小学奥数竞赛数量关系49问题 1.docx
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小学奥数竞赛数量关系49问题1
数量关系49问题
(1)2012年02月11日10:
53:
12
一.页码问题
对多少页出现多少1或2的公式
如果是X千里找几,公式是1000+X00*3如果是X百里找几,就是100+X0*2,X有多少个0就*多少。
依次类推!
请注意,要找的数一定要小于X,如果大于X就不要加1000或者100一类的了,
比如,7000页中有多少3就是1000+700*3=3100(个)
20000页中有多少6就是2000*4=8000(个)
友情提示,如3000页中有多少3,就是300*3+1=901,请不要把3000的3忘了
二,握手问题
N个人彼此握手,则总握手数
S=(n-1){a1+a(n-1)}/2=(n-1){1+1+(n-2)}/2=『n^2-n』/2=N×(N-1)/2
例题:
某个班的同学体育课上玩游戏,大家围成一个圈,每个人都不能跟相邻的2个人握手,整个游戏一共握手152次,请问这个班的同学有()人
A、16B、17C、18D、19
【解析】此题看上去是一个排列组合题,但是却是使用的多边形对角线的原理在解决此题。
按照排列组合假设总数为X人则Cx取3=152但是在计算X时却是相当的麻烦。
我们仔细来分析该题目。
以某个人为研究对象。
则这个人需要握x-3次手。
每个人都是这样。
则总共握了x×(x-3)次手。
但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。
则实际的握手次数是x×(x-3)÷2=152计算的x=19人
三,钟表重合公式
钟表几分重合,公式为:
x/5=(x+a)/60a时钟前面的格数
四,时钟成角度的问题
设X时时,夹角为30X,Y分时,分针追时针5.5,设夹角为A.(请大家掌握)
钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度,每过一分钟分针走6度,时针走0.5度,能追5.5度。
1.【30X-5.5Y】或是360-【30X-5.5Y】【】表示绝对值的意义(求角度公式)
变式与应用
2.【30X-5.5Y】=A或360-【30X-5.5Y】=A(已知角度或时针或分针求其中一个角)
五,往返平均速度公式及其应用(引用)
某人以速度a从A地到达B地后,立即以速度b返回A地,那么他往返的平均速度v=2ab/(a+b)。
证明:
设A、B两地相距S,则
往返总路程2S,往返总共花费时间s/a+s/b
故v=2s/(s/a+s/b)=2ab/(a+b)
六,空心方阵的总数
空心方阵的总数=(最外层边人(物)数-空心方阵的层数)×空心方阵的层数×4
=最外层的每一边的人数^2-(最外层每边人数-2*层数)^2
=每层的边数相加×4-4×层数
空心方阵最外层每边人数=总人数/4/层数+层数
方阵的基本特点:
①方阵不论在哪一层,每边上的人(或物)数量都相同.每向里一层边上的人数就少2;
②每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系:
③中实方阵总人(或物)数=(每边人(或物)数)2=(最外层总人数÷4+1)2
例:
①某部队排成一方阵,最外层人数是80人,问方阵共有多少官兵?
(441人)
②某校学生刚好排成一个方队,最外层每边的人数是24人,问该方阵有多少名学生?
(576名)解题方法:
方阵人数=(外层人数÷4+1)2=(每边人数)2
③参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列,则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人?
(289人)
解题方法:
去掉的总人数=原每行人数×2-1=减少后每行人数×2+1
典型例题:
某个军队举行列队表演,已知这个长方形的队阵最外围有32人,若以长和宽作为边长排出2个正方形的方阵需要180人。
则原来长方形的队阵总人数是()
A、64,B、72C、96D、100
【解析】这个题目经过改编融合了代数知识中的平方和知识点。
长方形的(长+宽)×2=32+4得到长+宽=18。
可能这里面大家对于长+宽=18有些难以计算。
你可以假设去掉4个点的人先不算。
长+宽(不含两端的人)×2+4(4个端点的人)=32,则计算出不含端点的长+宽=14考虑到各自的2端点所以实际的长宽之和是14+2+2=18。
求长方形的人数,实际上是求长×宽。
根据条件长×长+宽×宽=180综合(长+宽)的平方=长×长+宽×宽+2×长×宽=18×18带入计算即得到B。
其实在我们得到长宽之和为18时,我们就可以通过估算的方法得到选项B
七,青蛙跳井问题
例如:
①青蛙从井底向上爬,井深10米,青蛙每跳上5米,又滑下4米,这样青蛙需跳几次方可出井?
(6)
②单杠上挂着一条4米长的爬绳,小赵每次向上爬1米又滑下半米来,问小赵几次才能爬上单杠?
(7)
总解题方法:
完成任务的次数=井深或绳长-每次滑下米数(遇到半米要将前面的单位转化成半米)
例如第二题中,每次下滑半米,要将前面的4米转换成8个半米再计算。
完成任务的次数=(总长-单长)/实际单长+1
八,容斥原理
总公式:
满足条件一的个数+满足条件2的个数-两个都满足的个数=总个数-两个都不满足的个数
【国2006一类-42】现有50名学生都做物理、化学实验,如果物理实验做正确的有40人,化学实验做正确的有31人,两种实验都做错的有4人,则两种实验都做对的有多少人?
A.27人B.25人C.19人D.10人
上题就是数学运算试题当中经常会出现的“两集合问题”,这类问题一般比较简单,使用容斥原理或者简单画图便可解决。
但使用容斥原理对思维要求比较高,而画图浪费时间比较多。
鉴于此类问题一般都按照类似的模式来出,下面华图名师李委明给出一个通解公式,希望对大家解题能有帮助:
例如上题,代入公式就应该是:
40+31-x=50-4,得到x=25。
我们再看看其它题目:
【国2004A-46】某大学某班学生总数为32人,在第一次考试中有26人及格,在第二次考试中有24人及格,若两次考试中,都没有及格的有4人,那么两次考试都及格的人数是多少?
A.22B.18C.28D.26
代入公式:
26+24-x=32-4,得到x=22
九,传球问题
这道传球问题是一道非常复杂麻烦的排列组合问题。
【李委明解三】不免投机取巧,但最有效果(根据对称性很容易判断结果应该是3的倍数,如果答案只有一个3的倍数,便能快速得到答案),也给了一个启发----
传球问题核心公式
N个人传M次球,记X=[(N-1)^M]/N,则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数,与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。
大家牢记一条公式,可以解决此类至少三人传球的所有问题。
四人进行篮球传接球练习,要求每人接球后再传给别人。
开始由甲发球,并作为第一次传球,若第五次传球后,球又回到甲手中,则共有传球方式:
A.60种B.65种C.70种D.75种
x=(4-1)^5/4x=60
十,圆分平面公式:
N^2-N+2,N是圆的个数
十一,剪刀剪绳
对折N次,剪M刀,可成M*2^n+1段
将一根绳子连续对折3次,然后每隔一定长度剪一刀,共剪6刀。
问这样操作后,原来的绳子被剪成了几段?
A.18段B.49段C.42段D.52段
十二,四个连续自然数,
性质一,为两个积数和两个偶数,它们的和可以被2整除,但是不能被4整除
性质二,他们的积+1是一个奇数的完全平方数
十三,骨牌公式
公式是:
小于等于总数的2的N次方的最大值就是最后剩下的序号
十四,指针重合公式
关于钟表指针重合的问题,有一个固定的公式:
61T=S(S为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格书,确定S后算出T的最大值知道相遇多少次。
)
十五,图色公式
公式:
(大正方形的边长的3次方)—(大正方形的边长—2)的3次方。
十六,装错信封问题
小明给住在五个国家的五位朋友分别写信,这些信都装错的情况共有多少种44种
f(n)=n!
(1-1/1!
+1/2!
!
-1/3!
......+(-1)n(1/n!
))
或者可以用下面的公式解答
装错1信0种
装错2信:
1种
32
49
544
递推公式是S(n)=n.S(n-1)+(-1)^n~~~~~
如果是6封信装错的话就是265~~~~
十七,伯努利概率模型
某人一次涉及击中靶的概率是3/5,设计三次,至少两次中靶的概率是
集中概率3/5,则没集中概率2/5,即为两次集中的概率+三次集中的概率
公式为C(2,3)*[(3/5)^2]*[(2/5)^1]+C(3,3)[(3/5)^3]*[(2/5)^0]
81/125
十八,圆相交的交点问题
N个圆相交最多可以有多少个交点的问题分析N*(N-1)
十九,约数个数问题
M=A^X*B^Y则M的约数个数是
(X+1)(Y+1)
360这个数的约数有多少个?
这些约数的和是多少?
解〕360=2×2×2×3×3×5,所以360的任何一个约数都等于至多三个2(可以是零个,下同),至多两个3和至多一个5的积。
如果我们把下面的式子
(1+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5)
展开成一个和式,和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的积。
由前面的分析不难看出,360的每一个约数都恰好是这个展开式中的一个加数。
由于第一个括号里有4个数,第二个括号里有3个数,第三个括号里有2个数,所以这个展开式中的加数个数为4×3×2=24,而这也就是360的约数的个数。
另一方面,360的所有约数的和就等于这个展开式的和,因而也就等于
(1+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5)
=15×13×6=1,170
答:
360的约数有24个,这些约数的和是1,170。
甲数有9个约数,乙数有10个约数,甲、乙两数最小公倍数是2800,那么甲数和乙数分别是多少?
解:
一个整数被它的约数除后,所得的商也是它的约数,这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时,也就是这个数是完全平方数时,它的约数的个数才会是奇数.因此,甲数是一个完全平方数.
2800=24×52×7.
在它含有的约数中是完全平方数,只有
1,22,24,52,22×52,24×52.
在这6个数中只有22×52=100,它的约数是(2+1)×(2+1)=9(个).
2800是甲、乙两数的最小公倍数,上面已算出甲数是100=22×52,因此乙数至少要含有24和7,而24×7=112恰好有(4+1)×(1+1)=10(个)约数,从而乙数就是112.综合起来,甲数是100,乙数是112.
二十,吃糖的方法
当有n块糖时,有2^(n-1)种吃法。
二十一,隔两个划数
1987=3^6+1258
1258÷2×3+1=1888
即剩下的是1888
减去1能被3整除
二十二,边长求三角形的个数
三边均为整数,且最长边为11的三角形有多少个?
[asdfqwer]的最后解答:
11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;
11,10,10;11,10,9;...11,10,2;
11,9,9;...11,9,3;
11,8,8;...11,8,4;
11,7,7,...11,7,5;
11,6,6;
1+3+5+7+9+11=6^2=36
如果将11改为n的话,
n=2k-1时,为k^2个三角形; n=2k时,为(k+1)k个三角形。
二十三,2乘以多少个奇数的问题
如果N是1,2,3,…,1998,1999,2000的最小公倍数,那么N等于多少个2与1个奇数的积?
解:
因2^10=1024,2^11=2048>2000,每个不大于2000的自然数表示为质因数相乘,其中2的个数不多于10个,而1024=2^10,所以,N等于10个2与某个奇数的积。
二十四,直线分圆的图形数
设直线的条数为N则总数=1+{N(1+N)}/2
将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片,如果要分成不少于50个小纸片,至少要画多少条直线?
请说明.
〔解〕我们来一条一条地画直线。
画第一条直线将圆形纸片划分成2块.画第二条直线,如果与第一条直线在圆内相交,则将圆形纸片划分成4块(增加了2块),否则只能划分成3块.类似地,画第三条直线,如果与前两条直线都在圆内相交,且交点互不相同(即没有3条直线交于一点),则将圆形纸片划分成7块(增加了3块),否则划分的块数少于7块.下图是画3条直线的各种情形
由此可见,若希望将纸片划分成尽可能多的块数,应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交,且交点互不相同.这时增加的块数等于直线的条数。
(为什么?
)这样划分出的块数,我们列个表来观察:
直线条数纸片最多划分成的块数
11+1
21+1+2
31+1+2+3
41+1+2+3+4
51+1+2+3+4+5
不难看出,表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。
(为什么?
)我们把问题化为:
自第几行起右边的数不小于50?
我们知道
1+1+2+3+…+10=56,1+1+2+3+…+9=46,可见
9行右边还不到50,而第10行右边已经超过50了。
答:
至少要画10条直线。
二十五,公交车超骑车人和行人的问题
一条街上,一个骑车人和一个步行人相向而行,骑车人的速度是步行人的3倍,每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。
每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人,如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车,那么间隔几分钟发一辆公交车?
此类题通解公式:
a=超行人时间,b=超自行车时间,m=人速,n=自行车速
则每隔t分钟发车;t=(abn-abm)/(bn-am),令M=1N=3,解得T=8。
二十六,公交车前后超行人问题
小明放学后,沿某公交路线以不变速度步行回家,该路公共汽车也以不变速度不停的运行,每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他,每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,问该路公共汽车每隔多少分钟发一辆车?
此类题有个通解公式:
如果a分钟追上,b分钟相遇,
则是2ab/(a+b)分钟发一次车
二十七,象棋比赛人数问题
象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局胜者记2分,负者记0分,和棋各记1分,四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是:
1979,1980,1984,1985,经核实只有一位观众统计正确,则这次比赛的选手共有多少名?
A.44B.45C.46D.47
解析:
44*43=1892,45*44=1980,46*45=2070所以选B
二十八,频率和单次频度都不同问题
猎犬发现在离它9米远的前方有一只奔跑着的兔子,立刻追赶,猎犬的步子大,它跑5步的路程,兔要跑9步,但兔子动作快,猎犬跑2步的时间,兔子跑3步。
猎犬至少跑多少米才能追上兔子?
()
A.67B.54C.49D.34答案b
分析:
猎犬的步子大,它跑5步的路程,兔要跑9步,但兔子动作快,猎犬跑2步的时间,兔子跑3步.可知猎犬和兔子的速度比是6:
5,s/(s-9)=6/5,s=54
二十九,上楼梯问题
一般来说上电梯有a1=1a2=2a3=4a4=a1+a2+a3
所以一般公式是an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)
三十,牛吃草公式
核心公式:
草场草量=(牛数-每天长草量)*天数
例如:
10牛可吃20天,15牛可吃10天,则25牛可吃多少天?
解:
可用公式,设每天恰可供X头牛吃一天,25牛可吃N天
则(10-X)*20=(15-X)*10=(25-X)*N,可得X=5,Y=5
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