喀兴林高等量子力学习题EX23-27.doc

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练习23.1利用恒等式及展开，证明:

对整数和都成立；式中定义为

证明：

（王俊美）

因为

对 进行得

（这里）

则

所以

即

此题得证。

练习23.2利用上题，证明当为正整数，且时有

证明：

（王俊美）

⑴因为

所以

此题得证

⑵

所以

此题得证。

练习23.3证明当及时有（杨涛）

（1）

（2）

证明：

对

（1）式变形的

（3）

要证

（1）式成立即要求（3）式成立即可

由可得（3）式的左式

由可得

左式=右式

题中所列等式成立即

（1）式成立

对

（2）式变形，左式与右式同时乘以

则

假定

左式=右式

即题设中所列等式成立

#

练习23.4利用23.2与23.3的结果。

证明：

（杨涛）

（1）

及

（2）

证明：

由可得

假设

（1）式的左式

又

题设中

（1）式成立

据可得：

根据

（2）式我们知：

即

（2）式证毕

#

练习23.5利用上题结果，证明CG系数的Edmonds形式（23.19）式与（23.20）等价。

（做题人：

韩丽芳）

证明：

CG系数的Edmonds形式（23.19）式如下式所示

CG系数的另一种Racah形式（23.20）式如下所示

（1）

而

（2）

由公式

（3）

及

（4）

则

（1）式的最后一项为

将换成得

（5）

将（5）代入

（1）式并和

（2）式比较证得两式等价

即CG系数的Edmonds形式与Racah形式等价。

#

23.6证明（23.27）式与（23.20）式等价。

（做题人：

韩丽芳）

证明：

CG系数的Racah形式（23.20）式如下所示

CG系数的Wigner形式（23.27）如下所示

（1）

而

（2）

由公式

（3）

及

（4）

则

（2）式的最后一项为

（5）

将（5）式代入

（2）式得，再与

（1）式进行比较，证得两式等价，即CG系数的Racah形式与CG系数的Wigner形式。

23.7取,取转动,写出:

（1）;

（2）S;（3）（这三者都是矩阵）.（吴汉成）

解：

又

（1）根椐公式：

可得：

所以，

（2）根据CG系数Wigner形式的公式：

可得S的矩阵如下：

表示行序号：

，它们的取值，11表示第一行，10表示第二行，依此类推，-1-1表示第九行。

表示列序号：

，它们的取值，00表示第一列，11表示第二列，依此类推，2-2表示第九列。

（3）因为，所以的矩阵，则的值（把转置后，再取转置后矩阵元的倒数，即得的矩阵元）,如下：

jm表示行序号：

jm=00，11，10，1-1，22，21，20，2-1，2-2。

00表示第一行，11表示第二行，依此类推，2-2表示第九行。

表示列序号：

=11，10，1-1，01，00，0-1，-11，-10，-1-1。

11表示第一列，10表示第二列，依此类推，-1-1表示第九列。

#

23.8证明（23.70）式等号右边的分子

与无关。

（吴汉成）

证明：

已知（23.69）式为：

现取m

--------------------------------

（1）式

另一方面，根据上升算符的性质：

，可把作用于（23.69）式两边,得:

两边除以，得：

--------------------------

（2）式

（1）

（2）两式比较，得：

此恒等式含有递推关系：

其中，。

现设，则综上所述，得：

-----（3）式

此（3）式表明了：

在范围内，取任意两值和时，该式都是恒等的，即该恒等式与的取值无关，所以证得与无关。

#

23.9.取，讨论在两种耦合方式中的取值范围与耦合方式无关。

（刘强）

证明：

第一种耦合方式：

（利用CG系数不为零的条件）

在和耦合中满足：

（１）

在和耦合中满足：

（2）

由（１）

（2）两式得

令得；

第二种耦合方式:

与先耦合成再与耦合，

同理我们可得到

令得；

当时，在两种耦合方式中的取值范围都是。

即证得的取值范围与耦合方式无关。

23.10在多粒子系统中，给定和，直接证明与对易。

（刘强）

证明：

为两粒子之间的距离，

对于多粒子系统中，给定为一个数值，

则上式=

即

证得与对易。

#

24.1

（1）写出：

的明显9×9矩阵形式。

（董廷旭）

（2）利用（24.21）式，由9个计算出（24.22）、（24.23）和（24.24）三式。

解

（1）

（2）

#

24.2证明除零秩外，所有不可约张量算符的迹都是零。

（董廷旭）？

？

？

？

证明：

根据不可约张量算符的定义，我们知道，具有在转动下按球谐函数的规律变换的一组算符作为其分量。

与球谐函数的性质做类比，我们可以通过幺正变换把不可约张量算符的矩阵变成对角阵，而对角元素就是相应本征函数的本征值，又因为其本征值必是2k+1个以原点对称的数，所以本征值的和为零。

从而得到对角矩阵的迹为零。

又因为幺正变换不改变矩阵的迹。

零秩显然本身不为零。

从而我们得出除零秩外，所有不可约张量算符的迹都是零。

练习24.3设已知一个二秩不可约张量的一个分量为式中和为二矢量，，亦同。

求的其余分量。

（做题人：

侯书进）

解：

由公式

并且由已知

得

即求得

同理

即得

由

得

及由

得

即求得求的其余分量为

练习24.4采用公式和为不可约张量算符的定义，证明两个不可约张量算符的直积的左方确实是一个不可约张量算符。

（做题人：

侯书进）

证明：

两个不可约张量算符和，可以通过它们的直积构成一些新的不可约张量算符

式中的取值为，上式可以简写成

要证明（24.30）式的左方确实是一个不可约张量算符，只需利用定义式及转动群的不可约表示的直积约化关系即可。

#

24.5

练习24.6采用与角动量的对易关系（24.27）式为不可约张量算符的定义,由此定义直接证明Wigner-Eckart定理.（杜花伟）

证明:

令

则根据（24.27）式

得

对于的每个,由给出个非零态矢量.

所以与无关,因此

#

练习24.7证明:

（做题人：

宁宏新）

证明:

由Wigner-Eckart定理得

　　　因为有的个数为

　　　所以

#

24.8

24.9

24.10设是电子的轨道和自旋量子数，证明在表象中有：

（仪双喜）

（1）

（2）

证明：

（1），对于有Wigner—Eckart定理知，

（2），对于有Wigner—Eckart定理知

及证得。

27.1

练习27.2

（1）根据（27.9）式，证明完全性关系：

（2）在表象和表象中，有证明当时有：

（吴汉成）

证：

（1）由（27.9）式可知在位置表象中，有：

，，，

显然有：

，

（完全性）

得证。

（2）由题意可知在表象和表象中，有：

，

得证

#

27.3

练习27.4由（27.34）式推出（27.35）式。

（吴汉成）

解：

（27.34）式：

两边除以得：

，得证。

#

练习27.5由（27.30）式证明散射态矢量的正交归一性：

（吴汉成）

解：

已知：

算符，。

显然得：

（）

（）

#

27.6

27.7

练习27.8讨论（27.30）式中的时间反演态，证明：

（吴汉成）

证明：

已知：

，则得：

等价（F为函数）

，

显然得：

即：

得证。

#

练习27.8讨论（27.30）式的时间反演态，证明：

（刘超）

证明：

讨论的时间反演态，这一变换的结果是时间变号，并且函数求复共轭。

我们知道动量与时间有关，也与时间有关

又因为

则的时间反演态为

因为为时间反演算符，由时间算符的定义得

即证得

27.9证明（27.39）式可以写成（刘超）

证明：

因为

所以

用作用得

同理有

所以

即证得：

可以写成

27.10证明：

。

（刘超）

证明：

已知LS方程为