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最新高等数学课后习题及参考答案第六章优秀名师资料
高等数学课后习题及参考答案(第六章)
高等数学课后习题及参考答案
(第六章)
习题6,2
1,求图6,21中各画斜线部分的面积:
(1)
解画斜线部分在x轴上的投影区间为[0~1],所求的面积为
31211122()[].A,x,xdx,x,x,0,0326
(2)
解法一画斜线部分在x轴上的投影区间为[0~1],所求的面积为
11xxA,(e,e)dx,(ex,e)|,1~0,0
解法二画斜线部分在y轴上的投影区间为[1~e],所求的面积为
eeeA,lnydy,ylny|,dy,e,(e,1),1,1,,11
(3)
解画斜线部分在x轴上的投影区间为[,3~1],所求的面积为
1322[(3)2],A,,x,xdx,,,33
(4)
解画斜线部分在x轴上的投影区间为[,1~3],所求的面积为
31323223(23)(3)|,A,x,,xdx,x,x,x,,1,,133
2.求由下列各曲线所围成的图形的面积:
1222
(1)与x,y,8(两部分都要计算),y,x2
解:
222218222222(8)2828A,,x,xdx,,xdx,xdx,,xdx,1,,,,000023
8424,16cos2,tdt,,,,,033
42(22)6,A,,,S,,,213
1
(2)与直线y,x及x,2,y,x
解:
所求的面积为
213A,(x,)dx,,ln2,,1x2
xx(3)y,e~y,e,与直线x,1,
解:
所求的面积为
11x,x,A,(e,e)dx,e,,2,0e
(4)y=lnx,y轴与直线y=lna,y=lnb(b>a>0).
解
所求的面积为
lnblnbyyA,edy,e,b,a,lnalna
23,求抛物线y,,x,4x,3及其在点(0~,3)和(3~0)处的切线所围成的图形的面积,
解:
y,,,2x,4,
过点(0,,3)处的切线的斜率为4~切线方程为y,4(x,3),
过点(3,0)处的切线的斜率为,2~切线方程为y,,2x,6,
3两切线的交点为~所求的面积为(,3)2
339222[43(43)][26(43]A,x,,,x,x,,,x,,,x,x,dx,,3,,042
p24,求抛物线y=2px及其在点处的法线所围成的图形的面积,(,p)2
解
2y,y,,2p,
pp,p在点处~y~法线的斜率k,,1~,,1(,p)(,p)y22
p3p法线的方程为~即,y,p,,(x,)x,,y22
p9求得法线与抛物线的两个交点为和,(,p)(p,,3p)22法线与抛物线所围成的图形的面积为
2p3py3p1116p232A(y)dy(yyy)p,,,,,,,,,,3p,3p22p226p3
5,求由下列各曲线所围成的图形的面积,
(1),,2acos,,
解:
所求的面积为
,1222222A,(2acos,)d,,4acos,d,,,a,,,,0,22
33
(2)x,acost,y,asint;
解
所求的面积为
0a332242A,4ydx,4(asint)d(acost),4a3costsintdt,,,,002
,3246222,12a[sintdtsintdt]a,,,,,,008
(3),=2a(2+cos,)
解
所求的面积为
22,,12222,A,[2a(2,cos,)]d,,2a(4,4cos,,cos,)d,,18,a,,002
6,求由摆线x,a(t,sint)~y,a(1,cost)的一拱(0,t,2,)与横轴所围成的图形的面积,
解:
所求的面积为
2a,2a2a22A,ydx,a(1,cost)a(1,cost)dt,a(1,cost)dt,,,000
2a1,cost22,,a(1,2cost,)dt,3a,,02
7,求对数螺线,,ae(,,,,,,)及射线,,,所围成的图形面积,
解
所求的面积为
2,,11a,222,2,,2,,A,(ae)d,,aed,,(e,e),,,,,,224
8,求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积,
(1),,3cos,及,,1,cos,
解
33,,曲线,,3cos,与,,1,cos,交点的极坐标为~,由对称性~所求的面积为A(,)B(,,)2323
,11522322[(1cos)(3cos)],A,,,d,,,d,,,,,,02243
2
(2)及,,,cos2,,,2sin,
解
22曲线与的交点M的极坐标为M,所求的面积为,,cos2,,,2sin,(,)26
,1113,,2642[(2sin)cos2],Add,,,,,,,,,,,022626
x9,求位于曲线y=e下方~该曲线过原点的切线的左方以及x轴上
方之间的图形的面积,
x解设直线y,kx与曲线y,e相切于A(x~y)点~则有00
y,kx,00,x0y,e~,0x0,,y(x),e,k0,
求得x,1~y,e~k,e,00
所求面积为
eeee111e2,(ln)ln,,,,,,yydyyyyydy,,000022eey
210,求由抛物线y,4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值,
解设弦的倾角为,,由图可以看出~抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为
A,A,A01
,显然当时~A,0,当时~A,0,,,,,1122
因此~抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为
aa8832A22axdxaxa,,,,0,0033
211,把抛物线y,4ax及直线x,x(x,0)所围成的图形绕x轴旋转~计算00
所得旋转体的体积,
解所得旋转体的体积为
xxx000222,V,,ydx,,4axdx,2a,x,2a,x0,,000
312,由y,x~x,2~y,0所围成的图形~分别绕x轴及y轴旋转~计算所得两个旋转体的体积,
解绕x轴旋转所得旋转体的体积为
2221128267,V,,ydx,,xdx,,x,,x,,00077
绕y轴旋转所得旋转体的体积为
288223V,2,,,8,,xdy,32,,,ydyy,,00
83645332,,,,,y,,055
2/32/32/313,把星形线所围成的图形~绕x轴旋转~计算所得旋转体x,y,a
的体积,
解由对称性~所求旋转体的体积为
22aa2333V,2,ydx,2,(a,x)dx,,00
4224a3222333332(a3ax3axx)dxa,,,,,,,,,0105
H214,用积分方法证明图中球缺的体积为,,()V,HR,3
RR222证明V,,x(y)dy,,(R,y)dy,,,,RHRH
R1H232,,,(,),,(,)RyyHR,RH33
15,求下列已知曲线所围成的图形~按指定的轴旋转所产生的旋
转体的体积:
22
(1)~~绕y轴,y,xx,y
1111132225()()解,V,,ydy,,ydy,,y,y,,,,0002510
x
(2)~x,0~x,a~y,0~绕x轴,y,acha
aa1xau令,x22232解V,y(x)dx,achdx,achudu,,,,,000a
3311aa11,,u,uu,u2222,(e,2,e)du,(e,2u,e),004422
3a,,,(2,sh2)4
22(3)~绕x轴,x,(y,5),16
442222解V,,(5,16,x)dx,,(5,16,x)dx,,,,44
422,,4016,xdx,160,,0
(4)摆线x,a(t,sint)~y,a(1,cost)的一拱~y,0~
绕直线y,2a,
2a,2a,22解V,,(2a)dx,,(2a,y)dx,,00
2,322,8a,,,[2a,a(1,cost)]da(t,sint),0
2,323232,8a,,a,(1,cost)sintdt,7a,,,0
22216,求圆盘绕x,,b(b>a>0)旋转x,y,a
所成旋转体的体积,
aa222222解V,,(b,a,y)dy,,(b,a,y)dy,,,,aa
a2222,,8b,a,ydy,2ab,,0
17,设有一截锥体~其高为h~上、下底均为椭圆~椭圆的轴长分别为2a、2b和2A、2B~求这截锥体的体积,
解建立坐标系如图,过y轴上y点作垂直于y轴的平面~则平面与截锥体的截面为椭圆~易得其长短半轴分别为
A,aB,b~,A,yB,yhh
A,aB,b截面的面积为,(A,y),(B,y),hh
于是截锥体的体积为
hA,aB,b1,V,(A,y),(B,y),dy,,h[2(ab,AB),aB,bA],0hh6
18,计算底面是半径为R的圆~而垂直于底面上一条固定直径的
所有截面都是等边三角形的立体体积,
解设过点x且垂直于x轴的截面面积为A(x)~
2由已知条件知~它是边长为的等边三角形R,x
的面积~其值为
22A(x),3(R,x)~
R43223所以V3(Rx)dxR,,,,,,R3
19,证明由平面图形0,a,x,b~0,y,f(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为
b
V,2,xf(x)dx,a
证明如图~在x处取一宽为dx的小曲边梯形~小曲边梯形绕y轴旋转所得的旋转体的体积近似为2,x,f(x)dx~这
就是体积元素~即
dV,2x,f(x)dx~,
于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为
bb
V,2,xf(x)dx,2,xf(x)dx,,aa
20,利用题19和结论~计算曲线y,sinx(0,x,,)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积,
,,2解,V,,2xsinxdx,,2,xdcosx,2,(,xcosx,sinx),2,,,000
21,计算曲线y,lnx上相应于的一段弧的长度,3,x,8
288811,x22,解~s,1,y(x)dx,1,()dx,dx,,,333xx
22令~即~则1,x,tx,t,1
23333113ttt1ln,s,,dt,dt,dt,dt,,,,,,222222221122t,t,11t,t,
x22,计算曲线上相应于y,(3,x)3
1,x,3的一段弧的长度,
111,~~解y,,xy,x,xx232x
1111122,,,y,x,~~1()y,,,x24x24x
所求弧长为
3311124()
(2)23,s,x,dx,xx,x,,,112233x
2x23223,计算半立方抛物线被抛物线截得的一段弧y,(x,1)y,33的长度,
2,23y,(x,1),663解由得两曲线的交点的坐标为~,(2,)(2,,),x332y,,3,
22,所求弧长为,s,21,ydx,1
因为
442x(x,1)(x,1)(,1)322,,,~~,2yy,2(x,1)yy,,,(x,1),22yy23(x,1)3
所以
32232852s,21,(x,1)dx,3x,1d(3x,1),[(),1],,,1129232
224,计算抛物线y,2px从顶点到这曲线上的一点M(x~y)的弧长,
yyyy12222,解s,,xydy,,dy,p,ydy1()1(),,,000pp
2yyp12222,[p,y,ln(y,p,y)]0p22
22ypy,,yp22,py,,,lnpp22
3325,计算星形线~的全长,y,asintx,acost
解用参数方程的弧长公式,
222,,s4x(t)y(t)dt,,,0
22222,4[3acost,(,sint)],[3asint,cost]dt,0
2,,12sintcostdt,6a,0
26,将绕在圆(半径为a)上的细线放开拉直~使细线与圆周始终相
切~细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线~它的方程为
~,x,a(cost,tsint)y,a(sint,tcost)
计算这曲线上相应于t从0变到,的一段弧的
长度,
解由参数方程弧长公式
,2222,,s,[x(t)],[y(t)]dt,(atcost),(atsint)dt,,00
a2,,,atdt,,02
27,在摆线x,a(t,sint)~y,a(1,cost)上求分摆线第一拱成1:
3的点
的坐标,
解设t从0变化到t时摆线第一拱上对应的弧长为s(t)~则00
tt002222,,s(t),[x(t)],[y(t)]dt,[a(1,cost)],[asint]dt0,,00
t0tt0,,2sin,4(1,cos)adta,022
当t,2,时~得第一拱弧长s(2,),8a,为求分摆线第一拱为1:
3的0
点为A(x~y)~令
t0~4a(1,cos),2a2
2,解得~因而分点的坐标为:
t,03
2223,,,横坐标~x,a(,sin),(,)a3332
23,纵坐标~y,a(1,cos),a32
233,故所求分点的坐标为,((,)a,a)322
a,28,求对数螺线相应于自,0到,的一段弧长,,,e,,,
解用极坐标的弧长公式,
,2222aa,,,s,,,(),,(,)d,,(e),(ae)d,,,00
2,1,aa,a,2,,1,aed,,(e,1),0a
3429,求曲线,,,1相应于自至的一段弧长,,,,,43
解按极坐标公式可得所求的弧长
4411332222,s,,,(),,,()d,,(),(,)d,332,,,,44
415332,1ln,,,d,,,32,122,4
30,求心形线,,a(1,cos,,的全长,
解用极坐标的弧长公式,
,22222,s,2,,(),,,()d,,2a(1,cos,),(,asin,)d,,,00
,,,4acosd,,8a,02
习题6,3
1,由实验知道~弹簧在拉伸过程中~需要的力F(单位:
N)与伸长量s(单位:
cm)成正比~即F,ks(k为比例常数),如果把弹簧由原长拉伸6cm~计算所作的功,
解将弹簧一端固定于A~另一端在自由长度时的点O为坐标原点~建立坐标系,功元素为dW,ksds~所求功为
6612k(牛,厘米),W,ksds,ks,18,002
22,直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm的蒸汽,设温度保持不变~要使蒸汽体积缩小一半~问需要作多少功,
解由玻,马定律知:
2,PV,k,10,(,10,80),80000,
设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变~高度减小x厘米时压强为
2P(x)牛/厘米~则
8002P(x),~,P(x),[(,10)(80,x)],80000,80,,
2功元素为~dW,(,,10)P(x)dx
所求功为
404080012(J),W,,(,10),dx,80000,dx,800,ln2,,0080,80,,,
3,
(1)证明:
把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是
mgRh~W,R,h
其中g是地面上的重力加速度~R是地球的半径,
(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg~在高于地面630km处进入轨道,问把这颗卫星从地面送到630的高空处~克服地球引力要作多
2少功,已知g,9,8m/s~地球半径R,6370km,
证明
(1)取地球中心为坐标原点~把质量为m的物体升高的功元素为
kMm~dW,dy2y
所求的功为
R,hkMmmMh,W,dy,k,2,RyR(R,h)
243173,5.98,10,630,10,115
(2)(kJ),W,6.67,10,,9.75,10336370,10(6370,630),10
34,一物体按规律作直线运动~媒质的阻力与速度的平方成x,ct
正比,计算物体由x,0移至x,a时~克服媒质阻力所作的功,
3解因为~所以x,ct
2x22243,v,x(t),3cx~阻力f,,kv,,9kct,而~所以t,()c
424x2333,f(x),,9kc(),,9kcxc
功元素dW,,f(x)dx~所求之功为
242427aaa27333333W[f(x)]dx9kcxdx9kcxdxkca,,,,,,,,,0007
5,用铁锤将一铁钉击入木板~设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比~在击第一次时~将铁钉击入木板1cm,如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等~问锤击第二次时~铁钉又击入多少,
解设锤击第二次时铁钉又击入hcm~因木板对铁钉的阻力f与铁
钉击入木板的深度x(cm)成正比~即f,kx~功元素dW,fdx,kxdx~击第一次作功为
11~W,kxdx,k1,02
击第二次作功为
1,h12,W,kxdx,k(h,2h)2,12
因为~所以有W,W12
112~k,k(h,2h)22
解得(cm),h,2,1
6,设一锥形贮水池~深15m~口径20m~盛满水~今以唧筒将水吸
尽~问要作多少功,
2解在水深x处~水平截面半径为~功元素为r,10,x3
222dW,x,,rdx,,x(10,x)dx~
3
所求功为
1522W,,x(10,x)dx,03
15423,,(100x,40x,x)dx,09
1875(吨米),57785.7(kJ),
7,有一闸门~它的形状和尺寸如图~水面超过门顶2m,求闸门上
所受的水压力,
解建立x轴~方向向下~原点在水面,
水压力元素为
~dP,1,x,2dx,2xdx
闸门上所受的水压力为
552(吨)=205,8(kN),P,2xdx,x,21,22
8,洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体~尺寸如图所示,当水
箱装满水时~计算水箱的一个端面所受的压力,
解建立坐标系如图~则椭圆的方程为
32(x,)2y4,,,12312()4
压力元素为
83322dP,1,x,2y(x)dx,x,(),(x,)dx~344所求压力为
3,83383332222P,x,(),(x,)dx,(1,sint),cost,costdx,,,,034434442
9922(吨),17.3(kN),cos,tdx,,,0416
33(提示:
积分中所作的变换为)x,,sint44
9,有一等腰梯形闸门~它的两条底边各长10m和6m~高为20m,较长的底边与水面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力,
解建立坐标系如图,直线AB的方程为
1~y,5,x10
压力元素为
1~dP,1,x,2y(x)dx,x,(10,x)dx5
所求压力为
201(吨),14388(千牛),P,x,(10,x)dx,1467,05
10,一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片~铅直地沉没在水中~顶在上~底在下且与水面平行~而顶离水面3cm~试求它每面所受的压力,
解建立坐标系如图,
2腰AC的方程为y,x~压力元素为3
24~dP,(x,3),2,x,dx,x(x,3)dx33
所求压力为
66441332(克),,,,,(牛),P,x(x,3)dx,(x,x),168,003332
11,设有一长度为l、线密度为,的均匀细直棒~在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M~试求这细棒对质点M的引力,
解建立坐标系如图,在细直棒上取一小段dy~引力元素为
mdyGm,,~,,,dFGdy2222,,ayay
dF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为
ya~,dF,,dFdF,dFxyrr
llGmGml,,a1F,(,,)dy,,aGmdy,,~,x22,,22222200ra,y(a,y)a,yaa,l
llyGm,111F,,dy,Gmdy,Gm,,,,()y22,,22222200ra,yaa,ya,ya,l()
12,设有一半径为R、中心角为,的圆弧形细棒~其线密度为常数,,在圆心处有一质量为m的质点F,试
求这细棒对质点M的引力,
解根据对称性~F,0,y
G,m,dsdF,,cos,x2R
,,Gm(Rd)Gm~,,cos,,cos,d,2RR
,Gm2F,cos,d,x,,,R2
2Gm2Gm,,,2,cosd,sin,,,,0RR2
2Gm,,引力的大小为~方向自M点起指向圆弧中点,sinR2
总习题六
1(x),1,一金属棒长3m~离棒左端xm处的线密度为,
x,1(kg/m),问x为何值时~[0~x]一段的质量为全棒质量的一半?
x3111dt,dt解x应满足,,,002t,1t,1
x31111x3因为~~dt,[2t,1],2x,1,2dt,[2t,1],100,,0022t,1t,1所以~2x,1,2,1
5(m),x,4
2,求由曲线,,asin,~
,a(cos,,sin,)(a>0)所围图形公共部分的面积,
3,1a14222解S,,,(),a(cos,,sin,)d,,,2222
3,22aa,1,,42,,,(1,sin2)d,a,,,,8242
23,设抛物线通过点(0~0)~且当x,[0~1]时~y,0,试y,ax,bx,c
2确定a、b、c的值~使得抛物线与直线x,1~y,0所围图形y,ax,bx,c
4的面积为~且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小,9
2解因为抛物线通过点(0~0)~所以c,0~从而y,ax,bx,c
2,y,ax,bx
2抛物线与直线x,1~y,0所围图形的面积为y,ax,bx
1ab2(),S,ax,bxdx,,,032
ab48,6a令~得,,,b,3299
该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为
221abab22,(),()V,ax,bxdx,,,,0532
218686a,aa,a2,,[()()],,,53929
5dV,a126a,81令~得a
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