中学联盟河北省五个一名校联盟届高三下学期第一次诊断考试数学理.docx
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中学联盟河北省五个一名校联盟届高三下学期第一次诊断考试数学理
河北省“五个一名校联盟”2019届高三第一次诊断考试
数学(理科)试题2019.2
(满分:
150分,测试时间:
120分钟)
第I卷(选择题共60分)
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
1.i是虚数单位,z=
4i1-i
则|z|=
2
2
A2B2C4D4
2.集合A={x|2lgx<1},B={x|x2-9≤0},则AB=
A[-3,3]
B(0,10)C(0,3]D⎡-3,10)
⎣
3.已知向量a
=2,b=1,a(a-2b)=2,则a与b的夹角为
A30o
B
60o
C
90o
D150o
4.如图所示的图形是弧三角形,又叫莱洛三角形,它是分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点,则此点取自
等边三角形内的概率是
3
2π-3
3
2π-23
3
π-3
3
4π-23
ABCD
5.已知圆x2+y2=r2(r>0)与抛物线y2=2x交于A,B两点,与抛物线的准线交于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则r等于
A2
2
6.函数y=
BC5D
2
5
2
1
的图象大致为
x-ln(x+1)
ABCD
7.若p>1,0 ⎛m⎫p n Aç⎪>1 ⎝⎭ B p-m p-nn Cm-p D logmp>lognp 8. 已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则剩余部分的表面积为 A2 3 C9+3 2 B 3+ 3 3 D2 9.函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x-3),当-2≤x<0时,f(x)=(x+1)2;当0≤x<1 时,f(x)=-2x+1,则f (1)+f (2)+f(3)++f(2018)= A671B673C1343D1345 10.如图所示,直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,则球的体积为 A1605πB642π 33 C963πD2562π 33 11. 函数f(x)=sinωx+3cosωx(ω>0)与函数y=g(x)的图像关于点⎛π,0⎫对称,且 ç3⎪ ⎝⎭ ) g(x)=f(x-π,则ω的最小值等于 3 A1B2C3D4 12.已知函数f(x)=ex(x-1),若关于x的方程|f(x)-a|+|f(x)-a-1|=1有且仅有两个不同的整数解,则实数a的取值范围是 A[-2-1,-3 ee2 -1) B[-2,-3) ee2 C[-1,-2] e D[0,e2] 第II卷(共90分) 本卷包括必考题和选考题两部分。 第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答; 第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题: 本题共4小题,每小题5分。 ⎧x≥1 13. ⎨ 若x,y满足⎪y≥-1,则z=x+2y的最小值为 ⎩ ⎪x+y≥3 14.在⎛1-1⎫(+1) x 5 的展开式中常数项等于 çx⎪ ⎝⎭ 2y2FF 15.已知双曲线C: x-=1的左右焦点分别为1、2,点A在双曲线上,点M的坐标为 3 ⎛2,0⎫,且M到直线AF,AF的距离相等,则|AF|= ç3⎪121 ⎝⎭ 16.在∆ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,D是AB的中点,若CD=1且 (a-1b)sinA=(c+b)(sinC-sinB),则∆ABC面积的最大值是 2 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分) 已知数列{a}满足a+a2+a3++an =2n+1-2 (n∈N*),b=loga n1222 2n-1 n4n (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; ⎧1⎫ (Ⅱ)求数列的前n项和T. ⎨bb⎬n ⎩nn+1⎭ 18.(本小题满分12分) 《山东省高考改革试点方案》规定: 从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;2020 年开始,高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目 的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩. 某校高一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169). (Ⅰ)求物理原始成绩在区间(47,86)的人数; (Ⅱ)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数,求X的分布列和数学期望. (附: 若随机变量ξN(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.682, P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)=0.997) 19.(本小题满分12分) 如图,在四面体ABCD中,E,F分别是线段AD,BD的中点,∠ABD=∠BCD=90o, 2 EC=,AB=BD=2,直线EC与平面ABC所成的角等于30o. (Ⅰ)证明: 平面EFC⊥平面BCD; (Ⅱ)求二面角A-CE-B的余弦值. 20.(本小题满分12分) 2 椭圆E: x a2 y2 + 5 =1(a>b>0)的离心率是 b23 ,过点 P(0,1)做斜率为k的直线l,椭圆E与直线l交于A,B两点,当直线l垂直于y轴时 3 |AB|=3. (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)当k变化时,在x轴上是否存在点M(m,0),使得∆AMB是以AB为底的等腰三角形,若存在求出m的取值范围,若不存在说明理由. 21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=x2+ax+2lnx (a为常数) (Ⅰ)若f(x)是定义域上的单调函数,求a的取值范围; (Ⅱ)若f(x)存在两个极值点x,x,且|x-x|≤3,求|f(x)-f(x)|的最大值. 1212212 请考生在22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分10分) ⎨y=tsinα 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为⎧x=tcosα,(t为参数),在以坐标原点为极 ⎩ 点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C1 : ρ=2cosθ,曲线C2 : ρ=cos(θ-π. ) 3 (Ⅰ)求C2的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线l与曲线C1,C2分别相交于异于原点的点M,N,求|MN|的最大值. 23.(本小题满分10分) 已知f(x)=|x-1|+|ax+1|,g(x)=|x+1|+2 (Ⅰ)若a=1,求不等式f(x)<2的解集; 2 (Ⅱ)设关于x的不等式f(x)≤g(x)的解集为A,若集合(0,1]⊆A,求a的取值范围. 理科数学评分标准参考 一、选择题 1.B2.C3.B4.B5.C6.A7.D8.B9.D10.A11.D12.A 二、填空题 15 13.214.915.416. 5 三、解答题 17【解析】(Ⅰ)当n=1时,a1=2 当n≥2时由a1 +a2+a3++222 an 2n-1 =2n+1-3 a+a2+a3++an-1 =2n-3 1222 2n-2 两式相减得 an 2n-1 =2n,即a =22n-14分 nn n 且上式对于n=1时也成立.所以数列{a}的通项公式a=22n-1.……6分 (Ⅱ)因为b=log22n-1=2n-1,8分 n42 1=4 =2(1 -1)10分 bnbn+1 (2n-1)(2n+1)2n-12n+1 所以T=1+1++1 nbbbbbb 1223nn+1 =2[(1-1)+(1-1)++(1 -1)] =2(1- 1) 2n+1 3352n-12n+1 =4n2n+1 …………………………………………12分 18【解析】(Ⅰ)因为物理原始成绩ξN(60,132) 则P(47<ξ<86)=P(47<ξ<60)+P(60≤ξ<86) =0.682+0.954=0.8183分 22 所以物理原始成绩在(47,86)的人数为2000⨯0.818=1636(人)……5分 2 (Ⅱ)随机抽取1人,其成绩在区间[61,80]的概率为 5 所以随机抽取三人,则X可取0,1,2,3,且XB(3,2)7分 5 ⎛3⎫3272⎛3⎫254 P(X=0)==P(X=1)=C1⋅⋅= ç⎪125 3ç⎪ 5 5 ⎝⎭ 5⎝⎭ 125 ⎛2⎫2 336 ⎛2⎫38 P(X=2)=C2⋅⋅=P(X=3)== 3ç⎪ 5 5 ⎝⎭ ⎝⎭ 5125 ç⎪125 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 ……………………………10分 数学期望E(X)=3⨯2=612分 55 19【解析】(Ⅰ)在Rt∆BCD中,F是斜边BD的中点,所以FC=1BD=1. 2 2 因为E,F是AD,BD的中点,所以EF=1AB=1,且EC=, 2 所以EF2+FC2=EC2,EF⊥FC2分 又因为AB⊥BD,EF//AB,所以EF⊥BD,且BDFC=F,故EF⊥平面BCD 因为EF⊂平面EFC,所以平面EFC⊥平面BCD5分 (Ⅱ)方法一: 取AC中点M,则ME//CD 2 因为CE=1AD=,所以CD⊥AC. 2 又因为CD⊥BC,所以CD⊥平面ABC,故ME⊥平面ABC 因此∠ECM是直线EC与平面ABC所成的角 2 AC=2MC=2EC⋅cos30=6,所以CD=BC=8分 过点B作BN⊥AC于N,则BN⊥平面ACD, BN=AB⋅BC=23 AC3 过点B作BH⊥EC于H,连接HN, 则∠BHN为二面角A-CE-B的平面角10分 2 因为BE=BC=EC=, 所以BH= 3BE=6,HN==6 BH2-BN2 226 cos∠BHN=HN=1 BH3 1 因此二面角A-CE-B的余弦值为 3 …………………………………………12分 方法二: 如图所示,在平面BCD中,作x轴⊥BD,以B为坐标原点,BD,BA为y,z轴建立空间直角坐标系. 2 因为CD=BC=(同方法一,过程略) 则C(1,1,0),A(0,0,2),E(0,1,1)8分 所以CE=(-1,0,1),BE=(0,1,1),AE=(0,1,-1) 设平面ACE的法向量m=(x1,y1,z1) ⎧⎪=0 ⎧y-z=0 AEm 则⎨ 即⎨11 取x=1,得m=(1,1,1)10分 -x+z=01 ⎪⎩CEm=0 ⎩11 设平面BCE的法向量n=(x2,y2,z2) ⎧⎪=0 ⎧y+z=0 BEn 则⎨ 即⎨22 取x=1,得n=(1,-1,1) -x+z=02 ⎪⎩CEn=0⎩ 22 mn11 3⨯3 所以cos |m||n|3 1 因此二面角A-CE-B的余弦值为 3 …………………………………………12分 ⎛33⎫ 20【解析】(Ⅰ)由已知椭圆过点ç2,1⎪,可得 ⎝⎭ ⎧271 ⎪4a2+b2=1 ⎨ ⎪a2=b2+c2 5 c ⎪ ⎪= ,3分 ⎪⎩a3 2 2 解得a2=9,b2=4所以椭圆的E方程为x+y=15分 94 (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点C(x0,y0) ⎧y=kx+1 ⎪ ⎪ 由⎨x2+y2= ⎩94 消去y得(4+9k 1 2)x2 +18kx-27=0, 所以x =x1+x2= -9k, y=kx +1= 4 .…………………7分 0 当k≠0时, 24+9k2 004+9k2 设过点C且与l垂直的直线方程y=-1(x+ k 9k)+ 4+9k2 4 4+9k2 将M(m,0)代入得: m=- 5 4+9k9分 k 若k>0,则 4+9k≥24 kk ⨯9k=12, 若k<0,则4+9k=-[-4+(-9k)]≤2-4⨯(-9k)=-12 kkk 55 所以-≤m<0或0 1212 当k=0时,m=0 55 综上所述,存在点M满足条件,m取值范围是-≤m≤12分 1212 '22x2+ax+2 21【解析】(Ⅰ)f (x)=2x+a+= xx x∈(0,+∞) 设g(x)=2x2+ax+2,定义域为(0,+∞) 由二次函数图象性质可知,函数f(x)是单调函数等价于g(x)≥0恒成立,…2分 a⎧-a>0 所以-≤0或⎪4 ⎨ 4⎪⎩a2-16≤0 解得a≥-45分 12 (Ⅱ)由(I)函数f(x)的两个极值点x,x满足2x2+ax+2=0, a 所以x1⋅x2=1,x1+x2=-2 不妨设0 f(x)-f(x)=x2-x2+a(x-x)+2lnx1 x 121212 2 =x2-x2-2(x+x)(x-x)+2lnx1 x 121212 2 =x2-x2+2lnx1 x 21 2 2 =x2- 1-2lnx28分 x 2 2 2 令t=x2设函数h(t)=t-1-2lnt (t>1) 2t '12(t-1)2 因为h(t)=1+-=≥0, t2tt2 所以h(t)在(1,+∞)上为增函数10分 由x-x=x-1≤3,即2x2-3x -2≤0, x 2 12222 2 22 解得1 f(x)-f(x)≤h(4)=15-2ln4 124 所以f(x)-f(x)的最大值为15-2ln412分 124 3 π1 22【解析】(Ⅰ)极坐标方程ρ=cos(θ- )可化为ρ= 3 cosθ+ 22 sinθ………2分 3 等价于ρ2=1ρcosθ+ρsinθ, 22 将x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2代入, 所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-1x- y=05分 3 222 (Ⅱ)不妨设0≤α<π,点M,N的极坐标分别为(ρ1,α),(ρ2,α) 所以MN =ρ1-ρ2 π =2cosα-cos(α-)7分 3 =3cosα-3sinα 22 3 ) =sin(α-π 3 3 所以当α=5π时,MN取得最大值 x 2 6 .………………………………10分 1 23【解析】(Ⅰ)若a=,则x-1+ 2 +1<2, ⎧x≥1 ⎪ ⎧-2≤x<1 ⎪ ⎧x<-21 ⎪ 等价于⎨3x<2或⎨2-x<2 或⎨-3x<23分 ⎪⎩2 ⎪⎩2 4 ⎩⎪2 解得0 3 所以原不等式的解集为⎧x|0 ⎨3⎬ ⎩⎭ (Ⅱ)由题意可知,对于x∈(0,1],不等式x-1+ax+1≤ x+1+2恒成立 可化为1-x+ax+1≤x+3化简得ax+1≤2x+2………7分 所以-2x-3≤ax≤2x+1,即-2-3≤a≤2+1 xx 因为2+1≥3,-2-3≤-5所以-5≤a≤310分 xx
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