第二单元 几何.docx
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第二单元几何
第五讲平面几何的认识
一、知识要点:
从本讲开始将对几何图形进行系统的认识,包括对点、线、面、体的认识;对基本图形的顶点、边、角、面、对称轴、对角线的认识;对平面图形的周长、面积,立体图形的表面积、体积的计算及方法技巧。
本讲主要介绍平面图形的特点及长度的概念。
二、基本概念:
1、点构成线,线构成面,面构成体,可以说图形的基本单位是点。
2、线可以分为线段(两个端点,有长度,不能延长),
射线(一个端点,没有长度,能沿一端无限延长),
直线(没有端点,没有长度,能沿两端无限延长)。
平行线与相交线,两条不相交的直线称为平行线,两条相交于一点的直线称为相交线。
垂线:
互成90度角的两条线段。
3、角由两条射线组成,共一个端点,可以分为锐角(小于90度)、直角(等于90度)、钝角(大于90度)。
4、三角形按角的大小可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形;
按边的长度也可以分为一般三角形,等腰三角形、等边三角形。
三角形有三个顶点,三条边,三个角的和为180度,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,等腰三角形有一条对称轴,等边三角形有三条对称轴。
5、长方形,四条边,两组对边平行且相等,四个顶点,四个角都是90度,两条对角线互相平分且相等;长方形是轴对称图形,有两条对称轴。
6、正方形,特殊的长方形,四条边都相等,四个角都是90度,两条对角线互相垂直且平分,正方形有四条对称轴。
7、菱形,特殊的平行四边形,四条边的长度相等,两条对角线互相垂直且平分,菱形有两条对称轴。
8、平行四边形,两组对边平行且相等,相邻的两个角度数和是180度,两条对角线互相平分,一般的平行四边形不是轴对称图形。
∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°
9、梯形,仅有一组对边平行的四边形,可以分为等腰梯形,直角梯形,和一般的梯形,其中等腰梯形是轴对称图形,有一条对称轴,且两条对角线相等。
10、圆,以定点为圆心,定长为半径,画弧,绕一周,起点与终点重合的轨迹就是圆。
经过圆心的线段,长度为半径的两倍是直径。
圆是轴对称图形,有无数条对称轴,任何一条经过圆心的直线都是它的对称轴。
11、扇形,作为圆的一部分,它由两条半径和一段弧线组成,两条半径所夹的角叫圆心角。
扇形是轴对称图形,它有一条对称轴。
三、长度的表现形式:
1、最短距离。
(1)两点间线段最短。
如上图所示,两点之间显然线段的长度是最短的。
(2)点与直线间的距离。
作法:
过这点向直线作垂线段,垂线段的长度就是该点到直线间的距离。
【例题1】求点A到直线
的距离。
解:
如右图所示,过点A作直线
的垂线,交直线
于点C,线段AC便是点A到直线
的距离。
随堂练习:
画出下列三角形BC边上的高。
(3)线与线之间的距离(平行线)。
作法:
在一条直线上任取一点,过该点作另一条直线的垂线,垂线段的长度就是两条平行线间的距
离。
【例题2】
求作下列平行线间的距离。
解:
如图所示,在直线m上任取一点A,过
点A作直线n的垂线,交直线n于点D,垂
线段AD的长度便是两条平行线间的距离。
另在直线n上任取一点B,过点B作直线m的垂线,交直线m于点C,垂线段BC的长度便是两条平行线间的距离。
结论:
平行线间的距离处处相等。
随堂练习:
求作下列梯形的高,并用字母
标记。
2、周长。
定义:
环绕有限面积的区域边缘的长度之和,叫做周长。
常用的周长计算公式:
长方形的周长=(长+宽)×2,正方形的周长=边长×4,
圆的周长=
【例题3】
一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆,这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上.则小圆的周长之和为______厘米。
分析:
小圆的周长之和,当然如果知道每个小圆的半径,问题迎刃而解,
但这里每个小圆的半径不可能求出,而已知条件只有一个大圆周长20厘米,这暗示着三个小圆周长与这个大圆的周长肯定有关联。
解:
设三个小圆半径分别是
,
,
,大圆的半径为
,则
大圆周长是
(厘米)
三个小圆的周长是
(厘米)
答:
小圆的周长之和是20厘米。
随堂练习:
将半径分别是4厘米和3厘米的两个半圆,如图放置。
求阴影部分的周长。
3、弧长。
弧长作为圆周的一部分,它的计算公式是
,其中
是弧所对应的圆心角的度数。
【例题4】
如图,直径AB为2厘米的半圆,绕A逆时针旋转60°,使AB到达AC位置。
求图中阴影部分的周长。
分析:
阴影部分的周长分为4段,第一段,半圆弧AC段;
第二段,圆弧BC段,所对应的圆心角是60度;
第三段,圆弧BD段,所对应的圆心角角120度;
第四段,线段AD,长度等于半径AO,即2÷2=1(厘米)
解:
半圆弧AC段,2×3.14÷2=3.14(厘米)
圆弧BC段,
(厘米)
圆弧BD段,
(厘米)
线段AD的长度等于半径AO(因为三角形AOD为正三角形),即2÷2=1(厘米)
所以阴影部分的周长:
3.14+2.09+2.09+1=8.32(厘米)
随堂练习:
如图,以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,求阴影部分的周长(精确到0.01)
小结:
本讲主要介绍了常见的几个平面图形的特点,对接下来的面积,体积的计算打下了基础,特别是组合图形的处理,所以掌握这些基本图形的特点以及它们的内在联系很重要。
第六讲图形面积
(一)
一、知识要点:
几何起源于对图形面积的测量,面积是平面几何中一个重要的概念,求图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一。
平面几何图形形状不同,繁简不一,计算图形的面积有以下常用方法。
1、直接利用公式计算。
2、和差法。
把图形面积用常见图形面积的和差表示,通过常规图形面积公式计算。
3、运动法。
有时直接求图形面积有困难,可通过平移、旋转、割补等方式,将图形中的部分图形运动起来,把图形转化为容易观察或解决的形状,就可在动中求解。
4、等积变形法
即找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形,通过代换转化求图形的面积。
此外根据图形的特点和已知的条件还有一些特殊方法与技巧。
本讲主要介绍第一类和第四类。
二、基本图形的面积计算:
1、三角形:
2、正方形:
3、长方形:
4、平行四边形:
5、梯形:
6、圆:
三、公式直接应用:
【例题1】
一个等腰直角三角形,它的斜边长20厘米,它的面积是多少平方厘米?
分析:
等腰直角三角形,根据概念,可以知道它有一个直角,
有两个底角各是45°,根据这个特点,如果从顶点向底边引
垂线,根据等腰三角形的特点,左右两边是两个完全一样的
直角三角形,且腰相等,是20÷2=10(厘米),
即等腰直角三角形的高是10厘米。
解:
20×(20÷2)÷2=20×10÷2=100(平方厘米)
答:
等腰三角形的面积是100平方厘米。
随堂练习:
在斜边长12厘米的等腰直角形中画两个不同的正方形A、B,它们的面积各是多少平方厘米?
【例题2】
如图,正方形中套着一个长方形,正方形的边长是15厘米,长方形的四个角的顶点,恰好分别把正方形四条边都分成两段,其中长的一段是短的一段的2倍,这个长方形的面积是多少?
分析:
长方形的面积在这里显然不能直接利用面积计算公式,
换个角度思考,用正方形的面积减去四个三角形的面积。
仔细观察发现,两个大三角形可以拼成一个正方形,两个小
三角形也可以拼成一个正方形,根据长的一段是短的2倍,
就可以求出两个拼成的正方形的边长。
解:
小正方形的边长:
15÷(2+1)=5(厘米)
大正方形的边长:
15-5=10(厘米)
长方形的面积:
15×15-10×10-5×5=100(平方厘米)
答:
这个长方形的面积是100平方厘米。
随堂练习:
一个正方形,它的边长增加了4厘米,面积就比原来增加64平方厘米,这个正方形原来的边长是多少厘米?
四、等积变换
1、根据三角形的面积计算公式指导,三角形的面积与形状无关而只与底和高的长度有关。
2、进一步推想可知:
(1)要保持三角形的面积不变,一方面可以分别保持三角形的底,则面积的变化与另一个的变化之积。
(2)在三角形中,如果底和高这两个量有其中一个保持不变,则面积的变化与另一个的变化成比例。
(3)在三角形中,如果底和高这两个量都发生变化,则面积的变化等于底和高的变化之积。
3、技能:
由边的倍比关系推出相应的面积的倍比关系。
重点:
倍比关系的手段总结。
【例题3】
用尽量多的方法,将任意一个三角形分成面积相等的四个三角形。
(自己先作任意三角形)
分析:
解决此题的关键是找等底等高的三角形。
解法一:
将任意一边四等份,再与顶点相连
则分成面积相等的4个三角形。
如图一所示,
很显然,这时的4个三角形的4条底边分别
相等,高是公共的高,等底同高的四个三角形面积当然相等。
解法二:
把任意一条边,如BC边平均分成4
份;D为一个等分点,连接AD,再将AD平均
分成3份,等分点为E、F,连接CE、CF。
则
分成面积相等的四个三角形。
解法三:
取3条边的中点D、E、F(下右图),每两个中点分别用线段连接起来,即分成大小形状完全相等的4份。
若要分析其中的道理,可以作一条辅助线。
连接AE,
则△AEC面积是原三角形面积的一半,而△CEF面积
又是△AEC面积的一半,因此△CEF面积是原三角形
面积的
,同理,可以证明△ADF面积=△BDE面积
=原三角形面积的
,剩下的中间那个△DEF面积当然也是原三角形面积的
了。
随堂练习:
如图,在梯形ABCD中,AC和BD是对角线,其交点为O,你能够找出几对面积分别相等的三角形?
说一说你的想法。
【例题4】
如图,在三角形ABC中,BE=3AE,CD=2AD。
如果三角形ADE的面积为1平方厘米,求三角形ABC的面积。
解:
如图,连接EC,
∵CD=2AD,
∴
∵BE=3AE
∴
随堂练习:
如图,A为三角形CDE的边DE上的中点,CD=3BC,已知三角形ABC的面积为5平方厘米,求三角形ABD及三角形ACE的面积。
小结:
本讲重点介绍了三角形的等积变换,
(1)等底同高(等底等高,同底等高)的三角形面积相等;
(2)两个三角形如果等底(高),那么其中一个三角形的高(底)是另一个三角形高(底)的几倍,则面积也是它的几倍。
这两个性质在进行等积变换及面积计算中用途很大。
第七讲图形面积
(二)
一、知识要点:
本讲主要对组合图形的面积进行探讨。
对于组合图形的面积,不像基本图形一样有着固定的面积计算公式,所以首先要对组合图形进行剖析,看它由哪些基本图形组成,然后利用这些基本图形之间的关系进行求解。
这里介绍的常用技巧有:
割补、重叠(溢出)、对称法。
二、基本方法:
相加或相减法
关键:
分析图形的构成,考虑几个已知的基本图形的和与差。
【引入】求阴影部分的面积。
你会求解吗?
【例题1】求阴影部分的面积。
分析:
阴影部分由三个部分构成,这三个部分的面积无法单独
求出来,转换思维方式。
从整体上来看,该图形是由两个半圆
和一个直角三角形拼合而成,两个半圆面积相加,和阴影部分
相比较,刚好是多出一个直角三角形的面积,也就是说,阴影部分的面积=小半圆面积+大半圆面积-直角三角形面积。
解:
阴影部分的面积=
=
=3.8125(平方厘米)
答:
阴影部分的面积是3.8125平方厘米。
随堂练习:
求下面各图中阴影部分的面积。
(单位:
厘米)
三、常用方法与技巧:
1、割补。
(注意:
必须是等积的割补,割与补既可以是对阴影部分,也可以是对空白部分)
【例题2】
如图,求阴影部分的面积是多少?
(单位:
厘米)
分析:
阴影部分是个不规则的图形,没办法直接计算,
仔细观察发现,如果把阴影的第三块向左平移到空白的位
置,刚好补充成一个长为3厘米,宽为2厘米的长方形。
解:
阴影部分的面积是3×2=6(平方厘米)
随堂练习:
求下图阴影部分的面积。
(单位:
厘米)
【例题3】如图,已知正方形的边长为8厘米,求阴影部分的面积。
分析:
如图所示,边长为8厘米的正方形被分成了4×4=16个
边长为2厘米的小正方形。
而阴影部分分别在12个小正方形内,且每一块各占所在小正方
形面积的一半,因此阴影部分刚好可拼合成12÷2=6个小正方形。
解:
小正方形边长,8÷4=2(厘米)
阴影部分的面积,12÷2×(2×2)=24(平方厘米)
随堂练习:
如图,正方形ABCD中,AD=10米,E、F、G、H分别是各边的中点,求阴影部分的面积。
2、重叠(溢出)。
【例题4】
求下图中阴影部分的面积。
分析:
从图形的构成来看,小扇形完全重叠在长方形内,
大扇形部分重叠在长方形内,且有溢出。
于是,小扇形的
面积+大扇形的面积-长方形的面积=阴影部分面积
解:
阴影部分的面积=
(平方厘米)
3、对称。
【例题5】求下图中阴影部分的面积。
分析:
很显然,阴影部分是个对称图形,我们只需求得其中的一半,而这其中的一半,可以根据图形的构成,利用加减法进行计算。
解:
大正方形面积-大扇形面积=
小正方形面积-小扇形面积=
所以,阴影部分的面积是(86-21.5)×2=129(平方厘米)
随堂练习:
求下图中阴影部分的面积。
(单位:
厘米)
小结:
组合图形的面积求解,通常是从图形的构成出发,看组合图形由哪些基本图形构成,然后根据各图形之间的组合关系,对阴影部分的面积进行分析。
基本方法是:
面积相加、相减法。
由几个已知的基本图形的和、差构成。
常用的技巧有:
1、割补;2、重叠;3、对称。
第八讲图形面积(三)
本讲主要介绍在图形计算当中的一系列特殊的方法,包括构造法、比例法、代数法。
一、构造法(添加辅助线):
【例题1】
下图是由正方形和半圆组成的图形,其中P点为半圆周的中点,Q位BC的中点,求阴影部分的面积。
分析:
阴影部分的面积显然无法直接求出,只能间接的求,这
很容易想到用正方形的面积,加上半圆,再减去空白得阴影。
所以问题的关键在于空白部分的面积如何求,事实上,如果
连接BP,则空白被分成两个三角形,而这两个三角形的底和高都是能够找到的,问题解决。
解:
如图,连接BP,那么△ABP的底AB长10厘米,高10+5=15(厘米);
△BQP的底BQ长10÷2=5(厘米),高10÷2=5(厘米)
阴影部分的面积=正方形的面积+半圆面积-△ABP的面积-△BQP的面积
=10×10+3.14×5×5÷2-10×15÷2-5×5÷2
=100+(1.57-0.5)×25-75
=(1.57-0.5+1)×25
=51.75(平方厘米)
答:
阴影部分的面积是51.75平方厘米。
随堂练习:
如图,ABCD是正方形,边长是8厘米,BE=4厘米,其中圆弧BD的圆心是C点,那么图中阴影部分的面积等于多少平方厘米?
【例题2】
ABCD是正方形,BE=EC,AB=12厘米,求阴影部分的面积。
分析:
由于BE=EC,所以三角形BED的面积等于正方形面积的
四分之一,如果还能够求出三角形BEO的面积,阴影部分的面积
便可以求出。
过O分别作OF垂直于AB,OH垂直于BE,显然OF=OH,那么△ABO的面积=△BEO的面积
所以阴影部分的面积=
×△BED的面积。
解:
三角形BED的面积,12×12÷4=36(平方厘米)
三角形BEO的面积,36÷3=12(平方厘米)
阴影部分的面积,36-12=24(平方厘米)
随堂练习:
如图,求空白部分的面积是正方形面积的几分之几?
二、比例法:
【例题3】
如图,一个长方形被两条直线分成四个长方形,其中三个的
面积分别是20、25、30,求另一个长方形的面积。
分析:
这里四个长方形,上下两个的长是相等的,所以面积
之比等于它们的宽之比。
解:
根据图形之间的关系,有25:
?
=20:
30,根据这个比例关系,可以得到?
=37.5
答:
另一个长方形的面积是37.5。
随堂练习:
如图,梯形ABCD被对角线分为4个小三角形,已知△AOB和△BOC的面积分别为25
和35
,求梯形的面积。
三、代数法:
【例题4】
如图,正方形ABCD的面积是10平方厘米,那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?
分析:
阴影部分的面积为四分之一圆的面积与正方形面积之差,
圆半径为其关键未知量。
而进一步可发现,圆半径正好为正方形的对角线BC,因此作辅
助线连结BC。
但BC长如何通过正方形面积来求却成了难题。
因此考虑运用代数法,借助代数表达来解决“关系明显而无法直接求得”的困境。
解:
如图,连接BC、AD,令BC=r,
则△ACB的面积=△CBD的面积=
×r×
=10÷2
化简得r
=20
那么阴影部分面积=
×3.14×r
-10=5.7(平方厘米)
随堂练习:
如图,已知三角形ABC的面积为1平方米,而且AE=ED,BD=
BC,求阴影部分的面积是多少平方米?
【例题5】
已知阴影部分的面积是40平方厘米,求圆环的面积。
分析:
知道圆环的半径
和
,可以求出环形的面积,但题目中
和
无法直接求出。
考虑圆环面积与阴影面积有何关系,设图中小正方形的边长是
,大正方形的边长是
,则阴影部分的面积为
,有了这个条件,圆环的面积也就可以求出了。
解:
(平方厘米)
随堂练习:
如图所示,角AOB=90°,C位AB弧的中点,已知阴影甲的面积为16平方厘米,则阴影乙的面积为平方厘米。
四、转换。
【例题6】
如图,大正方形的边长为6厘米,求阴影部分的面积。
分析:
阴影部分是个不规则的图形,必须将阴影部分的面积
进行转换,初步观察,可知阴影部分可以拆成一个弓形和一个三
角形,弓形面积可以求出来,但三角形面积此时不好求,看上
去三角形的面积和小正方形的边长有关,实则无关,
作出两个正方形的对角线,如图所示,这两条对角线是平行的,以BD为底的△BDF的高便是两条平行线间的距离,根据平行线间的距离处处相等,则△BDF的面积可以转化为△BDC的面积,这样阴影部分的面积实际上就是以BC为半径的圆面积的四分之一。
解:
如图所示,连接BD、CF,则△BDF的面积=△BDC的面积(同底等高)
阴影部分的面积=
(平方厘米)
随堂练习:
如图,ABCD是长方形,图中的数字是各部分的面积数,求图中阴影部分的面积。
小结:
解答图形问题,首先要认真观察图形,了解、掌握图形中各部分之间的关系。
其次,在掌握解答图形问题的一些常用方法的同时,还要善于联想,要善于根据已有的条件,找出图形间的关系,从而选择合适的解题方法,本讲又介绍了四种比较特殊的方法与技巧。
最后,还要善于从结果出发,根据所求问题找条件。
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