三角函数实际应用题答案解析版本.docx

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三角函数实际应用题答案解析版本

三角函数的实际应用

知识：

直角三角形中其他重要概念

⑴仰角与俯角：

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线

方的叫做俯角．如图⑴．

⑵坡角与坡度：

坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为ih，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则ihtan．坡度越大，坡ll面就越陡．如图⑵．

⑶方向角（或方位角）：

方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东

西）××度.如图⑶．

2.解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：

⑴分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；

⑵找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；

⑶根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；

⑷按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位

3.0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值（重要）

三角函数

0°

30°

45°

60°

90°

sin

0

1

2

3

1

2

2

2

cos

1

3

2

2

2

1

2

0

tan

0

3

3

1

3

-

cot

-

3

1

3

3

0

典型例题

类型一.所求线段由两段和差组成。

例题1.（2018成都）由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛C位于它的北偏东37方向.如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的

长.（参考数据：

sin70

0.94，cos700.34，tan70

2.75，sin370.6，

cos370.80，

tan37

0.75）

.解：

由题知：

ACD

70，

BCD37，AC

80.

在RtACD中，

cosACDCD

CD

，∴0.34，∴

CD

27.2（

海里）.

AC

80

在RtBCD中，

tanBCDBD

BD

，∴0.75，∴

BD

20.4

（海里）.

CD

27.2

答：

还需要航行的距离BD的长为20.4海里.

变式1.为了减轻二环高架上汽车的噪音污染，成都市政府计划在高架上的一些路段的护栏上方增加隔音屏．如图，工程人员在高架上的车道M处测得某居民楼顶的仰角∠ABC的度数是20°，仪器BM的高是0.8m，点M到护栏的距离MD的长为11m，求需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离ED的长（结果保留到0.1m，参考数据：

sin20°≈0.34，cos20°

≈0.94，tan20°≈0.36）

解：

由题意：

CD＝BM＝0.8m，BC＝MD＝11m，

在Rt△ECB中，EC＝BC?

tan20°＝11×0.36≈3.96（m），

∴ED＝CD+EC＝3.96+0.8≈4.8（m），

ED的长4.8m

答：

需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离

2.如图，登山缆车从点A出发，途径点B后到达终点C。

其中AB段与BC段的运行路程为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30，BC段的运行路线与水平面的夹角为42，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离。

（参考数据：

sin420.67，cos420.74，tan420.90）

答案：

234米

3.（成华二诊）如图，大楼沿右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的

顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30，测得大楼顶端A的仰角为45（点B,C,E在同一水平直线上）。

已知AB80m，DE10m，求障碍物B,C两点间的距离。

（结果精确到0.1m，参考数据：

21.414，31.732）

解：

如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．

则DE＝BF＝CH＝10m，

在直角△ADF中，∵AF＝80m﹣10m＝70m，∠ADF＝45°，

∴DF＝AF＝70m．

在直角△CDE中，∵DE＝10m，∠DCE＝30°，

CE＝

∴BC＝BE﹣CE＝70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．

答：

障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．

类型二：

辅助线技巧

例题1（2017成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行。

如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60方向行驶4千米至B地，再沿

北偏东45方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求

B,C两地的距离。

解：

过B作BD⊥AC于点D．

在Rt△ABD中，AD=AB?

cos∠BAD=4cos60°=4

BD=AB?

sin∠BAD=4×=2（千米），

∵△BCD中，∠CBD=4°5，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴CD=BD=2（千米），

∴BC=BD=2（千米）．答：

B，C两地的距离是2千米．

变式1如图，南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至海面B处时，测得该岛位于正北方向2013海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45方向上，A

由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°．

设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，在Rt△ABD中，可得BD＝x，又∵BC＝20（1+），CD+BD＝BC，

即x+x＝20（1+），

解得：

x＝20，

∴AC＝x＝20（海里）．

答：

A、C之间的距离为20海里．

2.（2017武侯二诊）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，CAB45，CBA30，求隧道AB的长。

解：

过点C作CD⊥AB于D，

∵BC＝800m，∠CBA＝30°，

∴在Rt△BCD中，CD＝BC＝400m，BD＝BC?

cos30°＝800×＝400≈693（m），

∵∠CAB＝54°，

在Rt△ACD中，AD＝≈≈231（m），

∴AB＝AD+BD≈693+231≈924（m）．

答：

隧道AB的长为924m．

3.渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B处.在B处看见灯塔M在北偏东15方向，求此时灯塔M与渔船的距离北北

AB

BM=72

CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地

6米的B处安置高为1.5米的测角仪

CE的长

CE=4+3

变式1如图，某中学在主楼的顶部D和大门A的上方之间挂一些彩旗，经测量，大门距主楼的距离BC＝90m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面BE＝

∵BC＝45m，

∴EF＝45m，

∵∠DEF＝30°，∠DFE＝90°，

∴tan30°

∴，

∴，

解得，DE＝15，

∵EB＝m，

∴DC＝15＝16m，

即学校主楼的高度是16m；

（2）作AG∥BC交DC于点G，

∵BC＝AG＝45m，AB＝m，DC＝16m，

∴GC＝AB＝3m，

∴DG＝16﹣3＝13m，

∵∠AGD＝90°，

∴AD＝＝2m，

即大门上方A与主楼顶部D的距离是2m．

2如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂

AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为

2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的

角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？

（结果精确到0.1cm，参考数据：

≈1.732）

解：

由题意得：

AD⊥CE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA，

∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，

∴sin30°

∴CM＝15cm，

在直角三角形ABF中，sin60

解得：

BF＝20，

又∠ADC＝∠BMD＝∠BFD＝90

∴四边形BFDM为矩形，

∴MD＝BF，

∴CE＝CM+MD+DE＝CM+BF+ED＝15+20+2≈51.6cm．答：

此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．

3如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯的灯柱BC高度．

解：

如图，延长OD，BC交于点P．

∵∠ODC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝11米，CD＝2米，

∴在直角△CPD中，DP＝DC?

cos30°＝m，PC＝CD÷（sin30°）＝4米，

∵∠P＝∠P，∠PDC＝∠B＝90

∴△PDC∽△PBO，

∴BC＝PB﹣PC＝（11﹣4）米．

类型三.双直角三角形与方程思想

例题1.如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸

边取两点B,C,测得30,45，量得BC长为100米，求河的宽度（结果保留

根号）。

解答:

503+50

变式1如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直

行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为多少米？

（结果保留整数，测角仪忽略不计，2≈1.414，3≈1.732）

解：

如图，∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，

设AD＝xm，

在Rt△ACD中，

∵tan∠ACD＝CADD

∴BD＝BC+CD＝x+100，

在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝AD，BD

∴x＝33

x+100），

BC＝100m，

∴CD＝AD＝x，

∴x＝50（3+1≈137即山高AD为137米．

2.如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：

2=1.414，3=1.732）

3.为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪CD，测得塔顶A的仰角为42°，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB．（参

考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数）

解：

设AE＝x，

在Rt△ACE中，

在Rt△AFE中，

由题意得，CF＝CE﹣FE＝1.1x﹣0.55x＝12，

解得：

x＝，

故AB＝AE+BE＝+1.5≈23米．

答：

这个电视塔的高度AB为23米．

例题2（2014成都）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°。

（1）求∠BPQ的度数；

（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）。

备用数据：

31.7，21.4

30度，9米

变式1.如图：

某电信部门计划修建一条连结B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得

B、C两地的仰角分别为30、45，在B地测得C地的仰角为60，已知C地比A地高

200m，电缆BC要多少米？

（结果保留根号）

2.数学兴趣小组向利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m，经测量，得到其它

数据如图所示，其中∠CAH＝30°，∠DBH＝60°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH

的长（要求计算结果保留根号，不取近似值）

解：

延长CD交AH于点E，

设DE＝x，则BE＝

∵∠A＝30°，

＝

＝

∴x＝5﹣3，

∴GH＝EC＝5﹣1（m）

答：

GH的长为＝（5﹣1）m．

3某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．

（参考数据：

sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝

解：

在Rt△APN中，∠NAP＝45

∴PA＝PN，

设PA＝PN＝x，

∵∠MAP＝58

∴MP＝AP?

tan∠MAP＝1.6x，

∵∠MBP＝31°，AB＝5，

∴0.6＝，

∴x＝3，

∴MN＝MP﹣NP＝0.6x＝1.8（米），答：

广告牌的宽MN的长为1.8米．

课后练习：

1.（2016成都）在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动。

如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB1.5m，测得旗杆顶端D的仰角DBE32，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC20m，根据测量数据，求旗杆CD的高度。

（参考数据：

sin320.53，cos320.85，tan320.62）

2.如图，海面上以点A为中心的4海里内有暗礁，在海面上点B处有一艘海监船，欲到C处去执行任务，若∠ABC＝45°，∠ACB＝37°，B，C两点相距10海里，如果这艘海监船沿BC直接航行，会有触礁的危险吗？

请说明理由．

（参考数据：

sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

】解：

如果这艘海监船沿BC直接航行，不会有触礁的危险；理由如下：

作AM⊥BC于M，如图所示：

∵∠ABC＝45°，

∴△ABM是等腰直角三角形，

∴AM＝BM，设AM＝BM＝x海里，则CM＝10﹣x（海里），

在Rt△ACM中，＝tan∠ACB＝tan37°≈0.75，

∴如果这艘海监船沿BC直接航行，不会有触礁的危险．

3.某海域有A,B两个岛屿,B岛屿在A岛屿北偏西30°方向上,距A岛120海里,有一艘船从A岛出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B岛屿南偏东75°方向的C处,求出该船与B岛之间的距离CB的长（结果保留根号）.

4.一艘轮船位于灯塔P南偏西60方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行图中与灯塔P的最短距离。

（结果

保留根号）

5.如图，已知楼房AB高40米，铁塔CD塔基中心C到AB楼房房基B点的水平距离BC为

50米，从A望D的仰角为26.6°，求塔CD的高．（参考数据：

sin26.6°＝0.45，cos26.6°

＝0.89，tan26.6°＝0.50）

解：

过A作AE⊥CD于E，

则AE＝BC＝50米，AB＝CE＝40米，

∵在Rt△AED中，∠DAE＝26.6°，tan∠DAE＝，

∴DE＝AE×tan∠DAE＝50×tan26.6≈50×0.50＝25，

CD＝CE+DE＝40米+25米＝65米，即塔CD的高约为65米．

6.如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）

解：

过点B作BD⊥AC于点D，

∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，

∴∠ABD＝67°，

∴AD＝AB?

sin67°＝520×＝＝480km，

BD＝AB?

cos67°＝520×＝＝200km．

∵C地位于B地南偏东30°方向，

∴∠CBD＝30°，

＝

＝

∴CD＝BD?

tan30°＝200×

答：

A地到C地之间高铁线路的长为595km．

7.如图，一辆滴滴快车在笔直公路上由西向东行驶，行驶至A处时接到正东方B处乘客订单，但师傅发现油量不足，马上左拐30°，沿AC行驶1200米到达加油站C处加油，加油用时5分钟，加油后再沿CB行驶1000米到B处接到乘客，假设滴滴快车的平均速度是每分钟360米，其他情况忽略不计，滴滴快车让乘客多等了多少时间？

（结果保留整数≈1.414，≈1.732，≈2.236）

解：

如图作CH⊥AB于H．

在Rt△ACH中，AC＝1200，∠A＝30°，

∴AB＝1893，AC+BC＝2200，

8．（8分）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行

于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：

sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）

解答】解：

过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，

设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CHcot68°＝0.4x，

由AB＝49知x+0.4x＝49，

解得：

x＝35，

∵BE＝4，

∴EF＝BEsin68°＝3.72，

则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3.72≈66.7（cm），答：

点E到地面的距离约为66.7cm．