概率的基本性质教案.docx

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概率的基本性质教案

《概率的基本性质》教案

使用教材：

人教版数学必修3

教学内容：

1、事件间的关系及运算2、概率的基本性质

教学目标：

1、了解事件间各种关系的概念，会判断事件间的关系；

2、了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简单的概率计算；

3、通过学习，进一步体会概率思想方法应用于实际问题的重要性。

教学的重点：

事件间的关系，概率的加法公式。

教学的难点：

互斥事件与对立事件的区别与联系。

教学的具体过程：

引入：

上一次课我们学习了概率的意义，举了生活中与概率知识有关的许多实例。

今天我们要来研究概率的基本性质。

在研究性质之前，我们先来一起研究一下事件之间有什么关系。

一、事件的关系与运算

老师做掷骰子的实验，学生思考，回答该试验包含了哪些事件（即可能出现的结果）

学生可能回答：

﹛出现的点数＝1﹜记为C1，﹛出现的点数＝2﹜记为C2，﹛出现的点数＝3﹜记为C3，﹛出现的点数＝4﹜记为C4，﹛出现的点数＝5﹜记为C5，﹛出现的点数＝6﹜记为C6.

老师：

是不是只有这6个事件呢？

请大家思考，﹛出现的点数不大于1﹜（记为D1）是不是该试验的事件？

（学生回答：

是）类似的，﹛出现的点数大于3﹜记为D2，﹛出现的点数小于5﹜记为D3，﹛出现的点数小于7﹜记为E，﹛出现的点数大于6﹜记为F，﹛出现的点数为偶数﹜记为G，﹛出现的点数为奇数﹜记为H，等等都是该试验的事件。

那么大家思考一下这些事件之间有什么样的关系呢？

1、学生思考若事件C1发生（即出现点数为1），那么事件H是否一定也发生？

学生回答：

是，因为1是奇数

我们把这种两个事件中如果一事件发生，则另一事件一定发生的关系，称为包含关系。

具体说：

一般地，对于事件A和事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作

（或

）

特殊地，不可能事件记为

，任何事件都包含

。

练习：

写出D3与E的包含关系（D3

E）

2、再来看一下C1和D1间的关系：

先考虑一下它们之间有没有包含关系？

即若C1发生，D1

是否发生？

（是，即C1

D1）；又若D1发生，C1是否发生？

（是，即D1

C1）

两个事件A，B中，若

，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B。

所以C1和D1相等。

“下面有同学已经发现了，事件的包含关系和相等关系与集合的这两种关系很相似，很好，下面我们就一起来考虑一下能不能把事件与集合做对比。

”

试验的可能结果的全体←→全集

↓↓

每一个事件←→子集

这样我们就把事件和集合对应起来了，用已有的集合间关系来分析事件间的关系。

3、集合之间除了有包含和相等的关系以外，还有集合的并，由此可以推出相应的，事件A和事件B的并事件，记作A∪B，从运算的角度说，并事件也叫做和事件，可以记为A+B。

我们知道并集A∪B中的任一个元素或者属于集合A或者属于集合B，类似的事件A∪B发生等价于或者事件A发生或者事件B发生。

练习：

G∪D3＝？

G＝﹛2，4，6﹜，D3＝﹛1，2，3，4﹜，所以G∪D3＝﹛1，2，3，4，6﹜。

若出现的点数为1，则D3发生，G不发生；若出现的点数为4，则D3和G均发生；若出现的点数为6，则D3不发生，G发生。

由此我们可以推出事件A+B发生有三种情况：

A发生，B不发生；A不发生，B发生；A和B都发生。

4、集合之间的交集A∩B，类似地有事件A和事件B的交事件，记为A∩B，从运算的角度说，交事件也叫做积事件，记作AB。

我们知道交集A∩B中的任意元素属于集合A且属于集合B，类似地，事件A∩B发生等价于事件A发生且事件B发生。

练习：

D2∩H＝？

（﹛大于3的奇数﹜＝C5）

5、事件A与事件B的交事件的特殊情况，当A∩B＝

（不可能事件）时，称事件A与事件B互斥。

（即两事件不能同时发生）

6、在两事件互斥的条件上，再加上事件A∪事件B为必然事件，则称事件A与事件B为对立事件。

（即事件A和事件B有且只有一个发生）

练习：

⑴请在掷骰子试验的事件中，找到两个事件互为对立事件。

（G,H）

⑵不可能事件的对立事件

7、集合间的关系可以用Venn图来表示，类似事件间的关系我们也可以用图形来表示。

：

A＝B：

A∪B：

A∩B：

A、B互斥：

A、B对立：

8、区别互斥事件与对立事件：

从图像上我们也可以看出对立事件是互斥事件的特例，但互斥事件并非都是对立事件。

练习：

⑴书P121练习题目4、5

⑵判断下列事件是不是互斥事件？

是不是对立事件？

1某射手射击一次，命中的环数大于8与命中的环数小于8；

2统计一个班级数学期末考试成绩，平均分不低于75分与平均分不高于75分；

3从装有3个红球和3个白球的口袋内任取2个球，至少有一个白球和都是红球。

答案：

①是互斥事件但不是对立事件；②既不是互斥事件也不是对立事件

③既是互斥事件有是对立事件。

二、概率的基本性质：

提问：

频率＝频数\试验的次数。

我们知道当试验次数足够大时，用频率来估计概率，由于频率在0～1之间，所以，可以得到概率的基本性质：

1、任何事件的概率P（A），0≦P（A）≦1

2、那大家思考，什么事件发生的概率为1，对，记必然事件为E，P（E）＝1

3、记不可能事件为F，P（F）＝0

4、当A与B互斥时，A∪B发生的频数等于A发生的频数加上B发生的频数，所以

=

+

所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）。

5、特别地，若A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，P（A∪B）＝1＝P（A）＋P（B）→P（A）＝1－P（B）。

例题：

教材P121例

练习：

由经验得知，在某建设银行营业窗口排队等候存取款的人数及其概率如下：

排队人数

0～10人

11～20人

21～30人

31～40人

41人以上

概率

计算：

（1）至多20人排队的概率；

（2）至少11人排队的概率。

三、课堂小结：

1、把事件与集合对应起来，掌握事件间的关系，总结如下表

符号

Venn图

概率论

集合论

必然事件

全集

不可能事件

空集

A

事件

子集

事件B包含事件A

（事件A发生，则B一定发生）

集合B包含集合A

A=B

事件A与事件B相等

集合A与集合B相等

A∪B

（A+B）

事件A与事件B的并事件

（或者事件A发生，或者事件B发生）

集合A与集合B的并

A∩B

（AB）

事件A与事件B的交事件

（事件A发生，且事件B发生）

集合A与集合B的交

A∩B＝

事件A与事件B互斥

（事件A和事件B不能同时发生）

集合A与集合B不相交

A∩B＝

A∪B＝

事件A与事件B对立

（事件A与事件B有且仅有一个发生）

集合A与集合B不相交

2、概率的基本性质：

（1）0≦P（A）≦1

（2）概率的加法公式

四、课后思考：

概率的基本性质4，若把互斥条件去掉，即任意事件A、B，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）

提示：

采用图式分析。

概率的意义

●三维目标

1．知识与技能

（1）理解概率的含义并能通过大量重复试验确定概率．

（2）能用概率知识正确理解和解释现实生活中与概率相关的问题．

2．过程与方法

（1）经历用试验的方法获得概率的过程培养学生的合作交流意识和动手能力．

（2）在由“试验形成概率的定义”的过程中培养学生分析问题能力和抽象思维能力．

3．情感、态度与价值观

（1）利用生活素材和数学史上著名例子，激发学生学习数学的热情和兴趣．

（2）结合随机试验的随机性和规律性，让学生了解偶然性寓于必然性之中的辩证唯物主义思想．

●重点难点

重点：

理解概率的意义．

难点：

用概率的知识解释现实生活中的具体问题．

教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合初中学习过的概率知识，不断地观察、比较、分析身边的具体实例总结出概率的实际意义从而强化了重点．

在课堂上，对于教师或学生提出的数学问题，通过学生与学生或学生与教师之间相互讨论、相互学习，在问题解决过程中发现规律、建立概念，通过例题与练习让学生在应用概率解决问题的过程中更深入地理解概率在现实生活中的作用从而化解了难点．

●教学建议

本节课建议主要采用实验探究式的教学方法，引导学生对身边的事件加以注意、分析，指导学生做简单易行的实验．为了达到好的教学效果，以启发为主，分层次设置问题，加入适量的情景设置，运用实验探究展开课堂，对问题采用多种展示手法，以学生为主，让学生分组讨论，合作学习，探究学习．课堂是个不断变化的过程，要因时因事而变，灵活把握，因材施教．

逐步完善学生对数据处理的认知结构．让学生动口说、动脑想、自主探究、合作交流，初步形成用数据进行推断的思考方式，养成尊重事实、用数据说话的态度，能明智地应付变化和不确定性，自信而理智地面对充满信息和变化的世界．

●教学流程

⇒

⇒

⇒通过例1及其变式训练学生能初步掌握现实生活中的一些概率问题的合理解释

⇒

⇒通过例3及变式训练，进一步巩固了概率与频率的关系掌握了求概率的基本方法⇒

⇒

课标解读

1.通过实例进一步理解概率的意义．（重点）

2.能用概率的意义解释生活中的事例．（难点）

3.了解概率在其他领域中的统计规律.

对概率的正确理解

【问题导思】　

有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次掷一枚质地均匀的硬币一定是一次正面朝上，一次反面朝上．你认为这种想法正确吗？

【提示】　这种想法是错误的．概率是大量试验得出的一种规律性结果，对具体的几次试验不一定体现出这种规律．

　随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性.

游戏的公平性

【问题导思】　

甲、乙两人做游戏，从装有3个白球1个黑球的袋子中任取1球，如果是白球，甲胜；否则乙胜．试问这个游戏对两个人来说公平吗？

【提示】　不公平．甲获胜机会大．

1．裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球的概率均为，所以这个规则是公平的．

2．在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则.

天气预报的概率解释

【问题导思】　

“昨天没有下雨，而天气预报说昨天降水的概率为90%.这说明预报是错误的”这种说法科学吗？

【提示】　不科学．

　天气预报的“降水”是一个随机事件，“概率为90%”指明了“降水”这个随机事件发生的概率为90%.在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的.

决策中的概率思想

如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.

正确理解概率的意义

　某种病治愈的概率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？

如何理解治愈的概率是0.3?

【思路探究】　正确理解随机事件概率的意义，纠正日常生活中出现的一些错误认识是解决本题的关键．

【自主解答】　如果把治疗一个病人作为一次试验，“”指随着试验次数的增加，即治疗人数的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没有治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，有可能治愈，也可能没有治愈．

治愈的概率是0.3，指如果患病的人有1000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提，就可以认为这1000个人中大约有300人能治愈．

随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数、哪一个具体的试验都没有关系．

某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次靶心了？

【解】　概率是经过大量的重复试验得出的一个统计值，但作为单独的一次或多次试验而言，很有可能该事件不发生或发生的可能性与大量试验的值相差很大．从概率统计的定义出发，击中靶心的概率是0.9，并不意味着射击10次就一定能击中9次，只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为

n（其中n为射击次数）且n越大，击中的次数就越接近

n.

游戏公平性的判断

　如图3－1－1所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：

自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜；否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？

如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？

图3－1－1

【思路探究】　因为只有甲、乙二人参加游戏，所以要判断规则是否公平，只需看两转盘数字和为6的概率是否为

，若是，则公平；若不是，则不公平．

【自主解答】　列表如下：

A

B

3

4

5

6

1

4

5

6

7

2

5

6

7

8

3

6

7

8

9

由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．

因为P（和为6）＝

＝

，即甲、乙获胜的概率不相等，所以这种游戏规则不公平．

如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么游戏规则就是公平的．

1．由题意列出表格，各种结果在表中一目了然，使得本题的解答更简易、方便．

2．利用概率的意义可以判定游戏规则，在各类游戏中，如果每个人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的．这就是说，要保证所制定的游戏规则是公平的，需保证每人获胜的概率相等．

元旦就要到了，某校将举行庆祝活动，每班派1人主持节目．高一

（2）班的小明、小华和小利实力相当，又都争着要去，班主任决定用抽签的方式决定，机灵的小强给小华出主意，要小华先抽，说先抽的机会大，你是怎样认为的？

说说看．

【解】　其实抽签不必分先后，先抽后抽，中签的机会是一样的．我们取三张卡片，上面标上1,2,3，抽到1就表示中签，设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把情况填入下表：

情况人名

一

二

三

四

五

六

甲

1

1

2

2

3

3

乙

2

3

1

3

1

2

丙

3

2

3

1

2

1

从上表可以看出：

甲、乙、丙依次抽签，一共有六种情况，第一、二两种情况，甲中签；第三、五两种情况，乙中签；第四、六两种情况，丙中签．甲、乙、丙中签的可能性都是相同的，即甲、乙、丙的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的，不必争先后.

概率的应用

　为了估计水库中鱼的尾数，使用以下的方法：

先从水库中捕出2000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．

【思路探究】　这实际上是概率问题，即2000尾鱼在水库中占所有鱼的百分比．捕出的500尾鱼中带记号的鱼有40尾，就说明水库所有的鱼中，带记号的鱼的概率约为

，问题可解．

【自主解答】　设水库中鱼的尾数是n（n∈N*），每尾鱼被捕到的可能性相等，给2000尾鱼做上记号后，从水库中任捕一尾鱼，带记号的概率为

.又从水库中捕500尾鱼，有40尾带记号，于是带记号的频率为

.则有

≈

，解得n≈25000.所以估计水库中有25000尾鱼．

此类题主要考查概率与频率的关系及由样本数据估计总体的能力，解题的关键是假定每个样本被抽取的可能性是相等的，可用样本的频率近似估计总体的概率，或由此列出方程，求出总体．

某家具厂为某运动中心生产观众座椅．质检人员对该厂所产2500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，试问该厂所产2500座椅中大约有多少套次品？

【解】　设有n套次品，由概率的统计定义可知，

＝

，解得n＝125.

故该厂所产2500套座椅中大约有125套次品.

不理解概率的意义致误

　已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（　　）

A．合格产品少于9件

B．合格产品多于9件

C．合格产品正好是9件

D．合格产品可能是9件

【错解】　产品的合格率是90%，是指产品中有90%的产品是合格的，故抽出的10件产品中，合格产品正好为9件，故应选C.

【答案】　C

【错因分析】　因不理解概率的意义而错选C.

【防范措施】　一个事件的概率是通过大量的重复试验得到的，其反映了该随机事件发生的可能性大小，因此在本题中“抽出10件产品”相当于做了10次试验，而每次试验结果可能是正品，也可能是次品．故只有D正确．

【正解】　合格产品可能为90%×10＝9，故选D.

【答案】　D

1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只能认为事件发生的可能性大．

2．孟德尔通过试验、观察、猜想、论证，从豌豆实验中发现遗传规律是一种统计规律，这是一种科学的研究方法，我们应认真体会和借鉴．

3．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.

1．“某彩票的中奖概率为

”意味着（　　）

A．买1000张彩票就一定能中奖

B．买1000张彩票中一次奖

C．买1000张彩票一次奖也不中

D．购买彩票中奖的可能性是

【解析】　由概率的意义知D正确．

【答案】　D

2．某次考试共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的．某人说：

“每个选项正确的概率是

，我每题都选择第一个选项，则一定有3题选择结果正确”这句话（　　）

A．正确　　　B．错误

C．不一定D．无法解释

【解析】　解答一道选择题作为一次试验，每次试验选择的正确与否都是随机的，经过大量的试验其结果呈随机性，即选择正确的概率是

.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，不能保证每题的结果选择正确，但有3题选择结果正确的可能性比较大．同时也有可能都选错，亦或2题，4题，甚至12个题都选择正确．

【答案】　B

3．___上海世博会前夕，质检部门对世博会所用某种产品进行抽检，得知其合格率为99%.若世博会所需该产品共有20000件，则其中的不合格产品约有________件．

【解析】　由合格率为99%知不合格率为1%，故不合格产品约有20000×1%＝200（件）．

【答案】　200

4．如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于

，这种理解正确吗？

【解】　这种理解是不正确的．掷一枚质地均匀的硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过大量的试验，其结果呈现出一定的规律，即“正面向上”、“反面向上”的可能性都是

，连续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面向上和反面向上的可能性还是

，而不会大于

.

一、选择题

1．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是（　　）

A．若他投100次，一定有50次投中

B．若他投一次，一定投中

C．他投一次投中的可能性大小为50%

D．以上说法均错

【解析】　概率是指一件事情发生的可能性大小．

【答案】　C

2．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”．下列对此预测的正确理解是（　　）

A．本市明天将有90%的地区降雨

B．本市明天将有90%的时间降雨

C．明天出行不带雨具肯定会淋雨

D．明天出行不带雨具可能会淋雨

【解析】　由概率的意义知，D正确．

【答案】　D

3．在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%，下列解释正确的是（　　）

A．100个手术有99个手术成功，有1个手术失败

B．这个手术一定成功

C．99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术

D．这个手术成功的可能性是99%

【解析】　成功率大约是99%，说明手术成功的可能性是99%.

【答案】　D

4．同时向上抛掷100个质量均匀的铜板，落地时这100个铜板全都正面向上，则这100个铜板更可能是下面哪种情况（　　）

A．这100个铜板两面是一样的

B．这100个铜板两面是不一样的

C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不一样的

D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不一样的

【解析】　掷一个铜板，正面向上概率为

，由题意结合极大似然法思想知A正确．

【答案】　A

5．（2013·烟台高一检测）一枚质地均匀的硬币如果连续抛掷100次，那么第99次出现反面朝上的概率是（　　）

A.

　　　B.

　　　C.

　　　D.

【解析】　由于每次试验出现正、反面朝上的概率是相等的，均为

.

【答案】　C

二、填空题

6．小明在抛掷图钉时，在200次至300次抛掷中钉尖触地的频率约在35%～35.4%之间，那么再抛掷100次，钉尖触地次数的取值范围是________．

【解析】　由于在抛掷图钉试验中，“针尖触地”这一事件的发生是随机的，故再抛掷100次，针尖触地次数的取值范围是[0,100]．

【答案】　[0,100]

图3－1－2

7．玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一步，玲玲对倩倩说：

“拿一个飞镖射向如图3－1－2所示的靶中，若射中区域所标的数字大于3，则我先走第一步，否则你先走第一步”．你认为这个游戏规则公平吗？

________.（填“公平”或“不公平”）

【解析】　如题图所示，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域则只有3个，所以玲玲先走的概率是

，倩倩先走的概率是

.所以不公平．

【答案】　不公平

8．管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条．根据以上数据可以估计该池塘约有________条鱼．

【解析】　设该池塘约有x条鱼．

则

＝

，

∴x＝750.

【答案】　750

三、解答题

9．以下说法正确吗？

请说明理由．

（1）某厂产品的次品率为0.02，从该厂产品中任意地抽取100件，其中一定有2件次品．

（2）某销售商为了提高某品牌日用品的销售量，决定在某超市搞促销活动：

凡购买该品牌的日用品一件，就可以抽奖一次，中奖率为

.某顾客觉得该品牌的日用品好用也是必需的用品，所以决定购买10件，认为肯定有3次能中奖的机会，更有优惠．

（3）某市气象预报说：

“明天本市降雨的概率为60%”．有人认为明天本市有60%的区域要下雨，40%的区域不下雨；也有人认为明天本市有60%的时间下雨，有40%的时间不下雨．

【解】　

（1）这种说法不对．因为产品的次品率为0.02，是指产品为次品的可能性为2%，所以从该厂产品中任意地抽取100件，其中可能有2件次品，而不是一定有2件次品．

（2）不对．购买该品牌的日用品一