第一节 资金时间价值.docx
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第一节资金时间价值
第一节资金时间价值
一、资金时间价值
(一)定义:
资金时间价值是指一定量资金在不同时点上的价值量差额。
【提示】两个要点:
(1)不同时点;
(2)价值量差额
货币时间价值是指货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值,即同一笔货币量在不同时点上具有不同的价值。
其实质就是基于商品货币经济的高度发展和借贷关系的存在,货币所有者让渡其使用权而参与社会财富分配的一种形式。
也就是“时间就是金钱”这一观念理论数量化的典型概括,它并非讨论价值由谁或怎样创造出来。
(二)量的规定性(即如何衡量)
理论上――资金时间价值等于没有风险、没有通货膨胀条件下的社会平均资金利润率。
实际工作中――可以用通货膨胀率很低条件下的政府债券利率来表现时间价值。
二、资金时间价值的相关概念
(一)终值和现值的概念
1.终值又称将来值,是现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的价值,俗称“本利和”,通常记作F。
2.现值,是指未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的价值,俗称“本金”,通常记作“P”。
(二)年金
1、有关年金的相关概念
(1)年金的含义
年金,是指一定时期内每次等额收付的系列款项。
具有两个特点:
一是金额相等;二是时间间隔相等。
(2)年金的种类
【提示】
1.这里的年金收付间隔的时间不一定是1年,可以是半年、一个季度或者一个月等。
2.这里年金收付的起止时间可以是从任何时点开始,如一年的间隔期,不一定是从1月1日至12月31日,可以是从当年7月1日至次年6月30日。
在年金的四种类型中,最基本的是普通年金,其他类型的年金都可以看成是普通年金的转化形式。
三、货币时间价值的计算
(一)单利终值和现值的计算
1、单利终值:
F=P+P×i×n=P×(1+i×n)
式中,1+ni——单利终值系数
【提示】除非特别指明,在计算利息时,给出的利率均为年利率,对于不足一年的利息,以一年等于360天来折算。
【例1】某人将100元存入银行,年利率为2%,求5年后的终值。
【答案】F=P×(1+i×n)=100×(1+2%×5)=110(元)
单利终值计算主要解决:
已知现值,求终值。
2、单利现值
现值的计算与终值的计算是互逆的,由终值计算现值的过程称为“折现”。
单利现值的计算公式为:
P=F/(1+ni)
式中,1/(1+ni)——单利现值系数
【例2】某人希望在第5年末得到本利和1000元,用以支付一笔款项。
在利率为5%、单利计息条件下,此人现在需要存入银行多少资金?
【答案】
P=1000/(1+5×5%)=800(元)
【注意】由终值计算现值时所应用的利率,一般也称为“折现率”。
【思考】前面分析过,终值与现值之间的差额,即为利息。
那么,由现值计算终值的涵义是什么?
由终值计算现值的涵义是什么?
【结论】
(1)单利的终值和单利的现值互为逆运算;
(2)单利终值系数(1+i×n)和单利现值系数1/(1+i×n)互为倒数。
(二)复利终值与现值的计算
1、复利终值
F=P(1+i)n
在上式中,(1+i)n称为“复利终值系数”,用符号(F/P,i,n)表示。
这样,上式就可以写为:
F=P(F/P,i,n)
【提示】在平时做题时,复利终值系数可以查教材的附表1得到。
考试时,一般会直接给出。
但需要注意的是,考试中系数是以符号的形式给出的。
因此,对于有关系数的表示符号需要掌握。
【例3】某人拟购房,开发商提出两个方案:
方案一是现在一次性付80万元;方案二是5年后付100万元。
若目前银行贷款利率为7%(复利计息),要求计算比较哪个付款方案较为有利。
【答案】方案一的终值=80×(F/P,7%,5)=112.208(万元)>100(万元)。
由于方案二的终值小于方案一的终值,所以应该选择方案二。
【注意】
(1)如果其他条件不变,当期数为1时,复利终值和单利终值是相同的。
(2)在财务管理中,如果不加注明,一般均按照复利计算。
2.复利现值
上式中,(1+i)-n称为“复利现值系数”,用符号(P/F,i,n)表示,平时做题时,可查教材附表2得出,考试时一般会直接给出。
【例4】某人存入一笔钱,想5年后得到10万,若银行存款利率为5%,要求计算下列指标:
(1)如果按照单利计息,现在应存入银行多少资金?
(2)如果按照复利计息,现在应存入银行多少资金?
【答案】
(1)P=F/(1+n×i)=10/(1+5×5%)=8(万元)
(2)P=10×(P/F,5%,5)=10×0.7835=7.835(万元)
【结论】
(1)复利终值和复利现值互为逆运算;
(2)复利终值系数(1+i)n和复利现值系数1/(1+i)n互为倒数。
【提示】系数间的关系
单利终值系数与单利现值系数互为倒数关系
复利终值系数与复利现值系数互为倒数关系
(三)普通年金终值与现值的计算
1、普通年金终值计算(注意年金终值的涵义、终值点)
年金终值系数(F/A,i,n),平时做题可查教材的附表3得到,考试时,一般会直接给出该系数。
为了使您更好的理解年金系数与复利系数之间的关系,请您认真参阅以下内容:
年金终值系数=(复利终值系数-1)/i
(F/A,i,n)=(F/P,i,n-1)+……+(F/P,i,1)+1
年金现值系数=(1-复利现值系数)/i
(P/A,i,n)=(P/F,i,1)+……+(P/F,i,n)
【例5】A矿业公司决定将其一处矿产开采权公开拍卖,因此它向世界各国煤炭企业招标开矿。
已知甲公司和乙公司的投标书最具有竞争力,甲公司的投标书显示,如果该公司取得开采权,从获得开采权的第l年开始,每年末向A公司交纳l0亿美元的开采费,直到l0年后开采结束。
乙公司的投标书表示,该公司在取得开采权时,直接付给A公司40亿美元,在8年后开采结束,再付给60亿美元。
如A公司要求的年投资回报率达到15%,问应接受哪个公司的投标?
【解答】
要回答上述问题,主要是要比较甲乙两个公司给A的开采权收入的大小。
但由于两个公司支付开采权费用的时间不同,因此不能直接比较,而应比较这些支出在第10年终值的大小。
甲公司的方案对A公司来说是一笔年收款l0亿美元的l0年年金,其终值计算如下:
F=10×(F/A,15%,10)=10×20.304=203.04(亿美元)
乙公司的方案对A公司来说是两笔收款,分别计算其终值:
第1笔收款(40亿美元)的终值=40×(1+15%)10
=40×4.0456=161.824(亿美元)
第2笔收款(60亿美元)的终值=60×(1+15%)2
=60×1.3225=79.35(亿美元)
终值合计l61.824+79.35=241.174(亿美元)
因此,甲公司付出的款项终值小于乙公司付出的款项的终值,应接受乙公司的投标。
2、普通年金现值的计算
年金现值系数(P/A,i,n),平时做题可查教材的附表4得到,考试时,一般会直接给出该系数。
【例6】钱小姐最近准备买房,看了好几家开发商的售房方案,其中一个方案是A开发商出售一套100平方米的住房,要求首期支付10万元,然后分6年每年年末支付3万元。
钱小姐很想知道每年付3万元相当于现在多少钱,好让她与现在2000元/平方米的市场价格进行比较。
(贷款利率为6%)
【解答】P=3×(P/A,6%,6)=3×4.9173=14.7519(万元)
钱小姐付给A开发商的资金现值为:
l0+14.7519=24.7519(万元)
如果直接按每平方米2000元购买,钱小姐只需要付出20万元,可见分期付款对她不合算。
(四)即付年金的终值与现值的计算
1、即付年金终值的计算
【定义方法】即付年金的终值,是指把即付年金每个等额A都换算成第n期期末的数值,再来求和。
【计算方法】
方法一:
先将其看成普通年金,套用普通年金终值的计算公式,计算终值,得出来的是在最后一个A位置上的数值,即第n-1期期末的数值,再将其向前调整一期,得出要求的第n期期末的终值,即:
F=A(F/A,i,n)(1+i)
方法二:
分两步进行。
第一步现把即付年金转换成普通年金。
转换的方法是:
假设最后一期期末有一个等额款项的收付,这样,就转换为普通年金的终值问题,按照普通年金终值公式计算终值。
不过要注意这样计算的终值,其期数为n+1。
第二步,进行调整。
即把多算的在终值点位置上的这个等额收付的A减掉。
当对计算公式进行整理后,即把A提出来后,就得到即付年金的终值计算公式。
即付年金的终值系数和普通年金相比,期数加1,而系数减1。
即:
F=A[(F/A,i,n+1)-1]
【例7】孙女士看到在邻近的城市中,一种品牌的火锅餐馆生意很火爆。
她也想在自己所在的县城开一个火锅餐馆,于是找到业内人士进行咨询。
花了很多时间,她终于联系到了火锅餐馆的中国总部,总部工作人员告诉她,如果她要加入火锅餐馆的经营队伍,必须一次性支付50万元,并按该火锅品牌的经营模式和经营范围营业。
孙女士提出现在没有这么多现金,可否分次支付,得到的答复是如果分次支付,必须从开业当年起,每年年初支付20万元,付3年。
三年中如果有一年没有按期付款,则总部将停止专营权的授予。
假设孙女士现在身无分文,需要到银行贷款开业,而按照孙女士所在县城有关扶持下岗职工创业投资的计划,她可以获得年利率为5%的贷款扶持。
请问孙女士现在应该一次支付还是分次支付?
【解答】对孙女士来说,如果一次支付,则相当于付现值50万元;而若分次支付,则相当于一个3年的即付年金,孙女士可以把这个即付年金折算为3年后的终值,再与50万元的3年终值进行比较,以发现哪个方案更有利。
如果分次支付,则其3年终值为:
F=20×(F/A,5%,3)×(1+5%)
=20×3.1525×1.05
=66.2025(万元)
或者:
F=20×[(F/A,5%,4)-1]
=20×(4.3101-1)
=66.202(万元)
如果一次支付,则其3年的终值为:
50×(F/P,5%,3)=50×1.1576=57.88(万元)
相比之下,一次支付效果更好。
2、即付年金现值的计算
【定义方法】即付年金现值,就是各期的年金分别求现值,然后累加起来。
【计算方法】
方法一:
分两步进行。
第一步,先把即付年金看成普通年金,套用普通年金现值的计算公式,计算现值。
注意这样得出来的是第一个A前一期位置上的数值。
第二步,进行调整。
即把第一步计算出来的现值乘以(1+i)向后调整一期,即得出即付年金的现值。
P=A(P/A,i,n)(1+i)
方法二:
分两步进行。
第一步,先把即付年金转换成普通年金进行计算。
转换方法是,假设第1期期初没有等额的收付,这样就转换为普通年金了,可以按照普通年金现值公式计算现值。
注意,这样计算出来的现值为n-1期的普通年金现值。
第二步,进行调整。
即把原来未算的第1期期初的A加上。
对计算式子进行整理后,即把A提出来后,就得到了即付年金现值。
即付年金现值系数与普通年金现值系数相比,期数减1,系数加1。
P=A[(P/A,i,n-1)+1]
【例8】张先生采用分期付款方式购入商品房一套,每年年初付款15000元,分l0年付清。
若银行利率为6%,该项分期付款相当于一次现金支付的购买价是多少?
【解答】P=A·[(P/A,i,n-1)+1]
=15000×[(P/A,6%,9)+1]
=15000×(6.8017+1)=117025.5(元)
(五)递延年金和永续年金
1、递延年金终值计算
计算递延年金终值和计算普通年金终值基本一样,只是注意扣除递延期即可。
F=A(F/A,i,n)
2、递延年金现值的计算
【方法一】
把递延期以后的年金套用普通年金公式求现值,这是求出来的现值是第一个等额收付前一期期末的数值,距离递延年金的现值点还有m期,再向前按照复利现值公式折现m期即可。
计算公式如下:
P=A(P/A,i,n)×(P/F,i,m)
【方法二】把递延期每期期末都当作有等额的收付A,把递延期和以后各期看成是一个普通年金,计算出这个普通年金的现值,再把递延期多算的年金现值减掉即可。
PO=A×[(P/A,i,m+n)-(P/A,i,m)]
【方法三】先求递延年金终值,再折现为现值。
P=A×(F/A,i,n)×(P/F,i,m+n)
【例9·计算分析题】甲公司欲购置一台设备,卖方提出四种付款方案,具体如下:
方案1:
第一年初付款10万元,从第二年开始,每年末付款28万元,连续支付5次;
方案2:
第一年初付款5万元,从第二年开始,每年初付款25万元,连续支付6次;
方案3:
第一年初付款10万元,以后每间隔半年付款一次,每次支付15万元,连续支付8次;
方案4:
前三年不付款,后六年每年初付款30万元。
假设按年计算的折现率为10%,分别计算四个方案的付款现值,最终确定应该选择哪个方案?
【答案】
方案1的付款现值
=10+28×(P/A,10%,5)×(P/F,10%,1)
=10+28×3.7908×0.9091
=106.49(万元)
方案2的付款现值
=5+25×(P/A,10%,6)
=5+25×4.3553
=113.88(万元)
方案3的付款现值
=10+15×(P/A,5%,8)
=10+15×6.4632
=106.95(万元)
方案4的付款现值
=30×(P/A,10%,6)×(P/F,10%,2)
=30×4.3553×0.8264
=107.98(万元)
由于方案1的付款现值最小,所以应该选择方案1。
(六)永续年金
永续年金因为没有终止期,所以只有现值没有终值。
永续年金的现值,可以通过普通年金的计算公式导出。
在普通年金的现值公式中,令n趋于无穷大,即可得出永续年金现值:
P=A/i
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