离散数学第二章.docx
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离散数学第二章
逻辑与推理密切相关,主要是为论证的有效性提供证明和技巧。
它与许多学科有广泛的联系。
如,与数学的交叉,
数理逻辑,与计算机科学的交叉,计算复杂性与机器证明,人工智能的交叉,精确推理与不精确推理,这些广泛的联系,日益显示其重要作用。
德国哲学家、数学家莱布尼茨是数理逻辑的创始人,至今有300多年的历史。
大约经历三个阶段。
1.初始阶段,用数学方法研究和处理形式逻辑,英国的布尔(Boole),德.摩根(DeMorgan)等人,逻辑代数和布尔代数;
2.研究数学思想方法和数学基础问题。
集合论的创建(康托),公理方法的发展(希尔伯特),逻辑演算的建立(皮亚诺、罗素),证明论。
3.发展阶段,与数学的各分支和计算机科学的广泛联系。
数理逻辑是使用逻辑的方法来研究思维规律的学科,为机器证明、自动程序设计、计算机辅助设计等应用和理论研究提供理论基础。
第二章数理逻辑MathematicalLogic
一.命题逻辑propositionallogical
2.1命题和命题联结词
语言的单位是句子,可分为疑问句,祁使句,感叹句,陈述句等。
陈述句具有真假意义。
(1)地球是圆的。
p
(2)2+3=5.q
(3)你说英语吗?
(4)3-X=5.
(5)吃两片阿斯匹林!
(6)土星表面温度是华氏800度。
r
(7)明天会出太阳。
s
命题statement是指一句有真假意义的话,可以判断真假的陈述.
2.2逻辑联结LogicalConnective与复合命题compoundstatement
用小写字母p,q,r,s,t等符号表示命题变量,可以使用一些逻辑联结词来将若干命题联接成复合命题。
(1)地球是圆的并且2+3=5.p∧q
(2)土星表面温度不是华氏800度。
~r
(3)因为地球是圆的,所以明天会出太阳。
p→s
(4)明天不会出太阳,除非2+3=5。
即,明天不会出太阳或2+3=5。
~s∨q
(5)明天出太阳,只要2+3=5。
q→s
(6)明天出太阳,仅当2+3=5。
s→q
常用的逻辑联结词有5种,如,否定联结词negation~,合取联结词conjunction∧,析取联结词disjunction∨,蕴涵联结词implication→,等价联结词equivalent
.
2.3条件命题conditionalstatements
若p,q是命题,称“ifpthenq”这种形式的复合命题为条件命题或称为蕴涵implication。
简单记为p→q。
相应地,p称为前提antecedent,hypothesis,q称为结论consequent,conclusion.
相应地,我们有
逆命题converseoftheimplication
q→p
否命题negationoftheimplication
~p→q
逆否命题
contrapositiveoftheimplication
~q→~p
众所周知,原命题与逆否命题是等价的,即,p→q~q→~p
下面,我们将这5种逻辑联结词再罗列如下:
否定negation~~p
合取conjunction∧p∧q
析取disjunction∨p∨q
蕴含implication→p→q
等价equivalence,biconditionalpq
其真值计算如下:
~p=1-p
p→q=~p∨q
pq=(p→q)∧(q→p)=(~p∨q)∧(~q∨p)
联结词的真值表truthtable
p
q
~p
p∧q
p∨q
p→q
q→p
pq
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
当然,由上面5种逻辑联结词还可以产生更多的联结词,如,异或联结词(p,q之中恰有一个成立)p
q,与非联结词(p与q合取的否定)↑,或非联结词(p与q析取的否定)↓。
Theorem1.基本等价公式,逻辑定律
交换律commutativeproperties
1.p∧q=q∧p
2.p∨q=q∨p
结合律associativeproperties
3.(p∧q)∧r=p∧(q∧r)
4.(p∨q)∨r=p∨(q∨r)
分配律distributiveproperties
5.p∧(q∨r)=(p∧q)∨(p∧r)
6.p∨(q∧r)=(p∨q)∧(p∨r)
幂等律idempotentproperties
7.p∨p=p
8.p∧p=p
双重否定propertyofnegation
9.~(~p)=p
DeMorgan’slaw
10.~(p∨q)=~p∧~q
11.~(p∧q)=~p∨~q
吸收律absorbproperties
12.p∨(p∧q)=p
13.p∧(p∨q)=p
零一律
14.p∨~p=1
15.p∧~p=0
16.p∨1=1
17.p∧1=p
18.p∨0=p
19.p∧0=0
Theorem2.
(a)p→q=~p∨q
(b)tr(p→q)=tr(~q→~p)
(c)pq(p→q)∧(q→p)
(d)~(p→q)=p∧~q
(e)~(pq)=(p∧~q)∨(q∧~p)
2.4量词Quantifier
简单命题可以被分解成个体词和谓词两部分。
个体词可以是一个具体的事物,也可以是一个抽象的概念;而谓词是用来刻画个体词的性质或个体词之间关系的词。
如:
小李是程序员,
2是整数,
在这里,“小李”、“2”是个体词,“…是程序员”、“…是整数”是谓词。
一般来说,除了个体词和谓词以外,还有表示数量的词,称表示数量的词为量词Quantifier.量词有两种:
1.全称量词UniversalQuantifier,其日常意义为“一切”、“所有的”、“任意的”,用符号“∀”来表示。
“∀xP(x)”,表示对于所有的个体x,都有性质P.
例如,
1)P(x):
-(-x)=x,是谓词,x是实数,记为∀xP(x);
2)Q(x):
x+1<4,则∀xQ(x)假。
2.存在量词ExistentialQuantifier其日常意义为“存在着”、“有一个”、“至少有一个”,用符号“∃”来表示。
“∃xP(x)”,表示存在着某个个体,具有性质P.
令Q(x):
x+1<4,则∃xQ(x)真。
有了这些符号,叙述就变得简单。
如,
∀x∃yQ(x,y)
令A,B是n行n列的矩阵,
∀A∃BA+B=I,其中I是单位矩阵。
令
是数列,
等价于∀
>0∃
∀
.
2.5命题公式propositionalformulas
我们使用p,q来表示命题,如果其真值确定的话,则称其为命题常项或命题常元;其真值可以变化的话,则称其为命题变项或命题变元;用p,q,r,等组成的复合命题形式称为命题公式。
命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的符号串,但反之,并不正确。
命题公式用大写英文字母来表示,如,A,B,C.
下面,我们给出命题公式的递归定义
(1)单个命题变元是命题公式。
(2)如果A,B是命题公式,则有限次地应用(~A),(A∧B),(A∨B),(A→B),(AB)
都是命题公式。
例A=((p∧(~q))→(((~p)∨q)∧q))是命题公式.
如果简单一点的话,我们可以省略最外层的括号:
A=(p∧(~q))→(((~p)∨q)∧q)
为了方便计算,我们必须
规定命题连接词的优先级:
~,∧,∨,→,,左边高于右边。
命题A可以化简为:
A=p∧~q→(~p∨q)∧q.
A可以记作A(p,q),p,q是A中变元.
命题公式的真值是不确定的,设A为一命题公式,p1,p2,…,pn为A中的命题变元,给定p1,p2,…,pn的一组真值,则称为对A的一个赋值。
若给定p1,p2,…,pn的一组值,使得A的值为真,称这组值为A的成真赋值;反之,为成假赋值。
对应于命题变元的一种真假取值。
n个变元共有2n种不同的赋值。
因此,命题公式A就得到真值表(所有赋值之下取值的真值生成的表)。
命题公式的真值表
truthtableofpropositions
A的真值表
p
q
~p
~q
p∧~q
~p∨q
(~p∨q)∧q
p∧~q→(~p∨q)∧q
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
设A为一个命题公式,
1)无论命题变元取什么值,命题公式A的取值都是1(真),则称A为tautology重言式,恒真式。
2)无论命题变元取什么值,命题公式A的取值都是0(假),则称A为
contradiction,absurdity矛盾式,恒假式。
3)若A至少存在一组赋值,使得命题公式A的取值为1(真),则称A为contingency可满足式。
2.6(逻辑)等价公式AB
设A,B为两命题公式,无论公式A,B中的命题变元如何取值,A,B都有相同的真值表,即AB是恒真式,则称A与B是等价公式,记作AB。
例如,验证A=p∧q与B=q∧p的等价性。
A与B的真值表
p
q
p∧q
p∨q
q∧p
q∨p
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
显然,用真值表可以判定一个公式是否为恒真式,恒假式和可满足公式,也可以判断两个公式是否为等价。
例证明下列公式都是恒真式:
(1)p→p
(2)~(~p)→p
(3)p→(q→p)
(4)(p→((q→r))→((p→q)→(p→r))
(5)(~q→~p)→(p→q)
Proof(3).证法1:
真值表法
p
q
q→p
(~q∨p)
p→(q→p)
(~p∨(~q∨p))
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
证法2:
p→(q→p)=(~p∨(~q∨p))
=1∨q=1
p→(q→p)是恒真式。
Theorem3.
1.~(∀xP(x))=∃x~P(x);
2.~(∃xP(x))=∀x(~P(x));
3.∃x(P(x)→Q(x))=∀xP(x)→∃xQ(x);
4.∃x(P(x)∨Q(x))=∃xP(x)∨∃xQ(x)
5.∀x(P(x)∧Q(x))=∀xP(x)∧∀xQ(x)
6.((∀xP(x))∨(∀xQ(x)))⇒∀x(P(x)∨Q(x))是恒真式;
7.∃x(P(x)∧Q(x))⇒∃xP(x)∧∃xQ(x)是恒真式。
Theorem4.下列是恒真式
(a)p∧q→p
(b)p∧q→q
(c)p→p∨q
(d)q→p∨q
(e)~p→(p→q)
(f)~(p→q)→p
(g)p∧(p→q)→q
(h)~p∧(p∨q)→q
(i)~q∧(p→q)⇒~p
(j)(p→q)∧(q→r)⇒p→r
Theorem5多前提基本推理
(a)p,p→q⇒q
(b)~q,p→q⇒~p
(c)~q,p∨q⇒p
(d)p→q,q→r⇒p→r
(e)p∨q,p→r,q→s⇒r∨s
(f)p∨q,p→r,q→r⇒r
~q
p→q
~p
p→q
p____
p∨q
p→r
q→s
r∨s
q
p→q
q→r
p→r
p→q
~q_
~p
2.7命题公式的等价变换
利用基本等价公式可以进行公式的等价变换,(等值运算)把一个公式化为与之相等价的另一个公式;
因此,可以将一个公式化简,或化为某种特定形式。
例:
化简命题公式
A=p∧~q→((~p∨q)∧q)
解A~(p∧~q)∨((~p∨q)∧q)
(~p∨q)∨((~p∨q)∧q)
~p∨q
~q
p→q
~p
p∨q
p→r
q→s
r∨s
p→q
q→r
p→r
HomeworkP56,23,24,25,26,27
HomeworkP61,13,15,17
数学归纳法
可以验证,
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