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概率统计学习资料王玉宝H

概率论与数理统计

学习资料

湖北经济学院数学课部

版权所有翻版必究

2015.6

知识点概要

第一章事件与概率

1.随机事件的关系和运算（和、积、差、对立/逆运算，包含、互斥/互不相容）

----结合集合的运算关系和韦恩图掌握；

2.计算概率的古典概型与几何概型，概率的公理化定义及相关性质与公式（包括加法公式、减法公式、对立事件的概率的关系）；

3.条件概率的计算、乘法公式、贝叶斯公式与全概率公式；

4.独立的定义、性质与应用。

第二章一维随机变量的分布（分布函数、分布律与密度函数）

1.0-1分布、二项分布与泊松分布的分布律公式、期望方差公式及概率计算；

2.均匀分布、指数分布、正态分布的密度函数、期望方差公式及概率计算；

3.分布函数的含义及性质，会利用性质求分布函数表达式中的参数，会利用分布函数求概率，会对分布函数与分布律、密度函数相互转化；

4.一维离散型随机变量（简单），掌握分布律的性质及其与分布函数的互化，会利用分布律计算期望方差；

5.一维连续型随机变量（重要），掌握密度函数的性质，会利用性质求解未知参数，会利用密度函数求概率、分布函数、期望与方差；

6.一维随机变量函数的分布。

第三章二维随机变量的分布（分布函数、分布律与密度函数）

1.二维随机变量分布函数的含义及性质，会利用性质求分布函数表达式中的参数，会利用分布函数求矩形区域内的概率；

2.对二维离散型随机变量（简单），了解其联合分布律的形式、会利用联合分布律求边缘分布律、概率、期望、方差、协方差，会讨论独立性；

3.对二维连续型随机变量（重要），了解其联合密度函数的形式、会利用联合密度求边缘密度、概率、期望、方差、协方差，会讨论独立性。

第四章数字特征

1.期望、方差、协方差的定义、计算与性质。

第五章中心极限定理

1.两个中心极限定理的结论（简化）与应用。

第六章数理统计初步

1.统计量的定义（会识别统计量）；

2.三大分布的定义（会识别某个统计量是何种分布）；

3.四个常用结论。

第七章参数估计

1.求矩估计和极大似然估计，判断无偏性。

1

练习题

一、单项选择题

1．A,B,C是任意事件，在下列各式中，不成立的是（

）

（A）（AB）BAB

（B）（AB）AB

（C）（AB）ABABAB

（D）（AB）C（AC）（BC）

2．设A、B、C为三个事件，P（AB）0且P（C|AB）1，则有（）

（A）P（C）P（A）P（B）1.

（B）P（C）P（AB）.

（C）P（C）P（A）P（B）1.

（D）P（C）P（AB）.

3.下列各项中表示A,B,C三事件中至少有一个发生的是（

）

（A）ABC

（B）ABACBC

（C）ABC

（D）ABC

4．设事件A与B互不相容，且P（A）0,P（B）0,则有（）

（A）

P（AB）P（A）P（B）

（B）

P（AB）P（A）P（B）

_

P（AB）P（A）

（C）

AB

（D）

5．设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是（

）

（A）若P（C）1，则AC与BC也独立

（B）若P（C）1，则AC与B也独立

（C）若P（C）0，则AC与B也独立

（D）若CB，则A与C也独立

6．设随机变量X的概率密度为f（x）

1

e

（x2）2

x

4

2

且YaXb~N（0,1），则在下列各组数中应取（

）

（A）a1/2,b1.

（B）a

/2,b

2

2.

（C）a1/2,b1.

（D）a

/2,b

2

2.

7．设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为

X

0

1

Y

0

1

则有（

）

P

0.4

0.6

P

0.4

0.6

（A）P（XY）0.

（B）P（XY）0.5.

（C）P（XY）0.52.

（D）P（XY）1.

8.X~B（n,1），若EX=2，则DX=（

）

3

（A）

1

（B）2

（C）

4

（D）

8

3

3

3

3

2湖北经济学院数学课部编，版权所有，未经允许不得翻印！

K（4x2x

2）,1x2

则K=（

）

9.设随机变量X的概率密度为f（x）=

0

其它

（A）5

（B）1

（C）

3

（D）4

16

2

4

5

0

x0

1

0x1

2

，则PX1

（

）

10.已知随机变量X的分布函数为F（x）

2

1x3

3

1

x3

（A）1

（B）1

（C）

2

（D）

1

2

3

6

11．设随机变量X~N（0,1）,

X的分布函数为（x），则P（|X|2）的值为（

）

（A）2[1

（2）].

（B）2

（2）1.

（C）2

（2）.

（D）12

（2）.

12.离散型随机变量X服从参数p

1的01分布，Fx是其分布函数，则F1=（）

3

（A）0

（B）

1

（C）2

（D）1

3

3

13．设随机变量X1,X2的分布函数分别为F1（x）,

F2（x），若F（x）aF1（x）bF2（x）也

是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（）

（A）a3

b

2.

（B）a

2

b

2.

5

5

3

3

（C）a

1,b

3.

（D）a

1

b

3.

2

2

2

2

14．设随机变量X的分布函数为FX

（x），则Y35X的分布函数为FY（y）（）

（A）FX（5y3）.

（B）5FX（y）3.

（C）F（y3）.

（D）1F（3y）.

X

5

X

5

Xi

1

0

1

15．设随机变量X1,

X2的概率分布为

1

1

1i1,2.

P

4

2

4

且满足P（X1X2

0）1，则X1,X2的相关系数为X1X2

（）

（A）0.

（B）1.

（C）

1.

（D）1.

4

2

16．设随机变量X~U[0,

6],Y~B（12,

1）且X,Y

相互独立，根据切比

4

雪夫不等式有P（X3YX3）=（

）

（A）0.25.

（B）5

.（C）0.75.

（D）

5.

12

12

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3

17.设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为

（X,Y）

（1,1）

（1,2）

（1,3）

（2,1）

（2,2）

（2,3）

P

1

1

1

1

6

9

18

3

若X,Y独立，则,的值为（

）

（A）

5,

1.

（B）

1

2.

18

18

9

9

（C）

1,

1

（D）

2

1.

6

6

9

9

18．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（）

（A）X与Y独立.

（B）D（XY）DXDY.

（C）D（XY）DXDY.

（D）D（XY）DXDY.

19.若随机变量X、Y相互独立，方差分别为8和6，则D（X-2Y）=（

）

（A）0

（B）32

（C）-24

（D）48

20．对任意随机变量X，若EX存在，则E[E（EX）]等于（

）

（A）0.

（B）X.

（C）EX.

（D）（EX）3.

21..设Xi

0,

事件A不发生

（i1,2,100）,且P（A）=0.8,X1,X2,,X100相互独立,令

事件A发生

1,

100

Y=1Xi,则由中心极限定理知Y近似服从的分布是（

）

100i1

（A）

N（0,1）

（B）

N（0.8,0.0016）

（C）N（0.8,0.16）（D）

N（0.8,0.4）

22．设总体X~N（,2），其中,2是未知参数，X1,X2,,Xn为取自于总体X的样

本，则如下为统计量的是（

）

n

n

X

（A）

1Xi（B）

1

（Xi）2

（C）

（D）

ni1

ni1

23．设总体X

~N（,2），其中,2是未知参数，X1,X2,,Xn为取自于总体X的样

X

本，则n

服从分布（

）

0,2

2

（A）N

1

（B）N

0,1

（C）N

（D）N

24．设随机变量X~2

（2）,Y~2（3），且X,Y相互独立，则

3X所服从的分布为（）

2Y

（A）F（2，2）

（B）F（2，3）

（C）F（3，2）

（D）F（3，3）

25．设总体X的数学期望为,X1,X2,,Xn为来自X的样本，则下列结论中

正确的是（

）

（A）X1

是的无偏估计量.

（B）X1是的极大似然估计量.

（C）X1

是的相合（一致）估计量.（D）X1不是的估计量.

4湖北经济学院数学课部编，版权所有，未经允许不得翻印！

二、填空题

1．设P（A）0.5,P（B）0.6,P（B|A）0.8，则A,B至少发生一个的概率为_________.2．设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P（A）P（B）0.5，则A,B至少有一个不发

生的概率为__________.

3．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为1615，则该射手的命中

率为__________.

4．设事件A与B相互独立，事件B与C互不相容，事件A与C互不相容，且P（A）P（B）0.5，P（C）0.2，则事件A、B、C中仅C发生或仅C不发生的概率为

___________.

5．甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个

球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________.

6．设随机变量X服从泊松分布，且P（X1）4P（X2），则P（X3）______

7．设X服从泊松分布，若EX26，则P（X1）___________.

Ax2

0x1

，则A=___________.

8．设连续型随机变量X的密度函数为f（x）

0

其他

9．设随机变量X在区间（0,2）上服从均匀分布，则随机变量YX2在区间（0,4）内的概率

密度为fY（y）_________.

10．设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为的指数分布，P（X1）e2，则

_________，P{min（X,Y）1}=_________.

2x,

0x1,

现对X进行四次独立重复观察，

11．设随机变量X的概率密度为f（x）

0,

其它,

用Y表示观察值不大于0.5的次数，则EY2___________.

1

（x

1）,

0x2,

4

12．设随机变量X的概率密度函数为f（x）

今对X进行8次独立

0

其他.

观测，以Y表示观测值大于1的观测次数，则DY___________.

13．元件的寿命服从参数为1的指数分布，由5

个这种元件串联而组成的系统，能够正

100

常工作100小时以上的概率为_____________.

14．设随机变量X~N（10，0.022），（2.5）0.9938，则X落在区间（9.95，10.05）上的概率

为____________.（其中（x）为标准正态分布函数）

15．设X是一随机变量，且E（X）=5，D（X）=9，问对Y=aX+b（a，b为常数），当a=，

b=时，E（Y）=0，D（Y）=1.

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5

16．已知D（X）=9，D（Y）=4，D（XY）16，则XY____________.17．设二维离散型随机变量（X,Y）的分布列为

（X,Y）（1,0）

（1,1）（2,0）（2,1）

P

0.4

0.2

a

b

若EXY0.8，则Cov（X,Y）____________.

18．设X1,X2,,X17是总体N（,4）的样本，S2

是样本方差，若P（S2

a）0.01，则

a____________.

（注：

02.01（17）33.4,02.005（17）35.7,

02.01（16）32.0,

02.005（16）34.2）

（1）x,

0x1,

1.

19．设总体X的概率密度为f（x）

0,

其它

X1,X2,,Xn是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.

20．设X1,X2,,X17是总体N（,4）的样本，S2

是样本方差，若P（S2

a）0.01，则

a____________

（注：

02.01（17）33.4,02.005（17）35.7,02.01（16）32.0,02.005（16）34.2）

21.设X

X

...X

n

为正态总体N（u,2）的一个样本，X~N（,2

），则

2

n

（X）

n~______________分布.

S

三、解答题

1．已知随机事件A发生的概率p（A）=0.5,B发生的概率为p（B）=0.6,条件概率p（B︱A）=0.8，求p（A∪B）。

2．设工厂A和工厂B的产品的次品率分别是1%和2%，现在从由A和B的产品分别占

60%和40%的一批产品中任取一件，发现是次品，求该次品属于A生产的概率？

6湖北经济学院数学课部编，版权所有，未经允许不得翻印！

3．已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求

（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；

（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。

4．设有两箱同类零件，第一箱内装有40件，其中15件是一等品；第二箱内装有30件，其

中10件是一等品，现将两箱零件混放在一起，从中任意挑出一件，试求：

（1）取出的零件是一等品的概率;

（2）如果取出的零件是一等品，求他属于第一箱的概率.

5．从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立，且概率都是52，设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数和数学期望.

6．设随机变量服从几何分布，其分布列为

P（Xk）（1p）k1p，0p1,k1,2,，求EX与DX

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7

7．设考生的外语成绩（百分制）X服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，

96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以Y表示成绩在60分至84分

之间的人数，求

（1）Y的分布列.

（2）EY和DY.（

（2）0.977,

（1）0.8413）

８．已知离散型随机变量X的分布列为

X2

1

0

1

3

P

1

1

1

1

11

，求YX2的分布列.

5

6

5

15

30

9．设连续型随机变量X的分布函数为

bex,

x0

F（x）

0,

x0

试求：

⑴常数b，⑵概率密度f（x），⑶P（ln2xln3）；（4）EX,DX。

8湖北经济学院数学课部编，版权所有，未经允许不得翻印！

10．设随机变量X的概率密度为：

Asinx,0x/2f（x）

0,其它

试求：

（1）常数A；

（2）X的分布函数；

（3）概率P（/4X/4）；（4）EX,DX。

11．设随机变量X具有密度函数f（x）

1e|x|

，＜x＜，

2

求X的数学期望和方差.

12．设随机变量X的概率密度为

ax1,

0x2,

f（x）

0,

其它.

求

（1）常数a；

（2）X的分布函数F（x）；

（3）P（1X3）.

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9

13．设二维随机变量（X,Y）取数组（1,-1）、（0,1）、（1，1）、（0,-1）的概率分别为

a、b、13、16．试求：

①（X,Y）的联合分布律；

②确定常数a和b，使X和Y相互独立；

③（X,Y）分别关于X和Y的边缘分布律。

10湖北经济学院数学课部编，版权所有，未经允许不得翻印！

14．二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布列如下：

X

0

1

2

Y

0

0.2

0.1

0.4

1

0

0.1

0.2

试求：

（1）X，Y的边缘分布律

（2）求EX，EY，DX，DY

（3）

求PY1X2

（4）判定X与Y是否不相关，给出理由

（5）

判定X与Y是否独立，给出理由.

15．设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为：

cx2y,

x2y1,

f（x,y）

0,

其他.

试求

（1）系数c；

（2）X和Y的边缘密度函数；（3）判断X和Y是否相互独立.

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11

16．设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为：

cxy（0x1,0y1）,

f（x,y）

0（其他）.

试求

（1）系数c；

（2）X和Y各自的边缘密度函数；（3）XY

12湖北经济学院数学课部编，版权所有，未经允许不得翻印！

17．设（X,Y）的概率密度为

e（xy）,

x0,Y0,

问X,Y是否独立？

f（x,y）

0,

其他.

18．设二维随机变量（X，Y）在圆域x2+y2≤a2上服从均匀分布，

（1）求X和Y的相关系数；

（2）问X,Y是否独立？

湖北经济学