北师大版初中数学知识点分类统计与概率.docx
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北师大版初中数学知识点分类统计与概率
★统计
一、生活中的数据
(一)(七年级上册第六章)
1.认识100万
本节要求体验100万等较大的数,尝试用自己熟悉的事物来描述这些大数,能够对这些数进行估算。
2.科学计算法
本节要求会用科学记数法表示绝对值较大的数。
一般地,一个大于10的数可以表示成
的形式,其中
,n是正整数,这种记数的方法叫做科学记数法。
3.扇形统计图
本节要求理解扇形统计图的含义。
生活中,人们经常利用统计图形象的表示收集到的数据。
扇形统计图利用圆和扇形来表示总体和部分的关系,即用圆表示整体,圆中的扇形分别代表总体中的不同部分,扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小。
4.你有信心吗?
本节要求掌握扇形统计图的制作方法。
在扇形统计图中,每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比。
各部分所对应的扇形圆心角的度数=该部分占总体的百分比×360°
5.统计图的选择
本节要求根据需要选择适当的统计图来表示所收集的数据。
统计图有三种:
条形统计图,折线统计图,扇形统计图。
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目。
折线统计图能清楚地反映事物的变化情况。
扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
二、生活中的数据
(二)(七年级下册第三章)
1.认识百万分之一
体验百万分之一等较小的数据,能用自己熟悉的事物来描述这些小数,能用科学记数法表示绝对值较小的数。
一个绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示成
的形式,其中
,n是负整数。
技巧:
n的绝对值等于这个数的左边第一个非零数字前面的零的个数。
百万分之一是一个很小的数,我们可以用单位量来估计它,常用的单位有:
微米,纳米。
1米=100厘米,1厘米=10毫米,1毫米=1000微米,1微米=1000纳米。
1米=106微米,1米=109纳米。
2.近似数和有效数字
本节要求掌握近似数与有效数字的概念,能按要求取近似数,并能指出近似数的有效数字。
生活中,有些数据是精确的,有些数据是近似的。
精确数是与实际完全符合的数,近似数是与实际非常接近的数。
生活中需要度量的数,度量的结果都是近似的,如数的厚度,天气的温度等;生活中一些难于精确统计的数字也是近似数,如全国人口普查人数。
有时我们根据具体情况,采用四舍五入法选择一个数的近似数。
注意:
用四舍五入法取近似数时,很容易将小数点末尾的零去掉,一定要注意精确到的数位。
如0.73049四舍五入到千分位是0.730,注意不要去掉末尾的零。
四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。
对于一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确的数位止,所有的数字都叫做这个数的有效数字。
注意:
确定有效数字有两大类,一是带单位的数,二是用科学记数法表示的数。
3.世界新生儿图
本节要求能从统计图中尽可能多的获取信息,能形象、有效地运用统计图描述数据;能制作直观形象的统计图。
“世界新生儿图”是除了条形统计图、折线统计图、扇形统计图三种常见的统计图外,具有直观形象的一种统计图,它是用各个国家的面积来估计国家的新生儿数的,对于两个不同的国家,它们的面积比也就是这两个国家的新生儿数之比。
三、数据的代表(八年级上册第八章)
1.平均数
本节要求掌握算术平均数与加权平均数的概念,体会它们的区别,会求一组数据的算术平均数与加权平均数,并能运用它们解决现实中的一些实际问题。
日常生活中,我们常用平均数表示一组数据的“平均水平”。
(1)一般地,对于
个数
,我们把
叫做这
个数的算术平均数,简称平均数,记作
。
(2)在实际问题中,一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同,因而,在计算这组数据的平均数时,往往给每个数据一个“权”,这样的平均数叫做加权平均数。
若一组数据
的权分别为
,则其加权平均数
(3)算术平均数与加权平均数的联系与区别:
加权平均数是给了每个数据以不同的“重要程度”即“权数”计算出来的,而算术平均数只是将所有的数据再除以个数计算出来的。
换句话说,算术平均数可以认为是将每个数据看作相同的重要程度计算出来的,即算术平均数实质上是加权平均数的一种特殊情况(各项的权相等)。
算术平均数与加权平均数的不同点就在于“权”上,前者各项的“权”相等,后者各项的“权”一般不相等。
2.中位数与众数
本节要求掌握中位数、众数等数据代表的概念,能根据所给的信息求出相应的数据代表;能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的差别,能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的评判。
(1)一般地,
个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
(2)平均数、中位数、众数(数据的“三个代表”)的特征:
平均数、中位数和众数都是数据的代表,它们刻画了一组数据的“平均水平”。
计算平均数时,所有数据都参加运算,它能充分地利用数据所提供的信息,因此在现实生活中较为常用,但它易受极端值的影响。
中位数的优点是计算简单,受极端值的影响较小,所以当一组数据中个别数据的变化较大时,可用中位数来描述“平均水平”,但不能充分利用所有数据的信息。
一组数据中某些数据多次重复出现时,众数往往是人们尤为关心的一个量。
但各个数据重复的次数大致相等时,众数往往没有特别意义。
3.利用计算器求平均数
本节要求会用计算器求一组数据的平均数。
不同型号的计算器按键方式不同,使用时要注意阅读说明书。
四、数据的收集与处理(八年级下册第五章)
1.每周干家务活的时间
本节要求了普查的意义,理解总体、个体的概念;了解抽样调查的意义,知道什么是样本;学会选择适当的调查方式。
(1)为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查称为普查。
其中要考察对象的全体称为总体,而组成总体的每一个考察对象称为个体。
(2)从总体中抽到部分个体进行调查称为抽样调查,其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,样本的数量称为样本容量。
2.数据的收集
在实际问题情境中感受抽样的必要性,体会抽样方式的差异对结论的影响。
抽样调查只考察总体中的一部分个体,因此它的优点是调查范围小,节省时间、人力、物力和财力,但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。
为了获得较为准确的调查结果,抽样时要注意样本的代表性和广泛性。
3.频数与频率
了解频数、频率的含义,了解频数分布的意义,会根据所给的样本数据绘制频数分布直方图,体会数形结合的思想在统计学中的应用。
(1)在数据统计中,每个对象出现的次数称为频数,而每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率。
(2)频数分布直方图
绘制频数分布直方图的一般步骤:
①分组。
将收集的数据分成若干组。
一般地,数据越多,分的组数越多。
当数据在100个以内时,通常分成5—12组。
②决定各组的分点(即各组起点数和终点数),相邻两组之间不能交叉。
③累计出各组的频数,列出频数分布表。
④⑤在水平方向取出组数相同的等份数作为宽,从小到大将各组数排列起来;将竖直方向分成适当的等份数(能表示出最多和最少的频数),以各组相应的频数为高,画出各个小长方形,即得频数分布直方图。
注意:
①在画频数分布直方图时,首先要列出频数分布表,在分组时要注意组数适当,组距相等。
②分组要不空、不重、不漏。
不空,即该组必须有数据;不重,即一个数据只能在一个组中;不漏,即不能漏掉某一个数据。
(3)频数折线图
为了更好的刻画数据的总体规律,我们还可以在得到的频数分布图上取点(通常是各组的中点)、连线,得到频数折线图。
4.数据的波动
了解极差、方差、标准差(“三差”)的意义及作用;会用样本方差、标准方差估计总体的方差、标准差;体会数据波动对决策的作用。
实际生活中,除了关心数据的“平均水平”外,人们往往还关注数据的离散程度,即它们相对于“平均水平”的偏离情况。
数学上,数据的离散程度可以用极差,方差或标准差来刻画。
(1)极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。
(2)方差是各个数据与平均数之差的的平方的平均数,即
其中,
是
的平均数,
是方差。
而标准差就是方差的算术平方根。
★概率
一、可能性(七年级上册第七章)
1.一定摸到红球吗
通过实例认识生活中的必然事件、不可能事件、不确定事件,认识不确定事件发生的可能性是有大小的。
(1)确定事件与不确定事件
生活中,有些事情我们事先能肯定它一定会发生,这些事情称为必然事件。
有些事情我们事先能肯定它一定不会发生,这些事情称为不可能事件。
必然事件与不可能事件都是确定的。
生活中也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生,这些事情称为不确定事件,也称为随机事件。
(2)不确定事件发生的可能性
在教材的摸球活动(在装有红球与黄球的盒中分组摸球)中,每次摸到的球的颜色是不确定的。
如果红球与黄球的数量不等,那么摸到红球的可能性与摸到黄球的可能性是不一样的。
一般地,不确定事件发生的可能性是有大小的。
2.转盘游戏
学生通过转盘游戏,体会不确定事件发生与所占区域的关系。
教材的转盘游戏中,红色区域的面积大,白色区域的面积小,因此当转盘停止转动时,指针落到红色区域的可能性大。
3.谁转出的“四位数”大
在试验中进一步体会不确定事件的特点,能列举简单事件可能发生的结果。
二、概率(七年级下册第四章)
1.游戏公平吗?
了解必然事件、不可能事件和不确定事件发生的可能性大小,了解游戏的公平性。
(1)事件分为必然事件、不可能事件和不确定事件。
人们通常用1(或100%)来表示必然事件发生的可能性;用0来表示不可能事件发生的可能性;用0~1之间的数还未不确定事件发生的可能性,该数越接近1,表示该事件发生的可能性越大。
(2)游戏的公平性:
当游戏对游戏各方获胜的可能性相同时,游戏是公平的,否则游戏是不公平的。
2.摸到红球的概率
了解概率的意义,了解计算一类事件发生的可能性的方法。
概率就是不确定事件发生的可能性的大小,是不确定事件发生可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的比值。
我们常用P(A)来表示概率,其中A表示不确定事件。
P(必然事件)=1,P(不可能事件)=0。
当A是不确定事件时,0<P(A)<1。
3.停留在黑砖上的概率
了解与面积有关的一类事件发生概率的计算方法,并能进行简单计算。
能设计符合要求的简单概率模型。
利用图形面积之间的关系求不确定事件的概率,称为几何概率。
某事件发生的概率等于该事件发生的所有可能的结果所组成的图形的面积与所有可能结果组成的图形面积的比值。
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