控制理论作业三答案.docx
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控制理论作业三答案
第五章
5-1试绘制下列开环传递函数的奈奎斯特曲线:
G2(j)
因而开环系统的幅频特性为
相频特性为
()二_arctg』「arctg0.1■
取不同的频率「值,可得到对应的幅值和相
角,根据这些值可得图1所示的开环系统的奈
氏图。
MATLAB^有专门的函数Nyquist用于绘制开环系统的极坐标图。
g=tf(10,conv([1,1],[0.1,1]))
RealAxis
图1开环系统的奈氏图
Transferfunction
10
0.1sA2+1.1s+1Nyquist(g)
5-2已知一反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)H(s)J0(1°佝
s(1+0.5s)
试绘制开环系统的伯德图。
解1)系统的开环频率特性为
10(1+j
G(j)=
「(1
由此可知,该系统是由比例、积分、微分和惯性环节所组成。
它的对数幅频特性为
L(,)7(,)丄2(,)丄3(JL4C)
O2/co2
=20lg10—20lg—20lg\1+结)2十20lg屮+(和)2
系统的相频特性为
:
(J=1(J:
2(J3(J:
4()
=0-90-arctgarctg-
210
2)系统的转折频率分别为2和10。
3)作出系统的对数幅频特性曲线的渐近线。
在低频段,V=1,则渐近线的斜率为
-20dB/dec。
在•=1处,其幅值为20lg10=20dB;当-2时,由于惯性环节对信号
幅值的衰减任用,使分段直线的斜率由由于微分环节对信号幅值的提升任用,
变为「20dB/dec。
4)
-20dB/dec变为-40dB/dec;同理,当._10时,使分段直线的斜率上升20dB/dec,即由一40dB/dec
对幅频特性曲线进行修正。
5)
5-5已知一单位反馈系统的开环传递函数为
解该系统是一个非最小相位系统,其开环系统的幅频特性和相频特性为
绕,所以系统稳定的条件是
5-6已知单位负反馈最小相位系统A的开环频率特性曲线如图6所示,
(1)试求系统A的开环传递函数,并计算相位裕量;
(2)如把曲线1的abc改为ab'c而成为系统B,试定性比较A与B的性能。
(1)系统的传递函数为
由于
L
(1)=20lgK—20lg120lg...1-22—20lg.1-42
—20lgJi+0.52—20lgJi+0.22=0
得K=2.1,所以传递函数为
G(s)二
2.1(2s1)
s(4s1)(0.5s1)(0.2s1)
()--90arctan2-arctan4-arctan0.5-
-arctan0.2,
(c)二-140.43
相位裕量:
=180:
U=39.57
(2)A是i型系统,B是n型系统,系统B对于阶跃输入和斜坡输入的稳态误差为
0,可跟随抛物线函数输入,而系统A对于抛物线函数输入的稳态误差为
5-7某一阶环节的为正值的幅相特性曲线如图7所示,写出其传递函数。
K
Ts1
44
2
■2T2125T21T二0.2
5-8设开环系统Nyquist曲线如下图所示,要求
(1)判断闭环系统稳定性,并简要说明理由。
(2)如系统不稳定,试求出位于s右半平面的闭环极点数。
图8
解:
(a)Nyquist曲线逆时针包围(-1,Oj)2次,N=-2,P=2,z=N+P=0,系统稳定;
(b)Nyquist曲线逆时针包围(-1,Oj)0次,N=0,P=0,z=N+P=0,系统稳定;
(c)Nyquist曲线逆时针包围(-1,Oj)0次,N=0,P=2,z=N+P=2,系统不稳定;有2个s右半平面的根;
(d)Nyquist曲线顺时针包围(-1,0j)2次,N=2,P=0,z=N+P=2,系统不稳定;有2个s右半平面的根。
5-9单位反馈系统开环对数幅频特性如下图9,试求系统的闭环传递函数门(s)。
解:
由Bode图可知:
1
K(p1)
Gk(j”10.0041
j(j■1)(j■1)0.0020.016
由=0.008时L(,)=0dB,即
闭环传递函数为
_0.016(250^1)_4s+0.016
1j(s)32
s(500s+1)(62.5s+1)+0.016(250s+1)31250s+562.5s+5s+0.016
2
G(s)H(s)二2/朴
5-10已知系统的开环传递函数为s(s1),试绘制极坐标的大致图
形,并用奈氏稳定性判据判断系统的稳定性。
解:
通过作图可以发现:
图10
此系统开环系统稳定。
N=2P=0,Z=N+P=2因此闭环系统有两个特征根位于右半S平面,系统不稳定。
3
G(s)H(s)=
5-11系统开环传递函数为s(s1)(s2),要求:
(1)绘制系统Nyquist曲线;
(2)求出系统相角裕量和幅值裕量Kg;
(3)判断系统稳定性;
(4)使系统稳定的开环放大系数K的范围。
、解:
将GjJH(jJ改写为实部和虚部表达:
-93(2-2)
9.2.(27:
2)2J9,3….(2_「2)2
(1)绘制Nyqusit曲线
(a)«=0,在负虚轴方向,渐近线为-2.25;
(b)「=+二,从-270o方向趋于坐标原点;
(c)与实轴交点:
由虚部为0,得=1.414,代入实部表达式,得与实轴交点:
-0.5;
(d)列表计算几个普通频率点:
(e)绘制Nyqusit曲线。
(2)从图中可得:
40o;Kg=2(也可通过计算)
(3)是最小相位系统,>0,或Kg=2>1,系统稳定;
(4)此时开环放大系数K=1.5,达到临界稳定需增加2倍,即稳定范围为0 或从劳斯判据,得0
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