高三数学选择填空题压轴专题81 与数学文化相关的数学考题学生版.docx
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高三数学选择填空题压轴专题81与数学文化相关的数学考题学生版
高考数学选择填空题压轴专题
专题8.1与数学文化相关的数学考题
【方法综述】
关注学生数学文化的意识的养成,努力推进数学文化的教育,已经成为当今数学教师与改革的一个重要特征,在新课改的数学命题中,数学文化已经得到足够的重视,特别是在近几年的高考试题中已经开始有意识的进行尝试和引导,并出现了众多的经典试题,因而有必要将数学文化与数学知识相结合,选取典型样题深度解读,希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.
【解答策略】
类型一、取材数学游戏
游戏可以让数学更加好玩,在游戏中运用数学知识,或蕴含着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游戏,把数学游戏改编为高考试题,既不失数学型,又能增加了考题的趣味性,充分体现了素质教育与大众数学的理念.
【例1】(2020•绵阳模拟)小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:
3人同时随机等可能选择
手心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分,现3人共进行了4次游
戏,记小明4次游戏得分之和为x,则X的期望为( )
A.1B.2C.3D.4
【举一反三】
1.(2020•天河区二模)甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制(无平局),甲在每
局比赛中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的条件下,比赛进行了三局的概
率为( )
A.B.C.D.
2、五位同学围成一圈依次循环报数,规定:
①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;
②若报出的数是3的倍数,则报该数的同学需拍手一次.
已知甲同学第一个报数,当五位同学依次循环报到第100个数时,甲同学拍手的总次数为.
类型二、取材数学名著
如数学家的传记、数学演讲报告、数学讲义等,这些都是命制考题好的素材,从中选取一段有关的数学素材,突出索要考查的数学知识,在引导中学数学教学知能并重的同时,有意识地培养学生的数学素养.
【例2】(2020•邵阳一模)赵爽是我国汉代数学家、天文学家,他在注解《周髀算经》时,介绍了“勾股
圆方图”,亦称“赵爽弦图”,它被2002年国际数学家大会选定为会徽.“赵爽弦图”是以弦为边长得到的
正方形,该正方形由4个全等的直角三角形加上中间一个小正方形组成类比“赵爽弦图”,可类似地构造如
图所示的图形它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形设DF=2AF=2,
若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自三个全等三角形(阴影部分)的概率是( )
A.B.C.D.
【例3】(2020•天河区一模)中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上
是一根根同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如:
3可表示为“≡”,26可表
示为“=⊥”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1~9这9数字表示两位数的个
数为( )
A.13B.14C.15D.16
【举一反三】
1.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:
“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?
”意思是:
“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?
”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为,现将该金杖截成长度相等的10段,记第段的重量为,且,若,则()
A.4B.5C.6D.7
2.(2020•达州模拟)斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一,并为中国所特有.图一图二是斗拱实物
图,图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体.本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个小长
方体)组成.若棱台两底面面积分别是400cm2,900cm2,高为9cm,长方体形凹橹的体积为4300cm3,那
么这个斗的体积是( )
注:
台体体积公式是V=(S'++S)h.
A.5700cm3B.8100cm3C.10000cm3D.9000cm3
类型三、取材数学名题
数学名题具有非凡的魅力,它常常蕴涵深刻的数学内容、经典的数学方法或与一些数学大师相关联,数学名题能持续地是命制试题的重点取材之一.
【例4】(2020•郴州一模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:
“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交
河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先
到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?
在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤2,
若将军从点A(3,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到
军营,则“将军饮马”的最短总路程为( )
A.B.C.D.
【例5】(2020南昌一模)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,第行的所有数字之和为,若去除所有为1的项,依次构成数列,则此数列的前55项和为()
A.4072B.2026C.4096D.2048
【举一反三】
1.(2020•岳阳一模)阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”
是他的代表成果之一:
平面上一点P到两定点A,B的距离之满足=t(t>0且t≠1)为常数,则P
点的轨迹为圆.已知圆O:
x2+y2=1和,若定点B(b,0)(b≠﹣)和常数λ满足:
对圆O
上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则λ= 2 ,△MAB面积的最大值为 .
2.(2020广西桂林市高三调研)2018年9月24日,英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动,黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列的各项的和,那么下列结论正确的是()
A.B.C.D.
类型四、取材数学推理
数学猜想是推动数学发展的强大动力之一,是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素,也是人类理性中最富有创造性的部分,数学猜想一旦被证明,就将转化为定理,从而丰富数学理论,即使被否定或不能被证实,也常常能给数学带来不可预期的成果,数学猜想是命制考题的好素材,它包含丰富的数学知识和思想方法.
【例6】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16…这样的数成为正方形数.下列数中及时三角形数又是正方形数的是
A.289B.1024C.1225D.1378
【举一反三】
1.(2019•葫芦岛二模)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.它用九个圆环相连成串,以解开
为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换,解之为三,又合而为一”.在某种玩法中,
用an表示解下n(n≤9,n∈N*)个圆环所需的移动最少次数,{an}满足a1=1,且an=,
则解下4个圆环所需的最少移动次数为( )
A.7B.10C.12D.22
2.(2020江门模拟)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:
今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为()
A.9B.16C.18D.20
类型五、取材数学图形
【例7】一幅图胜过一千字,“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”,图形不仅包含大量信息,而且形象直观,生动绚丽,还能展示数学之美,图形是数学总要的组成部分,高考试题中自然少不了这样的试题,同时能较好的体现数学文化,甚至富有诗意的数学图形.
【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》】如图,是我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积为,小正方形的面积为,直角三角形较小的锐角为,则()
A.B.C.D.
【举一反三】
1.(2020•佛山一模)希尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出,先作一个
正三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形
中又挖去一个“中心三角形”,我们用白色代表挖去的面积,那么黑三角形为剩下的面积(我们称黑三角形
为希尔宾斯基三角形).在如图第3个大正三角形中随机取点,则落在黑色区域的概率为( )
A.B.C.D.
2.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:
寸),若取,立方寸=升,则商鞅铜方升的容积约为()
A.升B.升C.升D.升
类型六、取材数学文化与现代科学:
数学文化与现代科学泛指最近一段时间国内外发生的数学方面的大事,被广大媒体和公众共同关注,具有方向性和短暂性和聚焦性等特点,命题专家从一段时事材料中甄选一个角度,简明扼要的交代时事背景,抽象出数学模型,突出索要考查的数学问题,类似于文科综合卷中的时事材料,既能达到一般试题的考查效果,又能融入肥厚的数学文化,平添点滴生活气息.
【例8】(2020•永州二模)北方的冬天户外冰天雪地,若水管裸露在外,则管内的水就会结冰从而冻裂水管,
给用户生活带来不便.每年冬天来临前,工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”:
在水管外面包裹保温带,
用一条保温带盘旋而上一次包裹到位.某工作人员采用四层包裹法(除水管两端外包裹水管的保温带都是
四层):
如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线,相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一.设水管
的直径与保温带的宽度都为4cm.在图2水管的侧面展开图中,此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余
弦值是(保温带厚度忽略不计)( )
A.B.
C.D.
【举一反三】
1.(2020沧州市模拟)中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡,即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列,最里面的一圆叫内一衡,外面的圆依次叫次二衡,次三衡,….设内一衡直径为,衡间距为,则次二衡直径为,次三衡直径为,…,执行如下程序框图,则输出的中最大的一个数为()
A.B.C.D.
2.(2020漳州模拟)习总书记在十九大报告中指出:
必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念.某市为贯彻落实十九大精神,开展植树造林活动,拟测量某座山的高.如图,勘探队员在山脚A测得山顶B的仰角为,他沿着倾斜角为的斜坡向上走了40米后到达C,在C处测得山顶B的仰角为,则山高约为______米.(结果精确到个位,在同一铅垂面).参考数据:
.
【强化训练】
一、选择题
1.(2020洛阳模拟)《九章算术》中有一题:
今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰:
“我羊食半马”马主曰:
“我马食半牛”今欲衰偿之,问各出几何其意思是:
今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说:
“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说:
“我马所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例偿还,牛、马、羊的主人各应赔偿多少?
设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗、y斗、z斗,则下列判断正确的是()
A.且B.且
C.且D.且
2.(2020•九江一模)半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,如
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