第四章 441 对数函数的概念.docx
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第四章441对数函数的概念
§4.4 对数函数
4.4.1 对数函数的概念
学习目标
1.理解对数函数的概念.2.会求与对数函数有关的定义域问题.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
知识点 对数函数的概念
一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
思考 函数y=logπx,y=log2
是对数函数吗?
答案 y=logπx是对数函数,y=log2
不是对数函数.
1.由y=logax,得x=ay,所以x>0.( √ )
2.y=log2x2是对数函数.( × )
3.若对数函数y=logax,则a>0且a≠1.( √ )
4.函数y=loga(x-1)的定义域为(0,+∞).( × )
一、对数函数的概念及应用
例1
(1)指出下列函数哪些是对数函数?
①y=3log2x;②y=log6x;③y=logx5;④y=log2x+1.
解 ①log2x的系数是3,不是1,不是对数函数.
②符合对数函数的结构形式,是对数函数.
③自变量在底数位置上,不是对数函数.
④对数式log2x后又加上1,不是对数函数.
(2)已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3),则f
=________.
答案 -5
解析 设对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),
∵f(x)的图象过点P(8,3),
∴3=loga8,∴a3=8,a=2.
∴f(x)=log2x,
f
=log2
=log22-5=-5.
反思感悟 判断一个函数是对数函数的方法
跟踪训练1 若函数f(x)=(a2+a-5)logax是对数函数,则a=________.
答案 2
解析 由a2+a-5=1得a=-3或a=2.
又a>0且a≠1,所以a=2.
二、与对数函数有关的定义域
例2 求下列函数的定义域:
(1)y=loga(3-x)+loga(3+x);
(2)y=log2(16-4x)+
;
(3)y=log(1-x)5.
解
(1)由
得-3 ∴函数的定义域是(-3,3). (2)由 得 ∴1 ∴函数y=log2(16-4x)+ 的定义域为(1,2). (3)依题意知 得x<1且x≠0, ∴定义域为(-∞,0)∪(0,1). 反思感悟 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时,被开方数非负. (3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1. 跟踪训练2 求下列函数的定义域: (1)f(x)=lg(x-2)+ ; (2)f(x)=log(x+1)(16-4x). 解 (1)要使函数有意义,需满足 解得x>2且x≠3, 所以函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞). (2)要使函数有意义,需满足 解得-1 所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,4). 三、对数函数模型的应用 例3 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案: 当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则超出部分按2log5(A+1)进行奖励.记奖金为y(单位: 万元),销售利润为x(单位: 万元). (1)写出奖金y关于销售利润x的解析式; (2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元? 解 (1)由题意知y= (2)由题意知1.5+2log5(x-9)=5.5, 即log5(x-9)=2, ∴x-9=52,解得x=34. ∴老江的销售利润是34万元. 反思感悟 对数函数应用题的解题思路 (1)依题意,找出或建立数学模型. (2)依实际情况确定解析式中的参数. (3)依题设数据解决数学问题. (4)得出结论. 跟踪训练3 某种动物的数量y(单位: 只)与时间x(单位: 年)的函数关系式为y=alog2(x+1),若这种动物第1年有100只,则第7年它们的数量为( ) A.300只B.400只 C.500只D.600只 答案 A 解析 由题意,知100=alog2(1+1),得a=100, 则当x=7时,y=100log2(7+1)=100×3=300. 1.下列函数是对数函数的是( ) A.y=log2xB.y=ln(x+1) C.y=logxeD.y=logxx 答案 A 2.函数f(x)=log2(x-1)的定义域是( ) A.[1,+∞)B.(1,+∞) C.(-∞,1)D.(-∞,1] 答案 B 3.对数函数的图象过点M(125,3),则此对数函数的解析式为( ) A.y=log5xB.y= C.y= D.y=log3x 答案 A 解析 设函数解析式为y=logax(a>0,且a≠1).由于对数函数的图象过点M(125,3), 所以3=loga125,得a=5. 所以对数函数的解析式为y=log5x. 4.对数函数f(x)过点(9,2),则f =________. 答案 -1 解析 设f(x)=logax(a>0且a≠1),loga9=2, ∴a2=9,∴a=3(舍a=-3), ∴f(x)=log3x,∴f =log3 =-1. 5.函数y=ln(3-x)+ 的定义域为________. 答案 [1,3) 解析 由 解得1≤x<3, 则函数的定义域为[1,3). 1.知识清单: (1)对数函数的概念和定义域. (2)对数函数模型的简单应用. 2.方法归纳: 待定系数法. 3.常见误区: 易忽视对数函数底数有限制条件. 1.给出下列函数: ①y= ;②y=log3(x-1);③y=log(x+1)x; ④y=logex. 其中是对数函数的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 答案 A 解析 ①②不是对数函数,因为对数的真数不是仅有自变量x;③不是对数函数,因为对数的底数不是常数;④是对数函数. 2.已知函数f(x)= 的定义域为M,g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则M∩N等于( ) A.{x|x>-1}B.{x|x<1} C.{x|-1 答案 C 解析 ∵M={x|1-x>0}={x|x<1}, N={x|1+x>0}={x|x>-1}, ∴M∩N={x|-1 3.与函数y=10lg(x-1)相等的函数是( ) A.y= 2B.y=|x-1| C.y=x-1D.y= 答案 A 解析 y=10lg(x-1)=x-1(x>1), 而y= 2=x-1(x>1). 4.函数y= 的定义域为( ) A.(-∞,2)B.(2,+∞) C.(2,3)∪(3,+∞)D.(2,4)∪(4,+∞) 答案 C 解析 要使函数有意义,则 解得x>2且x≠3. 5.设函数f(x)= 则f(f(10))的值为( ) A.lg101B.1C.2D.0 答案 C 解析 f(f(10))=f(lg10)=f (1)=12+1=2. 6.函数f(x)=logax+a2-2a-3为对数函数,则a=________. 答案 3 解析 依题意有 解得a=3. 7.函数y= 的定义域是 ,则a=________. 答案 2 解析 由y= 知,3x-a>0,即x> . ∴ = ,即a=2. 8.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额为x万元时,奖励y万元.若公司拟定的奖励方案为y=2log4x-2,某业务员要得到5万元奖励,则他的销售额应为________万元. 答案 128 解析 由题意得5=2log4x-2, 即7=log2x,得x=128. 9.求下列函数的定义域: (1)y=log5(1-x); (2)y=log(3x-1)5; (3)y= . 解 (1)要使函数式有意义,需1-x>0,解得x<1, 所以函数y=log5(1-x)的定义域是{x|x<1}. (2)要使函数式有意义,需 解得x> ,且x≠ , 所以函数y=log(3x-1)5的定义域是 . (3)要使函数式有意义,需 解得x<4,且x≠3, 所以函数y= 的定义域是{x|x<4,且x≠3}. 10.20世纪70年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lgA-lgA0.其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅. (1)假设在一次地震中,一个距离震中1000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.002,计算这次地震的震级; (2)5级地震给人的震感已比较明显,我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍? 解 (1)M=lgA-lgA0=lg =lg =lg104=4. 即这次地震的震级为4级. (2)由题意得 所以lgA8-lgA5=3, 即lg =3. 所以 =103=1000. 即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍. 11.函数y= ln(1-x)的定义域为( ) A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1] 答案 B 解析 由 得0≤x<1. 12.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为180只,则15年后它们发展到( ) A.300只B.400只C.600只D.720只 答案 D 解析 将x=1,y=180代入y=alog2(x+1)得, 180=alog2(1+1),解得a=180, 所以x=15时,y=180log2(15+1)=720. 13.若函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数a=________. 答案 1 解析 由a2-a+1=1,解得a=0或a=1. 又底数a+1>0,且a+1≠1,所以a=1. 14.函数f(x)=lg 的定义域为R,则实数k的取值范围是________. 答案 [0,3) 解析 依题意,2kx2-kx+ >0的解集为R, 即不等式2kx2-kx+ >0恒成立, 当k=0时, >0恒成立,∴k=0满足条件. 当k≠0时,则 解得0 综上,k的取值范围是[0,3). 15.函数f(x)=log(x-1)(3-x)的定义域为( ) A.(1,2)B.(2,3) C.(1,2)∪(2,3)D.(1,3) 答案 C 解析 由题意知 解得1 故f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3). 16.已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,且a≠1).当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围. 解 ∵a>0且a≠1,设t(x)=3-ax, 则t(x)=3-ax为减函数, 当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a. ∵当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义, 即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立. ∴3-2a>0,∴a< . 又a>0且a≠1,∴0 , ∴实数a的取值范围为(0,1)∪ .
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