五年级奥数题因数与倍数.docx

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五年级奥数题因数与倍数

因数与倍数相关习题

（1）

一、填空题

1•28的所有因数之和是.

2.用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有中不同的拼法•

3.一个两位数，十位数字减个位数字的差是28的因数,十位数字与个位数

字的积是24.这个两位数是.

4.李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组，总共种树

667棵，如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生人.

5.两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,则这两个数的差是.

6.现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数，桔数相

等,最多可分给小朋友,每个小朋友得梨个,桔个.

7.一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形

布片块.

8.长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料，能锯成尽可能大的正方体木块

（不余料）块.

9.张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个，又以2元钱5个苹果的价

格将这些苹果卖出，如果他要赚得10元钱利润，那么他必须卖出苹果个.

10.含有6个因数的两位数有个.

11•写出小于20的三个自然数，使它们的最大公因数是1,但两两均不互

质，请问有多少组这种解？

12•和为1111的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？

13.狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4丄米，黄鼠狼每次跳2-米,

24

它们每秒钟都只跳一次.比赛途中，从起点开始每隔12-米设有一个陷井，当它们

8

之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？

14.已知a与b的最大公因数是12,a与c的最小公倍数是300,b与c的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a,b,c共有多少组？

（例如：

a=12、b=300、c=300,与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数

答案

答案：

1.56

28的因数有1,2,4,7,14,28,它们的和为

1+2+4+7+14+28=56.

2.4

因为105的因数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.

3.64

因为28=227,所以28的因数有6个:

1,2,4,7,14,28.在数字0,1,2,…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2，8-3=5.

故符合题目要求的两位数仅有64.

4.28

因为667=2329,所以这班师生每人种的棵数只能是667的因

数:

1,23,29,667.显然,每人种667棵是不可能的.

当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.

当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.

当每人种1棵树时,全班人数应是667-1=666,但666不能被4整除,不可能.所以,一班共有28名学生.

5.40或20

两个自然数的和是50,最大公因数是5,这两个自然数可能是5和45,15和35,它们的差分别为（45-5=）40,（35-15=）20,所以应填40或20.

［注］这里的关键是依最大公因数是5的条件,将50分拆为两数之和:

50=5+45=15+35.

6.36,1,3.

要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的因数，又要是108的因数，即一定是36和108的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公因数.36和108的最大公因数是36,也就是可分给36个小朋友.

每个小朋友可分得梨:

3636=1（只）

每个小朋友可分得桔子:

10836=3（只）

所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.

7.56

剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48与42的公因数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与42的最大公因数.

因为48=22223,42=237,所以48与42的最大公因数是6.这样,最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪:

长边每排剪8块,宽边可剪7块,共可剪（486）（426）=87=56（块）正方形布片.

8.200

根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除,即正方体的棱长是180,45和18的公因数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公因数.180,45和18的最大公因数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样,长180厘米可公成20段,宽45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.这根木料共分割成（1809）（459）（189）=200块棱长是9厘米的正方体.

9.150

根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱卖出15个苹果,这样,他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.

10.16

含有6个因数的数，它的质因数有以下两种情况：

一是有5个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M表示含有6个因数的数，用a和b表示M的质因数，那么

Ma5或Ma2b

因为M是两位数，所以M=a5只有一种可能M=25，而M=a2b就有以下15种情况：

M

22

3,M

22

5,M

22

7，

M

22

11,M

22

13,M

22

17，

M

22

19,M

22

23,M

322，

M

32

5,M

32

7,M

32

11

M

52

2,M

52

3,M

72

2.

所以,含有6个因数的两位数共有

15+1=16（个）

11.三个数都不是质数，至少是两个质数的乘积，两两之间的最大公因数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.

12.四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和，也就是说它们的最大公因数应该是1111的因数.将1111作质因数分解，得

1111=11101

最大公因数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有

1+2+3+5=11,

即存在着下面四个数

101,1012,1013,1015,

它们的和恰好是

101（1+2+3+5）=10111=1111,

它们的最大公因数为101.

所以101为所求.

13.黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是2-与123的“最小公倍数”99，

484

991113

即跳了一一=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是4-和12-的

4428

“最小公倍数”99，即跳了99-=11次掉进陷井.

222

经过比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是

1

4-9=40.5（米）.

14.先将12、300分别进行质因数分解：

2

12=23

22

300=235

⑴确定a的值.依题意a只能取12或125（=60）或1225（=300）.

⑵确定b的值.

当a=12时，b可取12,或125,或1225;

当a=60,300时，b都只能取12.

所以,满足条件的a、b共有5组：

a=12-a=12-a=12a=60-a=300

b=12,〔b=60,〔b=300,Ib=12,[b=12.

⑶确定a,b,c的组数.

对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：

22222222

5，52,52，53,523,523,即卩25,50,100,75,150,300.所以满足条件的自然数a、b、c共有56=30（组）

因数与倍数相关习题

（2）

一、填空题

1.把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共有个小朋友.

2.幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友；结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个.这个大班的小朋友最多有

人.

3.用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用

这样的木板块.

4.用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，

至少需要这种长方体木块块.

5.一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分

钟发一次，第一次同时发车以后，钟又同时发第二次车.

6.动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得

12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子,每只可得粒.

7.这样的自然数是有的：

它加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍

数，加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数，在这种自然数中除了1以外最小的是.

8.能被3、7、&11四个数同时整除的最大六位数是.

9.把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组,要求每一组中任意两个数的

最大公因数是1,那么至少要分成组.

10.210与330的最小公倍数是最大公因数的倍.

二、解答题

11.公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6:

00三条路线同时发出第一辆车.该总站发出最后一辆车是20:

00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.

12.甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数，商是12.如果甲乙两数的差是18,则甲数是多少？

乙数是多少？

5151

13.用-、些、1丄分别去除某一个分数，所得的商都是整数.这个分数

285620

最小是几？

14.有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说：

“这个数能被2整除”，3号说：

“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验：

只有编号连续的二位同学说得不对，其余同学都对，问：

（1）说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？

（2）如果告诉你,1号写的数是五位数，请找出这个数.

答案：

1.9

若梨减少2个,则有20-2=18（个）;若将苹果增加2个,则有25+2=27（个）,这样都被小朋友刚巧分完•由此可知小朋友人数是18与27的最大公因数.所以最多有9个小朋友.

2.36

根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因数.

所以,这个大班的小朋友最多有36人.

3.56

所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数，也就是长方

形木板的长和宽的公倍数，又要求最少需要多少块，所以正方形木板的边长应是14与16的最小公倍数.

先求14与16的最小公倍数.

2161彳

87

故14与16的最小公倍数是287=112.

因为正方形的边长最小为112厘米,所以最少需要用这样的木板

112112_

=78=56（块）

1614

4.5292

与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9,6,7的最小公倍数，9,6,7

的最小公倍数是126.所以,至少需要这种长方体木块

126126126,=142118=5292（块）

967

［注］上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广•将平面问题推广为空间问题

是数学家喜欢的研究问题的方式之一•希望引起小朋友们注意•

5.90

依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数.

因为3,5,9,15和10的最小公倍数是90,所以从第一次同时发车后90分钟又同时发第二次车.

6.5

依题意得

花生总粒数=12第一群猴子只数

=15第二群猴子只数

=20第三群猴子只数

由此可知,花生总粒数是12,15,20的公倍数,其最小公倍数是60.花生总粒数是60,120,180,……，那么

第一群猴子只数是5,10,15,……

第二群猴子只数是4,8,12,……

第三群猴子只数是3,6,9,……

所以，三群猴子的总只数是12,24,36,…….因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是5粒.

7.421

依题意知,这个数比2、3、4、5、6、7的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍数是420,所以这个数是421.

8.999768

由题意知,最大的六位数是3,7,8,11的公倍数,而3,7,8,11的最小公倍数是1848.

因为9999991848=541……231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是1848的541倍,或者是999999与231的差.所以,符合条件的六位数是999999-231=999768.

9.3

根据题目要求,有相同质因数的数不能分在一组,26=213,91=713,143=1113,所以,所分组数不会小于3.下面给出一种分组方案:

（1）26,33,35;

（2）34,91;（3）63,85,143.

因此，至少要分成3组.

［注］所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=35,2仁37,

35=57，3，5，7各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组

除了上述分法之外，还有多种分组法,下面再给出三种：

（1）26,35；33，85，91；34，63，143.

（2）85,143,63；26，33，35；34，91.

（3）26,85,63；91，34，33；143，35.

10.77

根据“甲乙的最小公倍数甲乙的最大公因数=甲数乙数”将210330分

解质因数，再进行组合有

210330=235723511

222

=235711

=（235）（235711）

因此，它们的最小公倍数是最大公因数的71仁77（倍）.

11.根据题意,先求出8,10,16的最小公倍数是80,即从第一次三车同时发出后,每隔80分钟又同时发车.

从早上6:

00至20:

00共14小时，求出其中包含多少个80分钟.

601480=10…40分钟

由此可知,20:

00前40分钟，即19:

20为最后一次三车同时发车的时刻.

12.甲乙两数分别除以它们的最大公因数，所得的两个商是互质数.而这两个互质数的乘积，恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数所得的商——12.这一结论的根据是：

（我们以“约”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数）

甲数乙数=倍约

甲数乙数倍约比

约约约约，所

甲数乙数倍甲数乙数

=一=12约约约，约约

k。

k。

k0k0k0

将12变成互质的两个数的乘积：

①12=43,②12=112

先看①,说明甲乙两数：

一个是它们最大公因数的4倍，一个是它们最大公

因数的3倍.

甲乙两数的差除以上述互质的两数（即4和3）之差，所得的商，即甲乙两数的最大公因数.

18（4-3）=18

甲乙两数，一个是:

183=54,另一个是：

184=72.

再看②,18（12-1）=1-,不符合题意,舍去.

11

13.依题意,设所求最小分数为M,则

N

M

5

M

15-

M1

=a

=b

1=c

N

28

N

56

N20

M

28

M

56一

M

20

即——

=a

=b

=c

N

5

N

15

N

21

其中a,b,c为整数.

因为M是最小值,且a,b,c是整数,所以M是5,15,21的最小公倍数,N是

N

28,56,20的最大公因数，因此，符合条件的最小分数：

M=105=261

N44

14.

（1）根据2号~15号同学所述结论将合数4,6，…，15分解质因数后，由1号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论•

2322

4=2,6=23,8=2,9=3,10=25,12=23,14=27,15=35

由此不难断定说得不对的两个同学的编号是8与9两个连续自然数（可逐次

排除,只有8与9满足要求）.

（2）1号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15这12个数整除,也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是

223因为60060是一号同学写的五位数是

571113=60060

位五位数,而这12个数的其他公倍数均不是五位数,所以160060.