用函数观点看方程组与不等式.docx

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用函数观点看方程组与不等式

学科：

数学

教学内容：

用函数观点看方程（组）与不等式

新课指南

1．知识与技能：

能通过函数图象获取信息，发展形象思维．

2．过程与方法：

经历猜想、发现、比较、归纳的过程，探究出解决问题的方法，用函数的观点看一元一次方程、二元一次方程组、不等式，发展学生的数学应用能力．

3．情感态度与价值观：

通过体会方程（组）、不等式与函数的关系，建立良好的知识联系，充分体会函数知识与方程（组）、不等式和相关几何知识的联系，培养学生用恰当的数学思想方法来解决问题，要理解数学知识来源于实际生活，又反过来服务于生活．

4．重点与难点：

重点是利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力，初步体会方程与函数的关系、函数与不等式的关系，建立良好的知识联系．难点是利用函数图象解决实际问题．

教材解读

数学与生活

一个有进水管与出水管的容器，单位时间内进出的水量都是一定的．设从某时刻开始的4分内只进水不出水，在随后的8分内既进水又出水，容器内的水量y（升）与时间x（分）之间的关系如图11－37所示．

（1）求0≤x≤4时,y随x变化的函数关系式；

（2）求4﹤x≤12时，y随x变化的函数关系式；

（3）每分进水、出水各多少升？

思考讨论从图象上可以看到，4分水量从0增加到20升，则每分进水：

20÷4=5（升），

则y随x变化的函数关系式是y=5x（0≤x≤4），也可以设为0≤x≤4，y随x变化的函数关系式是y=kx（k≠0），当x=4时，y=20，代入关系式即可求出k，进而求出函数关系式．由此我们发现，有些问题可以用方程来解答，也可以从函数的观点来解决，如问题

（1）.那么另外的两个问题你也会用上述方法解决吗？

知识详解

知识点1两条直线的交点

两个一次函数图象的交点表示点在两条直线上的横坐标相同，纵坐标也相同．例如：

求直线y＝x与y=3x-4的交点，就可以把两个二元一次方程组成方程组

解得

∴两条直线的交点坐标为（2，2）.那么，我们也可以在坐标系内画出这两条直线的图象，如图11－38所示，观察两条直线的交点，正是（2，2）．

知识点2利用一次函数解决实际问题

一次函数是刻画现实世界物质之间关系的最为简单的一个模型，其应用比比皆是，十分广泛．如天平、弹簧秤、杆秤，以及测量气压、血压、温度等有关仪器，它们都是应用一次函数的实例，这也是用函数的观点看待方程（组）与不等式等知识的实例．

探究交流

？

如图11－39所示，l甲，l乙分另表示甲、乙两．弹簧的长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg的物体，伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg的物体，伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的大小关系为（）

A．k甲＞k乙B．k甲=k乙

C．k甲﹤k乙D．不能确定

点拨从图象上观察到，l甲与横轴所夹锐角比l乙与横轴所夹锐角大，故k甲＞k乙，故选A项．

知识点3近似函数关系式

我们通常采用待定系数法来确定函数关系式，但实际生活中存在的数量关系错综复杂，在实践中得到的一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们之间是什么函数关系．因此需要根据经验分析，并进行近似计算，建立比较接近的函数关系进行研究．

例如：

某区2000年统计了该区男学生各年龄组的身高，相关数据如下表所示，求平均身高h（厘米）随年龄组n（岁）变化的近似函数关系式，

年龄组n/岁

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

男生平均身高h/厘米

1115.2

118.5

123.4

128.6

133.1

138.2

143.7

148.9

154.2

162.4

167.8

[分析]把这些数据所对应的点在坐标系中描出，如图11－40所示，我们发现，这些点大致在一条直线上，因此说h与n的关系接近于一次函数，可以用一条直线去尽可能地接近这些点，求出近似函数关系式，我们选择与直线比较近的点（8，118．5）和（15，154．2）．

解：

设近似函数关系式为h＝kn+b，将（8，118．5）和（5，154．2）代入得

∴

∴近似函数关系式为h=5．1n+77．7．

【说明】此题也可选择其他两点来确定近似函数关系式.

典例剖析

基础知识应用题

本节基础知识的应用主要包括：

（1）通过函数图象获取信息；

（2）利用函数图象解决实际问题．

例1如图11－41所示，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图象可知，快者的速度比慢者的速度每秒快（）

A．2．5米B．2米C．1．5米D．l米

[分析]由图象可知，OA表示正比例函数，经过点A（8，64）和原点O（0，0），BA表示一次函数，经过点A（8，64）和B（0，12）求出函数表达式，就能判断两者的速度大小．

该直线OA的表达式为s=v1t．

直线BA的表达式为s＝12+v2t．

将点（8，64）分别代入，得64=8v1，64=8v2+12．

∴v1=8，v2=6．5．

∴v1-v2＝8-6．5＝1．5（米／秒）．

故正确答案为C项．

小结一次函数在表示路程和时间的关系时，图象与横轴（时间）所夹的锐角越大，表明速度越大，反之，所夹锐角越小，表明速度越小，因此，也可由图象判断速度的快慢.

例2A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往张村和李庄，从A城运往张村、李庄的运费分别是20元／吨与25元/吨，从B城运往张村、李庄的运费分别为15元，／吨和22元／吨，现已知张村需要220吨，李庄需要280吨，如果某个个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运运费最少？

[分析]先求出总费用与选择的自变量之间的函数关系式，再求最小值．

解：

两城现有的化肥数量恰好等于两地所需的化肥数量．

设A城化肥运往张村x吨，则运往李庄（200-x）吨，B城化肥运往张村（220-x）吨，运往李庄［280-（200-x）］=80+x（吨）,总运费为y元，根据题意，得

y=20x+25（2O0-x）+15（220-x）+22（80+x）=2x+10060.

其中0≤x≤200，∴当x=0时，y最小值=10060．

此时200-x=200（吨），220-x=220（吨），80+x=80+0=80（吨）．

答：

最少运费的调运方案是从A城运往李庄200吨，从B城运往张村220吨，运往李庄80吨，此时最少运费为10060元．

综合应用题

本节知识的综合应用包括：

（l）与方程知识的综合应用；

（2）与代数知识的综合应用．

例3某工厂有甲、乙两条生产线先后投产，在乙生产线投产以前，甲生产线已生产了200吨成品，从乙生产线投产开始，甲、乙两条生产线每天分别生产20吨和30吨成品．

（1）分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量y（吨）与从乙开始投产后所用时间x（天）之间的函数关系式，并求出第几天结束后，甲、乙两生产线的总产量相同；

（2）在直角坐标系中作出上述两个函数在第一象限内的图象，观察图象分别指出第15天和第25天结束时，哪条生产线的总产量高．

[分析]此题涉及求解析式及函数与方程的关系，并利用一次函数的图象解决实际问题．

解：

（1）由题意可知，甲生产线生产时对应的函数关系式为y=20x+100．

乙生产线生产时对应的函数关系式为y=30x．

令20x+200=30x，解得x=20．

∴当第20天结束时，两条生产线的总产量相同．

（2）由

（1）可知，甲生产线所对应的函数图象一定经过两点A（0，200），B（0，600），乙生产线所对应的函数图象一定经过两点O（0，0）和B（20，600），画出两个函数图象如图11－42所示．

由图象可知，第15天结束时，甲生产线的总产量高；

第25天结束时，乙生产线的总产量高．

学生做一做随着教学手段不断更新，要求计算器进入课堂，某电子厂家经过市场调查，发现某种计算器的供应量x（万个）与单价y1（万元）之间的函数关系如图11－43所示，需求量x（万个）与单价y2（万元）之间的函数关系也如图11－43所示，如果你是这个电子工厂厂长，应计划生产这种计算器多少个，每个售价多少元，才能使市场达到供需平衡？

老师评一评本题涉及求一次函数解析式及方程的有关知识．

由题意设供应线y1=k1x+b1，需求线y2=k2x+b2,

由图象可知,y1的图象过点（0，80），（20，60）两点，

∴

∴

∴y1=-x+80.

由图象可知，y2的图象过点（0，60），（30，70）两点，

∴

∴

当供需平衡时，y1=y2.

∴

，∴x=15.

∴当x=15时，y1=y2=65.

∴生产这种计算器15万个，每1万个售价65万元（即每个售价65元）时，能使市场达到供需平衡．

探索与创新题

本题主要考查利用函数的观点来看待方程（组），利用函数图象解决实际问题．

例4（2003·黄冈）在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型性肺炎的抗生素．据临床观察：

如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（时）之间的关系近似地满足如图11-44所示的折线．

（1）写出注射药液后每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式及自变量的取值范围；

（2）据临床观察，每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的，如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？

这个有效时间有多长？

（3）假设某病人一天中第一次注射药液是早晨6点，问怎样安排此人从6：

00到20：

00注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好？

[分析]

（1）此图象是由两条线段组成的，利用待定系数法可分别求出这两条线段的函数关系式；

（2）从图中发现，当y=4时，在这两条线段上都有对应的时间t，这两个时间的差就是有效时间，而正比例函数中的对应时间就是控制病情有效时间的开始；（3）利用函数图象及病人体内的药液含量求出时间．

解：

（1）当0≤t≤1时，设y=k1t，则6＝k1·1，

∴h1=6，∴y=6t.

当1﹤t≤10时，设y=k2t+b，

∴

∴

∴y=-

.

∴y与x之间的函数关系式是

y=

（2）当0≤t≤1时，令y=4，即6t=4，∴t=

；

当1﹤t≤10时，令y=4，即-

t+

=4,∴t=4.

∴注射药液

小时后开始有效，有效时间长为4-

（时）.

（3）设第二次注射药液的时间是t1小时后，

则-

t+

=4,∴t1=4（时）.

∴第二次注射药液的时间是10：

00.

设第三次注射药液的时间是在第一次注射药液t2小时后，此时体内的含药量是第一次注射药液的含药量与第二次注射药液的含药量之和,

∴-

t2+

（t2-4）+

=4,∴t2=9（时）.

∴第三次注射药液的时间是15：

00.

设第四次注射药液的时间是在第一次注射药液t3小时后，此时体内不再含有第一次注射的药液（∵t﹥10），体内的含药量是第二次注射药液的含药量与第三次注射药液的含药量之和，

∴-

（t3-4）+

（t3-9）+

=4,

∴t3=13

（时）.

∴第四次注射药液的时间是19：

30．

∴安排此人注射药液的时间分别是6：

00，10：

00，15：

00，19：

30．这样安排才能使病人的治疗效果最好．

中考展望

中考命题总结与展望

本节是一次函数的实际应用，在近几年中考中占有很大比重，许多省市的中考题都有这部分内容，尤其是用函数的观点看待方程（组）、不等式和几何知识等，利用一次函数解决实际问题，题型多样化，填空、选择、解答、综合题都有，主要考查学生应用函数知识分析、解决问题的能力．

中考试题预测

例1（中考预测题）如图11－45所示，弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间是一次函数关系，则该弹簧挂9km物体时的长度为cm．

[分析]设y＝kx+b，把点（5，4．5），（20，22）代入解析式可得

∴

∴y=

x-

.

∴当x=9时，y=

×9-

=

（cm）.

∴当弹簧挂9kg物体时，弹簧总长为

cm.

答案：

例2（2004·南通）小刚为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是9瓦（即0．009千瓦）的节能灯，售价49元／盏，另一种是40瓦（即0．04千瓦）的白炽灯，售价18元／盏，假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是每千瓦·时0．5元．

（1）设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯和一盏白炽灯的费用y（元）；（注：

费用=灯的售价+电费）

（2）小刚想在这两种灯中选购一盏；

①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？

②分别画出两个函数的图象，利用函数图象判断：

a.照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低；

b．照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低．

（3）小刚想在这两种灯中选购两盏．

假定照明时间是3000小时，使用寿命就是2800小时，请你帮助他设计一种费用最低的选灯方案，并说明理由．

[分析]本题关键求出照明时间x（时）与费用y（元）之间的函数关系.

解：

（1）选用一种节能灯，费用y（元）与照明时间x（时）之间的函数关系式是

y=49+0．009×O．5x＝0.0045x+49（0≤x≤2800）；

选用一种白炽灯，费用y（元）与时间x（时）之间的函数关系式是

y=18+0．04×O．5x＝O．02x+18（0≤x≤2800）．

（2）①由题意可知，0．0045x+49=0．02x+18，∴x＝2000．

∴照明时间在2000小时时，两种灯任选其一即可．

②画出这两个一次函数的图象如图11－46所示．由图象可知，

a.当照明范围是0≤x≤2000时，使用白炽灯费用低．

b．当照明范围是2000﹤x﹤2800时，使用节能灯费用低．

（3）分下列三种情况讨论：

①如果选用两盏节能灯，则总费用是49×2+0．0045×3000=111．5（元）.

②如果选用两盏白炽灯，则总费用是18×2十O．O2×3000=96（元）

③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由

（2）可知，当照明时间大于2000小时时，用节能灯比用白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时时，费用最低，总费用是49+18+O．O045×280O+0．02×（3000-280O）=83．6（元）．

综上所述，应各选用一盏灯，且节能灯使用2800小时，白炽灯使用200小时，费用最低．

【说明】（3）问中③也可设节能灯用t1小时，则白炽灯用（3000-t1）小时，总费用为y=49+0.0045t1+18+0.02（3000-t1）=127-0.0155t1（0≤t1≤2800）.

∵-0.0155﹤0，∴y随t1的增大而减小.

∴当t1=2800时，y最小值=127-0.0155×2800=83.6（元）.

此时，节能灯用2800小时，白炽灯用200小时，所以，应采用③，两盏灯各买1盏，且节能灯用2800小时，白炽灯用200小时，此时费用最低.

例3（2004·四川）某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件，可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．

（1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；

（2）若要使车间每天所获利润不低于24000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？

[分析]本题主要考查用函数观点来解决实际问题，关键是正确找出y与x之间的函数关系式．

解：

（1）此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式是

y=6x·150+5（20-x）·260=26000-400x（0≤x≤20）．

（2）当y≥24000时，有26000-400x≥24000，

∴x≤5，

∴20-x≥15．

∴要想使每天车间所获利润不低于24000元，至少要派15名工人去制造乙种零件才合适。

例4（2004·河北）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台收割机派往A，B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表．

每台甲型收割机的租金

每台乙型收割机的租金

A地区

1800元

1600元

B地区

1600元

1200元

（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；

（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议．

[分析]先求出总租金y（元）与x（台）之间的函数关系式．

解：

租赁公司收割机总数等于A，B两地区所需收割机总和．

（1）派往A地区x台乙型联合收割机，则派往A地区（30-x）台甲型联合收割机，派往B地区（30-x）台乙型联合收割机，派往B地区20-（30-x）=x-10（台）甲型联合收割机．

∴y=1600x+120O（30-x）+180O（30-x）+1600（x-10）＝20Ox+74000．

自变量x的取值范围是10≤x≤30（x是正整数），

（2）由题意得20Ox+74000≥7960O，∴x≥28．

∴x＝28，29，30．

∴有3种不同分配方案．

①当x=28时，即派往A地区甲型联合收割机2台，乙型联合收割机28台，派往B地区甲型联合收割机18台，乙型联合收割机2台．

②当x=29时，即派往A地区甲型联合收割机1台，乙型联合收割机29台，派往B地区甲型联合收割机19台，乙型联合收割机1台．

③当x=30时，即30台乙型联合收割机全部派往A地区，20台甲型联合收割机全部派往B地区．

（3）由于一次函数y=200x+74000的y值是随着x的增大而增大的，所以，当x=30时，y取最大值，如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x=30时，y＝6000+74000=80000（元）．

建议农机公司将30台乙型联合收割机全部派往A地区，20台甲型联合收割机全部派往B地区，可使公司获得的租金最高．

例5（2004·福州）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则（）

A．y随x的增大而减小

B．y随x的增大而增大

C．当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小

D．不论x如何变化，y不变

[分析]本题主要考查正比例函数的性质，∵图象经过第二、四象限，∴k＜0，∴y随x增大而减小，因此，正确答案为A项．

例4（2004·昆明）我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务．甲厂的优惠条件是：

按每份定价1．5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：

每份定价1．5元的价格不变，而制版费900元六折优惠．且甲、乙两厂都规定：

一次印刷数至少是500份．

（1）分别求两个印刷厂收费y（元）与印刷数量x（份）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（2）如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？

如果这个中学要印制2000份录取通知书，那么应选择哪个厂？

需要多少费用？

解：

（1）y甲=1．5×80％·x+900=1．2x+900（x≥500）；

y乙=1．5x+900×60％=1．5x+540（x≥500）．

（2）①当y甲＝y乙时，两个印刷厂费用相等，有

1．2x+90O=1．5x+54O，

∴x=1200．

∴当印刷数量x=1200份时，两个印刷厂费用一样，二者任选其一.

②当y甲﹤y乙时，选择甲印刷厂费用少，比较合算，有

1．2x+900﹤1．5x+540，

∴x＞1200．

∴当印刷数量x＞1200份时，选择甲印刷厂费用少，合算．

③当y甲＞y乙时，选择乙印刷厂费用少，比较合算，有

1．2x+900＞1．5x+540，

∴500≤x﹤1200

∴当节刷数量500份≤x≤1200份时，选择乙印刷厂费用少，比较合算.

由②可知，当印制2000份时，选择甲印刷厂比较合算．

所需费用y甲=1．2×2000+900=3300（元）．

∴如果要印制2000份录取通知书，应选择甲印刷厂，需要3300元．

例7（2004·福州）如图11－47所示，l1，l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用=灯的售价+电费，单位：

元）与照明时间x（时）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．

（1）根据图象分别求出l1，l2的函数关系式；

（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？

（3）小亮房间计划照明用2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法．（直接写出答案，不必写出解答过程）

[分析]首先求出l1，l2的函数关系式．

解：

（1）设直线l1的解析式为y1=k1x+2，

由图象可得17=500k1+2，∴k1=0．03．

∴y1=0.03x+2（0≤x≤2000）.

设直线l2的解析式为y2=k2x+20，

由图象可得26=500k2+20，∴k2=0.012.

∴y2=0.012x+20（0≤x﹤2000）

（2）当y1=y2时，两种灯的费用相等，即

0．03x+2＝O．012x+2O，∴x＝1000．

∴当照明时间为1000小时时，两种灯的费用相等．

（3）最省钱的设计方案是节能灯使用2000小时，白炽灯使用500小时，设计理由如下：

设白炽灯使用x1小时，则节能灯使用（250O-x1）小时，则费用

y=0．03x1+2+0．012（2500-x1）+20=0．018x1+52（500≤x1≤200O）．

∵0．018＞0，∴y随x1的增大而增大．

∴当x1=500时，y最小值=0．018×500+52＝61（元）．

因此，最省钱的设计方案是：

白炽灯使用500小时，节能灯使用2000小时．

例4（2004·南宁）如图11－48所示，l1反映了某公司的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司已经赢利（收入大于成本）时，销售量（）．

A．小于3吨B．大于3吨

C．小于4吨D．大于4吨

[分析]由图象可知，

l1的关系式为y1=1000x；

l2的关系式为y2=500x+2000．

当公司赢利时，有y1＞y2，

∴1000x＞500x+2000，∴x＞4．

∴当销售量大于4吨时，该公司赢利，故正确答案为D项．

例9（2004·山东）已知某山区的平均气温与该山的海拔高度的关系见下表．

海拨高度/米

0

100

200

300

400

…

平均气温/℃

24

23．4

22．8

22．2

21．6

…

（1）若海拔高度用x（米）表示，平均气温用y（℃）表示，试写出y与x之间的函数关系式；

（2）若某种植物适宜生长在18～21℃（包括18℃，也包括21℃）的山区，请问该植物适宜种植在海拔为多少米的山区？

[分析]关键是找到y与x之间的函数关系式．由图表可以发现：

海拔每升高100米，平均气温下降0．6℃，