的脚数加上鸡的脚数,上列的方程解释为:
就是兔子的脚数,2×(88-X)就是鸡的脚数。
4X+2×88-2X=244
2X+176=244
2X+176-176=244-176
2X=68
2X÷2=68÷2
X=34
即兔子为34只,总数是88只,则鸡:
88-34=54只。
答:
兔子有34只,鸡有54只。
习题一
1.龟鹤共有100个头,350只脚.龟,鹤各多少只?
2.学校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动。
象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副?
3.一些2分和5分的硬币,共值2.99元,其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍,问5分硬币有多少个?
4.某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币,共50张,其中2元与5元的张数一样多。
那么2元,5元,10元各有多少张?
5.一件工程,甲单独做12天完成,乙单独做18天完成,现在甲做了若干天后,再由乙接着单独做完余下的部分,这样前后共用了16天.甲先做了多少天?
千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段281.摩托车赛全程长6.
中,有的是由一段上坡路(3千米),一段平路(4千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)组成的;有的是由一段上坡路(3千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)组成的。
已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段?
7.用1元钱买4分,8分,1角的邮票共15张,问最多可以买1角的邮票多少张?
二、两数之差的问题
鸡兔同笼中的总头数是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应该怎样去解呢
例7买一些4分和8分的邮票,共花6元8角。
已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张?
解一:
如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.
(680-8×40)÷(8+4)=30(张),
这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张。
因此8分邮票有
40+30=70(张).
答:
买了8分的邮票70张,4分的邮票30张。
也可以用任意假设一个数的办法.
解二:
譬如,假设有20张4分,根据条件8分比4分多40张,那么应有60张8分。
以分作为计算单位,此时邮票总值是
60=560.×20+8×4.
比680少,因此还要增加邮票。
为了保持差是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是
(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张).
因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).
例8一项工程,如果全是晴天,15天可以完成。
倘若下雨,雨天比晴天多3天,
工程要多少天才能完成
解:
类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法,晴天有
(150-8×3)÷(10+8)=7(天).
雨天是7+3=10天,总共
7+10=17(天).
答:
这项工程17天完成。
请注意,如果把雨天比晴天多3天去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个。
这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系.
总脚数是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应该怎样去解呢
例9鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只?
解一:
假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2(倍),于是鸡的只数是兔的倍。
兔的只数是2只数的.
(100+28÷2)÷(2+1)=38(只).
鸡是100-38=62(只).
答:
鸡62只,兔38只。
当然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只数是
(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只).
也可以用任意假设一个数的办法。
解二:
假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是
4×50-2×50=100,
比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2).因此要减少的兔数是(100-28)÷(4+2)=12(只).
兔只数是50-12=38(只).
另外,还存在下面这样的问题:
总头数换成两数之差,总脚数也换成两数之差.
例10古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字。
有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首?
解一:
如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差
13×5×4+20=280(字).
每首字数相差7×4-5×4=8(字).
因此,七言绝句有280÷(28-20)=35(首).
五言绝句有35+13=48(首).
答:
五言绝句48首,七言绝句35首。
解二:
假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是20×23=460(字),28×10=280(字),五言绝句的字数,反而多了
460-280=180(字).与题目中少20字相差180+20=200(字).
说明假设诗的首数少了。
为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加200÷8=25(首).五言绝句有23+25=48(首).
七言绝句有10+25=35(首).
在写出鸡兔同笼公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7,例9和例10三个问题,当然也可以这样假设。
现在来具体做一下,把列出的计算式子与鸡兔同笼公式对照一下,就会发现非常有趣的事.
例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是
(680-8×40)÷(8+4)=30(张).
例9,假设都是兔,鸡的只数是
(100×4-28)÷(4+2)=62(只).
10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是
(20×13+20)÷(28-20)=35(首).
首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与鸡兔同笼公式其奥妙何在呢+.成了?
比较,这三个算式只是有一处.
当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。
例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只?
解:
如果没有破损,运费应是400元。
但破损一只要减少1+0.2=1.2(元).因此破损只数是(400-379.6)÷(1+0.2)=17(只).
答:
这次搬运中破损了17只玻璃瓶。
请你想一想,这是鸡兔同笼同一类型的问题吗
例12有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分?
解一:
如果小明第一次测验24题全对,得5×24=120(分).那么第二次只做对30-24=6(题)得分是8×6-2×(15-6)=30(分).
两次相差120-30=90(分).
比题目中条件相差10分,多了80分。
说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6(分),而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分。
两者两差数就可减少6+10=16(分).
(90-10)÷(6+10)=5(题).
因此第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对30-19=11(题).
第一次得分5×19-1×(24-19)=90.
第二次得分8×11-2×(15-11)=80.
答:
第一次得90分,第二次得80分。
解二:
答对30题,也就是两次共答错
24+15-30=9(题).
第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6(分),第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10(分).答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16(分).
如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分。
比题目中条件第一次得分多10分,要少了6×9+10.因此,第二次答错题数是
(6×9+10)÷(6+10)=4(题)·
第一
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