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图形变换专题训练有答案
图形变换专题训练
(编辑马铁汉)
、旋转
1、(上海市2019年4分)Rt△ABC中,已知/C=90°,/B=50°,点D在边BC上,B»2CD(如图).把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0vm<180)度后,如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,那么m=80°或120°.
2、(2019四川南充8分)在Rt△POQ中,OP=OQ=4,h是PQ中点,把一三
角尺的直角顶点放在点M处,以M为旋转中心,旋转三角尺,三角尺的两直角边与"POQ的
两直角边分别交于点AB,
(1)求证:
MA=MB
(2)连接AB探究:
在旋转三角尺的过程中,△AOB的周长是否
存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在。
请说明理由。
解:
(1)证明:
连接OM。
•/Rt△POC中,OP=OQ=4M是PQ的中点,
•••PQ=4\2,OM=PM=PQ=^2,/POM/BOM/P=4$。
2
•••/PMA/AMO/OMB/AMO:
/PMA/OMB
•△PMA^AOMB(ASA。
二MA=MB
(2)△AOB的周长存在最小值。
理由如下:
•/△PMAmOMB,:
PA=OB•OA+OB=OA+PA=OP=4
22222
令OA=xAB=y,贝Uy=x+(4-x)=2x-8x+16=2(x-2)+8>&
•••当x=2时y2有最小值8,从而y的最小值为22。
•△AOB的周长存在最小值,其最小值是4+22。
勾股定理,二次函
【分析考点】直角三角形斜边上的中线性质,全等三角形的判定和性质,数的最值。
变式一、(2008年江苏徐州10分)如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE
/ABC=ZDE「90°,/ED「30°
【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三.角.板.DEF绕点
E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q
【探究一】在旋转过程中,
(1)如图2,当CE时,EP与EQ满足怎样的数量关系?
并给出证明.
EA1
(2)如图3,当CE=2时EP与EQ满足怎样的数量关系?
,并说明理由.
EA
(3)根据你对
(1)、
(2)的探究结果,试写出当ce=时,EP与EQ满足的数量关系式为
m
EA
其中m的取值范围是(直接写出结论,不必证明)
【探究二】若CE=2,AC=30cm,连接PQ设AEPQ的面积为s(cm2),在旋转过程中:
EA
(1)S是否存在最大值或最小值?
若存在,求出最大值或最小值,若不存在,说明理由.
(2)随着S取不同的值,对应△EPQ的个数有哪些变化?
不出相应S值的取值范围.
棍据E是凶:
的中点和等腰直垢三角形的性质,得:
BE=CE,ZPBE=ZC,
■\ABEP^ACEQ(ASA)n
⑵EQ=2EPn理由如下:
作E5LLAB,EXXBC于曲丸
D
锦元逆字工作室绘制
二△址Ps△:
迂Q
即EQ=2EP°
⑶EQ=mEP,+歯・
求m取值范围方法:
当点E与点C重合时,m=QEQ=QEQ=mEP成立。
当点Q与点F重合时,如图,是EQ最大的情形。
设PE=k,贝UEQ=kmEA=j2k,CE=、2km,
AC=2k+2km二2k1m。
'/.'.DE=Viki1+miB
EQ
‘tnn/RDF-
km
mJ
■*IdlljlL~L/r—
DE
n/2k<1+mi
翻\1+3
ZEDF=30\
1探究二:
(1)存在。
设EQ=x则S=—x2。
4
•••当EQ=EF=DEtan30°=30汉坐=10薦时,面积最大,是75cni;
3
J22
当EQLBC即EQ=ECsin45=20汉—=10J2,面积最小,是50cm。
2
(2)当x=EB=510时,S=62.5cm2,
•••当50vSW62.5时,这样的三角形有2个;
当S=50或62.5VSW75时,这样的三角形有1个。
【券探究型,面动间题,旋转的性质,等BS直甬三甬形的性质,全等、相似■三角形的判定和性质,多边形內角和定理,二袂函数最值,分粪思想的应用.
变式二、(2019年江苏扬州12分)在厶ABC中,/BAC=90°,AB MNLBC交AC于点N动点P从点B出发沿射线BA以每秒,3厘米的速度运动.同时,动点 Q从点N出发沿射线NC运动,且始终保持MQLMP设运动时间为t秒(t=0). (1)△PB^AQNM相似吗? 以图1为例说明理由; (2)若/ABC=600,AB=43厘米. 1求动点Q的运动速度; 2设△APQ的面积为S(平方厘米),求S与t的函数关系式; (3)探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系,以图1为例说明理由. 團1 團2(备P團) 【答案】解;⑴A? BM^AQXM理由如下;如图h '/MQ丄、[? X1N±BC,/.^PMB-^1PMX=90°,匚Q'fN—_卩\八「 T丄PB\I+ZC=90^^QNM+ZC=90*,二二PBXI=一QNXIa ■\Apbm^Aqnm. (2)TNBAC=90°乙ABC=60°二BC=2AB=8、3cni 又•••MN垂直平分BC二BM=CM=4j3cm= ①设Q点的运动速度为vcm/s, 综上所述,Q点运动速度为1cm/s. ②TA3=4j? m,BC=S^/3cm,由勾股宦理可得,AC=12cmo ・"・ANfC一NC=12-8=4cm (3)PQ;=BP: -CQ: D理由如下: 如图3,延长QM至使、LD=\IQ,连结弓6? D. T\IQ丄、! ? ,\D=\IQ,.\PQ=PDd 又\AD=MQ,Z3iD=ZCMQ,BM=^L-■-A3DM^ACQM(SAS)n 二ED=CQ,ZMBD^ZC.-\BD/7aC. 又■/^BAC^QO8,.■._PBA=90°n 二在RtZ\PBD中,PD: =BP: -3D: WPQ: =BP: -CQ: . 【考点】动点问题,相似三角形的判定和性质,三角形内角和定理,线段垂直平分线的性质,列函数关系式,全等三角形的判定和性质,勾股定理。 3、(2019辽宁阜新12分) (1)如图,在厶ABC和厶ADE中,AB=ACAD=AE/BACKDAE=90. 1当点D在AC上时,如图1,线段BDCE有怎样的数量关系和位置关系? 直接写出你猜想 的结论;
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