届高三数学文理通用一轮复习《二次函数》题型专题汇编.docx
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届高三数学文理通用一轮复习《二次函数》题型专题汇编
《二次函数》题型专题汇编
题型一 求二次函数的解析式
1、已知二次函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,对∀x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立,则f(x)的解析式为________________.
答案 f(x)=x2-2x+3
解析 由f(0)=3,得c=3,又f(1+x)=f(1-x),
∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称,∴=1,∴b=2,∴f(x)=x2-2x+3.
2、已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)=_____
答案 x2+2x
解析 设函数的解析式为f(x)=ax(x+2)(a≠0),
所以f(x)=ax2+2ax,由=-1,得a=1,所以f(x)=x2+2x.
3、已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a≠0),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=________.
答案 x2+2x+1
解析 设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a(a≠0),
又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,故f(x)=x2+2x+1.
4、已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)=________.
答案 x2-4x+3
解析 因为f(2-x)=f(2+x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)图象的对称轴为直线x=2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),又f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,即a=1,所以f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.
5、已知二次函数f(x)满足f
(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
解 解法一:
(利用二次函数的一般式)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得解得
故所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
解法二:
(利用二次函数的顶点式)
设f(x)=a(x-m)2+n.
∵f
(2)=f(-1),∴抛物线的对称轴为x==.
∴m=,又根据题意函数有最大值8,∴n=8,∴y=f(x)=a2+8.
∵f
(2)=-1,∴a2+8=-1,解得a=-4,
∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7.
解法三:
(利用两根式)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值8,∴=8.解得a=-4或a=0(舍去),
故所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
6、二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足①不等式f(x)+2x>0的解集为{x|1 解 因为f(x)+2x>0的解集为(1,3), 设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0, 所以f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. 由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0. 因为方程有两个相等的实数根,所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0, 解得a=1或a=-.由于a<0,舍去a=1. 所以f(x)=-x2-x-. 题型二 二次函数的图象和性质 命题点1 二次函数的图象 1、一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( ) 答案 C 解析 若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A;若a<0,一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故可排除D;对于选项B,看直线可知a>0,b>0,从而-<0,而二次函数的对称轴在y轴的右侧,故应排除B,选C. 2、对数函数y=logax(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是( ) 答案 A 解析 当01时,y=logax为增函数,y=(a-1)x2-x开口向上,其对称轴为x=>0,排除B.故选A. 命题点2 二次函数的单调性 1、函数f(x)=的单调递增区间是( ) A.(-∞,-2]B.(-∞,1] C.[1,+∞)D.[4,+∞) 答案 D 解析 由x2-2x-8≥0得x≥4或x≤-2, 令x2-2x-8=t,则y=为增函数, ∴t=x2-2x-8在[4,+∞)上的增区间是所求函数的单调递增区间, ∴所求函数的单调递增区间为[4,+∞). 2、函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是( ) A.[-3,0)B.(-∞,-3] C.[-2,0]D.[-3,0] 答案 D 解析 当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上单调递减,满足题意. 当a≠0时,f(x)的对称轴为x=, 由f(x)在[-1,+∞)上单调递减,知解得-3≤a<0. 综上,a的取值范围为[-3,0]. 3、若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的单调减区间是[-1,+∞),则a=________. 答案 -3 解析 由题意知f(x)必为二次函数且a<0,又=-1,∴a=-3. 4、已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞,3)上是减函数,则a的取值范围是( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 因为函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞,3)上是减函数, 当a≠0时,a须满足解得0 当a=0时,f(x)=-12x+5在(-∞,3)上是减函数. 综上知,a的取值范围是. 5、若二次函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数k的取值范围为( ) A.[2,+∞)B.(2,+∞) C.(-∞,0)D.(-∞,2) 解析: 选A.二次函数y=kx2-4x+2的对称轴为x=,当k>0时,要使函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是增函数,只需≤1,解得k≥2. 当k<0时,<0,此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧,该函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是减函数,不符合要求.综上可得实数k的取值范围是[2,+∞). 6、若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则实数a的取值范围是___ 解析: 因为f(x)=-x2+2ax在[1,2]上是减函数,所以a≤1,又因为g(x)=在[1,2]上是减函数,所以a>0,所以0 答案: (0,1] 命题点3 二次函数的最值 1、已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值. 解 f(x)=a(x+1)2+1-a. (1)当a=0时,函数f(x)在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去; (2)当a>0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f (2)=8a+1=4,解得a=; (3)当a<0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3. 综上可知,a的值为或-3. 2、求函数f(x)=x2+2ax+1在区间[-1,2]上的最大值. 解 f(x)=(x+a)2+1-a2, ∴f(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=-a. (1)当-a<即a>-时,f(x)max=f (2)=4a+5, (2)当-a≥即a≤-时,f(x)max=f(-1)=2-2a, 综上,f(x)max= 3、已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在[0,1]内的最大值为-5,则a的值为( ) A.B.1或 C.-1或D.-5或 答案 D 解析 f(x)=-42-4a,对称轴为直线x=. ①当≥1,即a≥2时,f(x)在[0,1]上递增, ∴ymax=f (1)=-4-a2.令-4-a2=-5,得a=±1(舍去).
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