空间向量与立体几何典型例题.docx
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空间向量与立体几何典型例题
空间向量与立体几何典型例题
一、选择题:
1.(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC
内的射影为△ABC的中心,则
AB与底面ABC所成角的正弦值等于(C)
1
A.
1
3
B.
2
3
C.
3
3
D.
2
3
1.解:
C.由题意知三棱锥A1ABC为正四面体,设棱长为a,则AB13a,棱柱的高
2362222
AOaAOa(a)a(即点B1到底面ABC的距离),故AB1与
1
323
AO
底面ABC所成角的正弦值为1
AB
1
2
3
.
另解:
设
AB,AC,AA为空间向量的一组基底,AB,AC,AA1的两两间的夹角为
1
0
60
长度均为a,平面ABC的法向量为
11
OAAAABAC,AB1ABAA1
11
33
26
2
OAABa,OA,AB3
1111
33
则
AB与底面ABC所成角的正弦值为
1
OAAB
11
AOAB
11
2
3
.
二、填空题:
1.(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角
CABD的余弦值为
3
3
,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余
弦值等于
1
6
.
1
答案:
.设AB2,作CO面ABDE,
6
OHAB,则CHAB,CHO为二面角CABD的平面角
CH3,OHCHcosCHO1,结合等边三角形ABC
与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥,则ANEMCH3
11
AN(ACAB),EMACAE,
22
C
M
N
A
Ho
BD
E
11
ANEM(ABAC)(ACAE)
22
1
2
z
1题图
(1)
故EM,AN所成角的余弦值
ANEM
ANEM
1
6
C
M
另解:
以O为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,
则点A(1,1,0),B(1,1,0),E(1,1,0),C(0,0,2),
N
A
Ho
E
y
BD
x1题图
(2)
112112
M(,,),N(,,),
222222
则
3121321
AN(,,),EM(,,),ANEM,ANEM3,
2222222
故EM,AN所成角的余弦值
ANEM
ANEM
1
6
.
三、解答题:
1.(2008安徽文)如图,在四棱锥OABCD中,底面ABCD四边长为1的菱形,
ABC,OA底面ABCD,OA2,M为OA的中点。
4
(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离。
O
1.方法一(综合法)M
(1)CD‖AB,
∴MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)
作APCD于P,连接MP
∵OA平面ABCD,∴CDMP
A
D
2
∵ADP,∴DP=
42
B
C
222∵,
MDMAAD
∴
DP1
cosMDP,MDCMDP
MD23
O
所以AB与MD所成角的大小为
3
M
(2)∵AB‖平面OCD∴,点A和点B到平面OCD的距离相等,
连接OP,过点A作AQOP于点Q,
∵∴
APCD,OACD,CD平面OAP,Q
DA
∵∴
AQ平面OAP,AQCD
又∵AQOP,∴AQ平面OCD,
线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
B
C
P
22222132
∵,
OPODDPOAADDP41
22
APDP
2
2
2
2
OAAP2
∴2,所以点B到平面OCD的距离为
AQ
OP323
2
2
3
方法二(向量法)作APCD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z
z
轴建立坐标系
222
A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,,0),D(,,0),O(0,0,2),M(0,0,1),
222
O
M
D
A
P
xy
C
B
(1)设AB与MD所成的角为,
∵
22
AB(1,0,0),MD(,,1)
22
ABMD
1
∴cos∴,,
23
ABMD
∴AB与MD所成角的大小为
3
(2)
∵
222
OP(0,,2),OD(,,2)
222
∴设平面OCD的法向量为n(x,y,z),则nOP0,nOD0
即
2
2
y2z0
22
xy2z022
取z2,解得n(0,4,2)
设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量n(0,4,2)上的投影的绝对值,
OBn
2
∵,∴.
OB(1,0,2)d
n3
所以点B到平面OCD的距离为
2
3
2.(2008安徽理)如图,在四棱锥OABCD中,底面ABCD四边长为1的菱形,
ABC,OA底面ABCD,OA2,M为OA的中点,N为BC的中点。
4
(Ⅰ)证明:
直线MN‖平面OCD;
O(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。
2.方法一(综合法)
(1)取OB中点E,连接ME,NE
M
ME‖AB,AB‖CD,ME‖CD
又NE‖OC,平面MNE‖平面OCD
A
D
MN‖平面OCD
(2)CD‖AB,
∴MDC为异面直线AB与MD所成的角(或
BN
O
C
其补角)
作APCD于P,连接MP
∵OA平面ABCD,∴CDMP
2
∵ADP,∴DP=
42
222
MDMAAD,
E
A
M
Q
D
PBNC
∴
DP1
cosMDP,MDCMDP
MD23
所以AB与MD所成角的大小为
3
(3)∵AB‖平面OCD∴,点A和点B到平面OCD的距离相等,连接OP,过点A作
AQOP于点Q,∵APCD,OACD,∴CD平面OAP,∴AQCD
又∵AQOP,∴AQ平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
22222132
∵,
OPODDPOAADDP41
22
APDP
2
2
2
2
OAAP2
2
∴AQ,所以点B到平面OCD的距离为
OP323
2
2
3
方法二(向量法)
作APCD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系
22222
A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,,0),D(,,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1,,0)
22244,
(1)
22222
MN(1,,1),OP(0,,2),OD(,,2)
44222
设平面OCD的法向量为n(x,y,z),则nOP0,nOD0
即
2
2
y2z0
z
O
22
xy2z0
22
取z2,解得n(0,4,2)
M
∵
MNn
22
(1,,1)(0,4,2)0
44
D
MN‖平面OCDA
(2)设AB与MD所成的角为
∵
22
AB(1,0,0),MD(,,1)
22
xPy
NC
B
ABMD
1
∴cos∴,,AB与MD所成角的大小为
23
ABMD
3
(3)设点B到平面OCD的交流为d,则d为OB在向量n(0,4,2)上的投影的绝对值,
由OB(1,0,2),得
d
OBn
n
2
3
.所以点B到平面OCD的距离为
2
3
3.(2008北京文)如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC
⊥AC.
(Ⅰ)求证:
PC⊥AB;
(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小.
3.解法一:
(Ⅰ)取AB中点D,连结PD,CD.
∵AP=BP,
∴PD⊥AB.
∵AC=BC.
∴CD⊥AB.
∵PD∩CD=D.
∴AB⊥平面PCD.
∵PC平面PCD,
∴PC⊥AB.
(Ⅱ)∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC,
∴PC⊥BC.
又∠ACB=90°,即AC⊥BC,
且AC∩PC=C,
∴AB=BP,
∴BE⊥AP.
∵EC是BE在平面PAC内的射影,
∴CE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
3
在△BCE中,∠BCE=90°,BC=2,BE=6
AB,
2
BC6
∴sin∠BEC=.
BE3
6
∴二面角B-AP-C的大小为aresin.
3解法二:
(Ⅰ)∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC.
∴PC⊥BC.
∵AC∩BC=C,
∴PC⊥平面ABC.
∵AB平面ABC,
∴PC⊥AB.
(Ⅱ)如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).
设P(0,0,t),
∵|PB|=|AB|=22,
∴t=2,P(0,0,2).
取AP中点E,连结BE,CE.
∵|AC|=|PC|,|AB|=|BP|,
∴CE⊥AP,BE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
∵E(0,1,1),EC(0,1,1),EB(2,1,1),
ECEB23
∴cos∠BEC=.
326
ECEB
3
∴二面角B-AP-C的大小为arccos.
3
4.(2008北京理)如图,在三棱锥PABC中,ACBC2,ACB90,
APBPAB,PCAC.
(Ⅰ)求证:
PCAB;
P
(Ⅱ)求二面角BAPC的大小;
(Ⅲ)求点C到平面APB的距离.
D
B
A
4.解法一:
(Ⅰ)取AB中点D,连结PD,CD.
APBP,
PDAB.
ACBC
,
CDAB.
PDCDD,
ABPCD平面.
PCPCD平面,
PCAB.
C
(Ⅱ)ACBC,APBP,
△APC≌△BPC.
P
又PCAC,
PCBC.
E
又ACB90,即ACBC,且ACPCC,
B
A
BC平面PAC.
取AP中点E.连结BE,CE.
ABBP,BEAP.
C
EC是BE在平面PAC内的射影,
CEAP.
BEC是二面角BAPC的平面角.
在△BCE中,BCE90,BC2,
3
BEAB6,
2
sinBEC
BC
BE
6
3
.
二面角BAPC的大小为arcsin
6
3
.
P
(Ⅲ)由(Ⅰ)知AB平面PCD,
平面APB平面PCD.
H
过C作CHPD,垂足为H.
平面APB平面PCDPD,
A
D
B
CH平面APB.
CH的长即为点C到平面APB的距离.
C
由(Ⅰ)知PCAB,又PCAC,且ABACA,
PC平面ABC.
CD平面ABC,
PCCD.
在Rt△PCD中,
1
CDAB2,
2
3
PDPB6,
2
222
PCPDCD.
CH
PCCD
PD
23
3
.
点C到平面APB的距离为
23
3
.
解法二:
(Ⅰ)ACBC,APBP,
△APC≌△BPC.又PCAC,
PCBC.
ACBCC,PC平面ABC.AB平面ABC,
PCAB.
(Ⅱ)如图,以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz.
则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).
设P(0,0,t).
PBAB22,
t2,P(0,0,2).
取AP中点E,连结BE,CE.
ACPC,ABBP,
CEAP,BEAP.
BEC是二面角BAPC的平面角.
y
A
E
P
C
z
H
x
B
E(0,11,),EC(0,1,1),EB(2,1,1),
cosBEC
ECEB
ECEB
23
3
26
.
二面角BAPC的大小为
arccos
3
3
.
(Ⅲ)ACBCPC,
C在平面APB内的射影为正△APB的中心H,且CH的长为点C到平面APB的距离.
如(Ⅱ)建立空间直角坐标系Cxyz.
BH2HE,
点H的坐标为
2,2,2.23
CH.
3333
点C到平面APB的距离为
23
3
.
5.(2008福建文)如图,在四棱锥中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD
为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥CD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。
(1)求证:
PO⊥平
面ABCD;
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;(3)求点A到平面PCD的距离
5.解:
如图,A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)
所以CD(1,1,0),PB(1,1,1)
COSPB,CD
PBCD
PBCD
6
3
所以异面直线所成的角的余弦值为:
6
3
(2)设平面PCD的法向量为n(x,y,z),CP(1,0,1),CD(1,1,0)
nCP
nCD
0
0
,所以
xz
xy
0
0
;
令x=1,则y=z=1,所以n(1,1,1)又AC(1,1,0)
则,点A到平面PCD的距离为:
d
nAC
n
23
3
6.(2008福建理)如图,在四棱锥P-ABCD中,则面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=2,
底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:
PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PD与CD所成角的大小;
(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为
3
2
?
若存在,求出
AQ
QD
的值;若不存在,请说明理由.
6.本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识,
考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.
解法一:
(Ⅰ)证明:
在△PAD中PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,
PO平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD.
(Ⅱ)连结BO,在直角梯形ABCD中、BC∥AD,AD=2AB=2BC,
有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形,
所以OB∥DC.
由(Ⅰ)知,PO⊥OB,∠PBO为锐角,
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中,AB=1,AO=1,
所以OB=2,
在Rt△POA中,因为AP=2,AO=1,所以OP=1,
在Rt△PBO中,tan∠PBO=
PG
BC
122
PBOarctan.
22
2
所以异面直线PB与CD所成的角是
arctan
2
2
.
(Ⅲ)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为
3
2
.
设QD=x,则
1
Sx,由(Ⅱ)得CD=OB=2,
DQC
2
在Rt△POC中,
222,
PCOCOP
所以PC=CD=DP,
S
PCD
33
2
(2),
42
由Vp-DQC=VQ-PCD,得2,所以存在点Q满足题意,此时
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
AQ
QD
1
3
.
(Ⅱ)以O为坐标原点,OC、OD、OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直
角坐标系O-xyz,依题意,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
所以CD=(1,1,0),PB=(,11,1).
所以异面直线PB与CD所成的角是arccos
6
3
,
(Ⅲ)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为
由(Ⅱ)知CP(1,0,1),CD(1,1,0).
设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).
3
2
,
则
nCP
nCD
0,
0,
所以
xz
00
xy
00
0,
0,
即
xyz,
000
取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
设Q(0,y,0)(1y1),CQ(1,y,0),由
CQn
n
3
2
,得
1y3
2
3
解
y=-
1
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