二次函数之距离最小思维.docx
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二次函数之距离最小思维.docx
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二次函数之距离最小思维
二次函数之最短路径问题
例1.(广东)二次函数y=x2-2mx+m2-1.
〔1〕当二次函数的图象经过坐标原点O〔0,0〕时,求二次函数的解析式;
〔2〕如图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;
〔3〕在〔2〕的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?
假设P点存在,求出P点的坐标;假设P点不存在,请说明理由.
例2.〔甘肃兰州〕如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=
x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=
上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)假设把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,连接BD,对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
例3.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A〔﹣1,0〕,C〔2,3〕两点,与y轴交于点N,其顶点为D.
〔1〕抛物线及直线AC的函数关系式;
〔2〕设点M〔3,m〕,求使MN+MD的值最小时m的值;
〔3〕假设抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?
假设能,求点E的坐标;假设不能,请说明理由;
〔4〕假设P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
例4.〔湖南郴州〕抛物线y=ax2+bx+c经过A〔﹣1,0〕、B〔2,0〕、C〔0,2〕三点.
〔1〕求这条抛物线的解析式;
〔2〕如图一,点P是第一象限内此抛物线上的一个动点,当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?
求出此时点P的坐标;
〔3〕如图二,设线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,那么在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?
假设存在,请求出点G的坐标;假设不存在,请说明理由.
例5.〔辽宁〕如图16,在平面直角坐标系中,直线
与
轴交于点
,与
轴交于点
,抛物线
经过
三点.
〔1〕求过
三点抛物线的解析式并求出顶点
的坐标;
〔2〕在抛物线上是否存在点
,使
为直角三角形,假设存在,直接写出
点坐标;假设不存在,请说明理由;
〔3〕试探究在直线
上是否存在一点
,使得
的周长最小,假设存在,求出
点的坐标;假设不存在,请说明理由.
例6.(山西)综合与实践:
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
〔1〕求直线AC的解析式及B、D两点的坐标;
〔2〕点P是x轴上一个动点,过P作直线l∥AC交抛物线于点Q,试探究:
随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?
假设存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;假设不存在,请说明理由.
〔3〕请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标.
例7.如图,在矩形OABC中,A、C两点的坐标分别为A〔4,0〕、C〔0,2〕,D为OA的中点.设点P是∠AOC平分线上的一个动点〔不与点O重合〕.
〔1〕试证明:
无论点P运动到何处,PC总与PD相等;
〔2〕当点P运动到与点B的距离最小时,试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式;
〔3〕设点E是〔2〕中所确定抛物线的顶点,当点P运动到何处时,△PDE的周长最小?
求出此时点P的坐标和△PDE的周长;
〔4〕设点N是矩形OABC的对称中心,是否存在点P,使∠CPN=90°?
假设存在,请直接写出点P的坐标.
例8.〔德州〕如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是〔4,0〕,并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.
〔1〕求抛物线的解析式;
〔2〕是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?
假设存在,求出所有符合条件的点P的坐标;假设不存在,说明理由;
〔3〕过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
练习:
(烟台)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点,其中A、B两点的坐标分别为〔﹣1,0〕,〔0,﹣2〕,点D在x轴上且AD为⊙M的直径.点E是⊙M与y轴的另一个交点,过劣弧
〔1〕求点D的坐标及该抛物线的表达式;
〔2〕假设点P是x轴上的一个动点,试求出△PEF的周长最小时点P的坐标;
〔3〕在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△QCM是等腰三角形?
如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
例10.抛物线y=ax2+bx+1经过点A〔1,3〕和点B〔2,1〕。
〔1〕求此抛物线解析式;
〔2〕点C、D分别是x轴和y轴上的动点,求四边形ABCD周长的最小值;
〔3〕①在抛物线AB段上存在一点E,使ABE的面积最大,求E点的坐标;
②请直接写出以A.B和E为顶点的平行四边形的第四个顶点P的坐标。
例11.如图1,抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点为C〔l,4〕,交x轴于A、B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标为〔3,0〕.〔1〕求抛物线的解析式;
〔2〕如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,假设直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,那么x轴上是否存在一点H,使D、G,H、F四点所围成的四边形周长最小?
假设存在,求出这个最小值及点G、H的坐标;假设不存在,请说明理由;
〔3〕如图3,在抛物线上是否存在一点T,过点T作x轴的垂线,垂足为点M,过点M作MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD?
假设存在,求出点T的坐标;假设不存在,请说明理由.
例12.抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A〔m-2,0〕和B〔2m+1,0〕〔点A在点B的左侧〕,与y轴相交于点C,顶点为P,对称轴为l:
x=1.
〔1〕求抛物线解析式.
〔2〕直线y=kx+2(k≠0)与抛物线相交于两点M〔x1,y1〕,N(x2,y2)〔x1<x2〕,当|x1-x2|最小时,求抛物线与直线的交点M和N的坐标.
〔3〕首尾顺次连接点O,B,P,C构成多边形的周长为L.假设线段OB在x轴上移动,求L最小值时点O,B移动后的坐标及L的最小值.
例9.〔衢州〕如图,点A〔-4,8〕和点B〔2,n〕在抛物线y=ax2上.
〔1〕求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标;
〔2〕平移抛物线y=ax2,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C〔-2,0〕和点D〔-4,0〕是x轴上的两个定点.
①当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′最短,求此时抛物线的函数解析式;
②当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短?
假设存在,求出此时抛物线的函数解析式;假设不存在,请说明理由.
例13.(重庆)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线
交
轴于A,B两点〔点A在点B的左侧〕,交
轴于点W,顶点为C,抛物线的对称轴与
轴的交点为D。
〔1〕求直线BC的解析式。
〔2〕点E〔m,0〕,F〔m+2,0〕为x轴上两点,其中
,
,
分别垂直于x轴,交抛物线与点
,
,交BC于点M,N,当
的值最大时,在y轴上找一点R,使得
值最大,请求出R点的坐标及
的最大值。
例14.〔自贡〕如图,抛物线l交x轴于点A〔﹣3,0〕、B〔1,0〕,交y轴于点C〔0,﹣3〕.将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1.
〔1〕求l1的解析式;
〔2〕在l1的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大,并说出理由;
例15.如图,直线y=1/2x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=1
/2x2+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为〔1,0〕.
〔1〕求该抛物线的解析式;
〔2〕动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P;
〔3〕在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM-MC|的值最大,求出点M的坐标
例16.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC与y轴相交于点M,且M是BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是A〔
〕,B〔
〕,D〔3,0〕.连接DM,并把线段DM沿DA方向平移到ON.假设抛物线
经过点D、M、N.
〔1〕求抛物线的解析式.
〔2〕抛物线上是否存在点P,使得PA=PC,假设存在,求出点P的坐标;假设不存在,请说明理由.
〔3〕设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大?
并求出最大值.
检测
1.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c经过A〔2,0〕、B〔4,0〕两点,直线y=
x+2交y轴于点C,且过点D〔8,m〕.
〔1〕求抛物线的解析式;
〔2〕在x轴上找一点P,使CP+DP的值最小,求出点P的坐标;
〔3〕将抛物线y=x2+bx+c左右平移,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,当四边形A′B′DC的周长最小时,求抛物线的解析式及此时四边形A′B′DC周长的最小值.
〔4〕设抛物线的顶点为Q,过点C作x轴的平行线L,点M在直线L上,且MN⊥x轴,垂足为N,假设DM+MN+NQ最小,直接写出此时点M,N的坐标。
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=
x2+bx+c的图象与x轴交于A〔-1,0〕、B〔3,0〕两点,顶点为C.
〔1〕求此二次函数解析式;
〔2〕点D为点C关于x轴的对称点,过点A作直线l:
y=
x+
交BD于点E,过点B作直线BK∥AD交直线l于K点.问:
在四边形ABKD的内部是否存在点P,使得它到四边形ABKD四边的距离都相等?
假设存在,请求出点P的坐标;假设不存在,请说明理由;
〔3〕在〔2〕的条件下,假设M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点,连结DN、NM、MK,求DN+NM+MK和的最小值.
〔4〕设抛物线交y轴于点R,假设点K在抛物线对称轴上,当∣KB-KR∣的值最大时,直接写出此时K的坐标。
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