第二章线性系统的状态空间描述2.docx

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第二章线性系统的状态空间描述2

（2）N-（-L只含单实极点的情况

D（s）

设D（s）可分解为

（s一入）唱（s一几）

Xn

向量一矩阵形式为:

f

X=

+

J

■

+

J

■

0]

X+

厂

1

u

■

■

L

0

入n

[

1

Cn

y=C1C2

对角形动态方程的状态变量图为:

由于

ui-

Ci

yi,

S—/ui

对角形动态方程的状态变量图

【例2.2.9】

已知系统传递函数为

+8s+15

G（s）

2

+7s+14s+8

，试求状态空间表达式。

解:

G（s）

+8s+15

Ci

+7s

C2

C3

+14s+8

s+2

其中:

C1

=G（s）

•（s+1）

C1

=G（s）

■（s

2）

c1

=G（s）

•（s+4）

6}

动态方程为:

0

-2

0

x+

1

L0

0

-4

[

L

r-1

0

0

x

u

（3）N（s）含重实极点的情况

D（s）

N（s）

当中含重实极点时，不仅可以化为可控、可观测标准型，还可以化为约当形动态

D（s）

方程。

例如:

3

D（s）=（s—扎）（s—入4）

1

1

10

0

扎

I

Zj4

1匕

—

1

1

-•

1

人n

■

1

+

x

LiJ

x：

=

y=CiiCi2Ci'C4

2

【例2.2.10】已知系统传递函数为G（s）=2s+S"1，试求约当型状态空间表达式。

（S_2）3

解:

G（s）

（s

C11

3

-2）

C12

2

+

（s-2）

19

+亡=（s_2）3

132

+r+

（S-2）（s—2）

其中:

C11

=[G（s）（s-2）3]

=19

C12

=j【G（s），（s-2）3]

ds

-13

C13

2!

2[G（s）.（s-2）3]ds

s/=2

f

2

1

0-

f

-01

X=

0

2

1

x+

0u

[

0

0

2

■

[

1j

=

2X1

+x2

即収；

=

2X2

+x

3

动态方程为:

X3

=2X3+u

=1913

2]x

=19Xt+13x2+2x3

L3

~n尤M.

s

2

1

*^乌?

一弋勺J

—[IP"

>19

【例2.2.11】已知系统传递函数为G（s）=us

解:

2

4s+10s+5

G（s）=2

（s+2）（s+1）

c11

_+

（s中2）2

C12

其中：

C11=【G（s）（s+2）2]

4s2+10s+5

——2，试求约当型状态空间表达式。

+5s+8s+4

+—C3—

（s+2）（s+1）

s_2=5

动态方程为:

G（S）=C（sl_A）丄B+D

§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型

一、状态空间表达式的线性变换

回顾前面几节有关系统动态方程建立的过程，无论是从实际物理系统出发，还是从系统

结构图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人

为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的随意性，因此会得出不同的系统动态方

程。

实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；

统结构图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；从系统微分方程或传

递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生

不同的动态方程。

所以说同一系统选取不同的状态变量便有不同形式的动态方程。

1、非奇异线性变换

d2

C12=—[G（s）Xs+）ds

态向量x作线性变换，得到另一个新的状态向量x，令

X=Px

变换前系统动态方程为:

=Ax+bu

=cx

变换后系统动态方程为:

=cx

式中:

特别提示：

有些教材中，做如下线性变换:

变换前系统动态方程为:

变换后系统动态方程为:

式中:

y=CX

两者只是形式不同。

为在讲授过程中X=PX这种线性变换。

2、非奇异线性变换的不变特性

线性定常系统经非奇异变换后，其特征多项式、特征方程、传递函数不变。

、系统特征值和特征向量（预备知识）

定义：

设A是一个nxn的矩阵，若在向量空间中存在一非零向量V，使

AV=Av

则称A为A的特征值，任何满足Av=ZV的非零向量V称为A的对应于特征值A的特征向

1、特征值的计算

【例2.3.1】求下列矩阵的特征值。

*

11

+11兀+6=（兀+1）（k+2）（扎+3）=0

解出特征值A,=-1

=—2，As=—3

2、特征向量的计算

【例2.3.2】求下列矩阵A

的特征向量。

1-1

-116

（2）计算对应于特征值

令：

V11=1，则V1=I

解：

（1）A的特征值在上例中已求出

t\,2—一2，K3—一3

几1=—1的特征向量V1，有A¥1=扎1V1。

「0

1

-1011

-6

-11

6

V12

=—1,

V12

L-6

-11

5

■

虹3■

[

讪3”

V11

Vl2

V13]T，即有

计算整理后有:

V11+V12-V13

=0

«—6v11

—10v12

+6v13=0

解出：

V11=V13，

V12=0

—6V11

-11V12

+6V13=0

0订

69]T

二、动态方程的几种标准型

1、动态方程的对角标准型

X=Ax+bu

对于线性系统！

[y=cx

若A的特征值是互异的，则必存在非奇异变换矩阵使原状态空间表达式变换为对角标准型。

X；=AX+buy=cx

式中:

A=P丄AP

1—

b=P—b，c=cP

其中，/Ji=1,2,

，n）是矩阵A的特征值。

变换矩阵P由A的特征向量P1,P2,

Pn构造，即

P1,P2,

P=【P1P2

Pn分别为对应于特征值

Pn]

Zn的特征向量。

【例233】试将下列动态方程变换为对角标准型。

解：

（1）A的特征值和特征向量已在前面两例中算出:

扎=一1，几2

=一2，K=-3

P1=

0

，P2=

2

，P3=

6

[

1J

1

1[

4j[

9j

「仃

P3构造变换矩阵

P,并求

O

1

（2）用

P2

「111■

*f

■35/2-2"

」P

026

，P-11-

-3-43

P

L149.

Il[

13/2-1

P3匸

（3）计算

A=P丄AP=

0

-2

0

，b：

=P=

3

[

0

0

-3

[

-1

r-1

r-21

0

0

C=cP：

=1

于是变换后的动态方程为:

※注意：

如果原状态空间表达式中的

A阵为友矩阵，且有

n个互异实数特征值

/d，A2，…，）・n，那么使

A变换为对角形矩阵的变换阵

P是一个范德蒙

（Vandermonde）矩阵：

f

■1

1■■■

1■

h

■■■

人2

Am

P=

2

几

b

■

■

r2...

/u2

b

■

■

__2Am

b

■

■

[

n1

人"

n1

■■■

扎2

n1人n

【例234】试将下列动态方程变换为对角标准型。

「0

0X

由于A为友矩阵，并且有互异实特征值，故而变换矩阵可直接写为如下形式:

'1

1

1"

f

■3

2.5

0.5'

-1

-2

-3

，则p」=

-3

-4

-1

1

4

9

■

[

1

1.5

0.5

■

p=

于是变换后的动态方程为:

0

-2

0

x+

-3u

0

0

-3

[

1

0

0

3

x=

y=b-1

-2]x

【例235】试将下列动态方程变换为对角标准型。

0-1

0

x+

2u

|_02

1

■

[

1

-1

-1

00

x—

解：

采用另一种方法:

（1）系统特征多项式为

det（[J-A）

=0,解出特征值为A1=2，扎2

=一1，

（2）可由A=P」AP

-A

，进而求出P

「P11

P12

P21

P22

P23

|_P31

32

P33

，有

并带入AP

解出pl

「1

L0

（3）计算b，

f2

0

-1

-11

0I「P11

0

P21

31

「1

L0

P12

P22

32

P131「P11

P23

P33

P12

P13

P21

P22

P23

【「2

0

-1

-1

-11

0

LP31

32

P33

JL0

c=cP

L3」

2、动态方程的约当标准型如果A阵具有重实特征根，又可分为两种情况：

1A阵虽有重特征值，但矩阵A仍然有n个独立的特征向量。

一样，仍可以把A划分为对角标准型。

2另一种情况是矩阵A不但具有重特征值，而且其独立特征向量的个数也低于这种情况，A阵虽不能变换为对角标准型，但可以变换为约当标准型。

这种情况同特征值互异时

n。

对于

（1）约当块和约当阵

-2

的矩阵，称为约当块。

-2

「41I0

0410

L

0'_21

由若干个约当块组成的准对角线矩阵称为约当矩阵。

如

（2）设A阵具有

L0

0\00

-2」

m重实特征值几，且只有一个独立实特征向量

Pi与之对应,

则只能使A

化为约当阵J。

仏1

1

1

+

1

A1-

+

!

0

J

■

1!

、1

A11

1、

0

\人m+

1

»

1

L

1

■

An

Pm十

Pm

Pn

J=

式中P2，P3

Pm是的广义实特征向量，满足:

「扎

【例2.3.6】试将下列动态方程变换为约当标准型。

L1

L2