高考数学一轮复习专题02充分条件必要条件与命题的四种形式教学案文.docx
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高考数学一轮复习专题02充分条件必要条件与命题的四种形式教学案文
专题02充分条件、必要条件与命题的四种形式
1.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;
2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
1.充分条件、必要条件与充要条件
(1)“若p,则q”形式的命题为真时,记作p⇒q,称p是q的充分条件,q是p的充要条件.
(2)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件,q也是p的充要条件.
p是q的充要条件又常说成q当且仅当p,或p与q等价.
2.命题的四种形式及真假关系
互为逆否的两个命题等价(同真或同假);互逆或互否的两个命题不等价.
【特别提醒】等价命题和等价转化
(1)逆命题与否命题互为逆否命题;
(2)互为逆否命题的两个命题同真假;
(3)当判断原命题的真假比较困难时,可以转化为判断它的逆否命题的真假.
高频考点一 四种命题的关系及其真假判断
例1、
(1)命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为( )
A.“若x=4,则x2-3x-4=0”为真命题
B.“若x≠4,则x2-3x-4≠0”为真命题
C.“若x≠4,则x2-3x-4≠0”为假命题
D.“若x=4,则x2-3x-4=0”为假命题
(2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真、假、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假
【答案】
(1)C
(2)B
【感悟提升】
(1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,如果命题不是“若p,则q”的形式,应先改写成“若p,则q”的形式;如果命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提不变.
(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
【变式探究】已知:
命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )
A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”,是真命题
B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”,是假命题
C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”,是真命题
D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题
【解析】 由f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)=ex-m≥0恒成立,∴m≤1.
因此原命题是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.
【答案】 D
高频考点二、充分条件与必要条件的判定
例2、
(1)函数f(x)在x处导数存在.若p:
f′(x)=0;q:
x是f(x)的极值点,则( )
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分要件,也不是q的必要条件
(2)(2017·衡阳一模)“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
故“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的充分不必要条件.
【答案】
(1)C
(2)B
【感悟提升】充要条件的三种判断方法
(1)定义法:
根据p⇒q,q⇒p进行判断.
(2)集合法:
根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:
根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.
【举一反三】(2016·山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】 由题意知a⊂α,b⊂β,若a,b相交,则a,b有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面.
因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.
【答案】 A
高频考点三 充分条件、必要条件的应用
例3、已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.
解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,
∴P={x|-2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件,
则S⊆P.
∴
解得m≤3.
又∵S为非空集合,∴1-m≤1+m,解得m≥0.
综上,可知m≥0≤3时,x∈P是x∈S的必要条件.学
【特别提醒】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解;
(2)要注意区间端点值的检验.
【变式探究】ax2+2x+1=0只有负实根的充要条件是________.
【解析】 当a=0时,原方程为一元一次方程2x+1=0,有一个负实根x=-
.
【答案】 0≤a≤1
1.【2016高考山东理数】已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】直线a与直线b相交,则
一定相交,若
相交,则a,b可能相交,也可能平行,故选A.
2.【2016高考天津理数】设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n−1+a2n<0”的()
(A)充要条件(B)充分而不必要条件
(C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意得,
,故是必要不充分条件,故选C.
3.【2016高考上海理数】设
,则“
”是“
”的()
(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件
(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
,所以是充分非必要条件,选A.
4.【2015高考湖北,理5】设
,
.若p:
成等比数列;
q:
,则()
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
【答案】A
【解析】对命题p:
成等比数列,则公比
且
;对命题,①当
时,
5.【2015高考天津,理4】设
,则“
”是“
”的()
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
或
,所以
“
”是“
”的充分不必要条件,故选A.
6.【2015高考重庆,理4】“
”是“
”的( )
A、充要条件B、充分不必要条件
C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
,因此选B.
7.【2015高考安徽,理3】设
,则
是
成立的()
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】A
8.【2015高考湖南,理2】.设
,
是两个集合,则“
”是“
”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C.
【解析】由题意得,
,反之,
,故为充要条件,选C.
9.【2014·安徽卷】“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】ln(x+1)<0⇔0<1+x<1⇔-1 10【2014·北京卷】设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当a1<0,q>1时,数列{an}递减;当a1<0,数列{an}递增时,0 11.【2014·福建卷】直线l: y=kx+1与圆O: x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为 ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】A 12.【2014·湖北卷】U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC,则可以推出A∩B=∅;若A∩B=∅,由维思图可知,一定存在C=A,满足A⊆C,B⊆∁UC,故“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充要条件.故选C. 13.【2014·陕西卷】原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A.真,假,真B.假,假,真 C.真,真,假D.假,假,假 【答案】B 【解析】设z1=a+bi,z2=a-bi,且a,b∈R,则|z1|=|z2|= ,故原命题为真,所以其否命题为假,逆否命题为真.当z1=2+i,z2=-2+i时,满足|z1|=|z2|,此时z1,z2不是共轭复数,故原命题的逆命题为假.学 14.【2014·天津卷】设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】当ab≥0时,可得a>b与a|a|>b|b|等价.当ab<0时,可得a>b时a|a|>0>b|b|;反之,由a|a|>b|b|知a>0>b,即a>b. 15.【2014·浙江卷】已知i是虚数单位,a,b∈R,得“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由a,b∈R,(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,得 所以 或 故选A. 16.【2014·重庆卷】已知命题p: 对任意x∈R,总有2x>0,q: “x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( ) A.p∧qB.綈p∧綈q C.綈p∧qD.p∧綈q 【答案】D 1.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 【解析】 根据逆否命题的定义,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”. 【答案】 D 2.“x=1”是“x2-2x+1=0”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【解析】 因为x2-2x+1=0有两个相等的实数根为x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件. 【答案】 A 3.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,则“m∥β”是“α∥β”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B 4.“a=0”是“函数f(x)=sinx- +a为奇函数”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】 显然a=0时,f(x)=sinx- 为奇函数;当f(x)为奇函数时,f(-x)+f(x)=0. 又f(-x)+f(x)=sin(-x)- +a+sinx- +a=0. 因此2a=0,故a=0. 所以“a=0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件. 【答案】 C 5.下列结论错误的是( ) A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0” B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件 C.命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0” 【解析】 C项命题的逆命题为“若方程x2+x-m=0有实根,则m>0”.若方程有实根,则Δ=1+4m≥0, 即m≥- ,不能推出m>0.所以不是真命题. 【答案】 C 6.设x∈R,则“1 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】 由|x-2|<1,得1 1 所以“1 【答案】 A 7.已知命题p: x2+2x-3>0;命题q: x>a,且綈q的一个充分不必要条件是綈p,则a的取值范围是( ) A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.[-1,+∞)D.(-∞,-3] 【答案】 A 8.已知a,b都是实数,那么“ > ”是“lna>lnb”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】 由lna>lnb⇒a>b>0⇒ > ,故必要性成立. 当a=1,b=0时,满足 > ,但lnb无意义,所以lna>lnb不成立,故充分性不成立. 【答案】 B 9.已知m∈R,“函数y=2x+m-1有零点”是“函数y=logmx在(0,+∞)上为减函数”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】 由y=2x+m-1=0,得m=1-2x,则m<1. 由于函数y=logmx在(0,+∞)上是减函数, 所以0 因此“函数y=2x+m-1有零点”是“函数y=logmx在(0,+∞)上为减函数”的必要不充分条件. 【答案】 B 10.“sinα=cosα”是“cos2α=0”的________条件. 【解析】 cos2α=0等价于cos2α-sin2α=0, 即cosα=±sinα. 由cosα=sinα得到cos2α=0;反之不成立. ∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件. 【答案】 充分不必要 11.已知命题p: a≤x≤a+1,命题q: x2-4x<0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________.
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