二次函数与一次函数结合题.docx
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二次函数与一次函数结合题.docx
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二次函数与一次函数结合题
一次函数与二次函数可能有一个焦点或两个焦点或没有交点,对于两个
(1)求二次函数表达式时要填写最终的一般式
(2)由一般式变顶点式时,可通过两个方法
方法一:
通过定点坐标公式直接代入顶点式中,有一点需要注意,(X-h)
方法二:
可通过配方法解决问题
1.如图,将抛物线Mi:
y=ax2∙4x向右平移3个单位,再向上平移3个单位,得到抛物线M2,直线y=X与M的一个交点记为A,与M2的一个交点记为B,点A的横坐标是-3.
(1)求a的值及M2的表达式;
(2)点C是线段AB上的一个动点,过点C作X轴的
垂线,垂足为D,在CD的右侧作正方形CDEF.
①当点C的横坐标为2时,直线y=x∙n恰好经过
正方形CDEF的顶点F,求此时n的值;
②在点C的运动过程中,若直线^Xn与正方形CDEF始终没有公共点,求n的
取值范围(直接写出结果)
27.解:
(1)•••点A在直线y=X,且点A的横坐标是—3,
∙∙∙A(—3,—3)1••分
把A(—3,—3)代入y=ax24x,
(2)①由题意,C(2,2),
∙F(4,2).4分…
∙.∙直线y=X∙n经过点F,
∙2=4+n•
解得n=—2.5•分•
一次函数与二次函数图像的结合,一定要多画图像进行观察通常是找临界点进行观察计算
27.在平面直角坐标系XOy中,抛物线y=laχ2∙2x-a1与y轴交于C点,与X轴交于
2
A,B两点(点A在点B左侧),且点A的横坐标为-1.
设抛物线的顶点P关于原点的对称点为P',求点P'的坐标;
向左平移
(m0)个单位,平移后的图象记为图象G,若图象G与直线PP'无
交点,求
的取值范围.
27•解:
y
2
-
-1—%
-2Q
2
-2
-
(11:
A(-1,0)
1
在抛物线yaχ2∙2x-a1上,
2
1
•——a-2x-a1=0,
2
X
•••点P关于原点的对称点为
P',
(2)•抛物线表达式为y=-χ22x3.
•••抛物线y=—X22x3的顶点P的坐标为(1,4).
•P'的坐标为(-1,-4).
(3)直线PP'的表达式为
y=4x,
图象向下平移3个单位后,
A'的坐标为(-1,-3),B'的坐标为(
若图象G与直线PP'无交点,则B'要左移到M及左边,
令y代入PP',则X-_3,M的坐标为一?
一3,6分
4"丿
∙∙∙B'M=3—-3=15,
I4丿4
157分
•∙m..∙.7-分
4
二次函数与斜率不确定的一次函数结合题型,判断交点问题
2
关于X的一元二次方程一x+(m+1)x+(m+2)=0(m>0).
y
27.已知:
(1)
求证:
该方程有两个不相等的实数根;
(2)
当抛物线y=—X+(m+1)x+(m+2)经过点
(3,0),求该抛物线的表达式;
(3)
在
(2)的条件下,记抛物线y=—x2+(m+1)x+(m+2)
在第一象限之间的部分为图象G,如果直线
y=k(x+1)+4与图象G有公共点,请结合函数
O
-I
的图象,求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标
t的取值范围.
27.(本小题满分7分)
(1)
(2)
(3)
证明:
•••△=(m+1)2—4×(—1)×(m+2)
=(m+3)2.
■/m>0,
.∙.(m+3)2>0,
即△>0,
•••原方程有两个不相等的实数根•
解:
•••抛物线抛物线y=—x2+(m+1)x+(m+2)经过点(3,0),
•—3+3(m+1)+(m+2)=0,
•m=1.
2
y=—X+2x+3.
22
y=—X+2x+3=—(x—1)+4,该抛物线的顶点为(1,4).
当直线y=k(x+1)+4经过顶点(1,4)时,4=k(1+1)+4,k=0,y=4.
此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为
2
y=—X+2x+3,
当x=0时,y=3,
该抛物线与y轴的交点为(0,3).
此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为
3Vt≤4.
解:
••
4.
3.
一次函数与二次函数焦点个数问题
27.在平面直角坐标系Xoy中,抛物线y=2χ2+mx+n经过点A(-1,a),B(3,a),
且最低点的纵坐标为-4∙
(1)
yI
4LJ
3-
2-
求抛物线的表达式及a的值;
(2)
43210
1
23
设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D,点P是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在点A,B之间的部分为图象G(包含A,B两点)•如果直线DP与图象G恰有两个公共点,结合函数图象,求点P纵坐标t的取值范围•
2
27.解:
(1)•••抛物线y=2xmxn过点
A(-1,a),B(3,a),
•••抛物线的对称轴x=1..••….∙1分
•••抛物线最低点的纵坐标为-4,
•抛物线的顶点是(1,-4)..••….∙2分
•抛物线的表达式是y=2(x-1)2-4,
2
即y=2x-4x-2..∙∙3分
把A(-1,a)代入抛物线表达式,求出a=4..••…:
4分
(2)•••抛物线顶点C(1,-4)关于y轴的对称点为点D,∙∙∙D(-1,V).
求出直线CD的表达式为y=—4..••…••5分
求出直线BD的表达式为y=2x-2,当X=1时,y=0..••….-6分
所以-4:
t<0..••…:
7分
二次函数与一次函数结合焦点个数问题,多画图进行判断,注意临界点
12
27.在平面直角坐标系Xoy中,抛物线yX-X2与y轴交于点A,顶点为点B,点C
2
与点A关于抛物线的对称轴对称.
(1)求直线BC的解析式;
(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为4.将抛物线在点A,D之间的部分(包含点A,
D)记为图象G,若图象G向下平移t(t0)个单位后与直线BC只有一个公共点,求t的取值范围.
-5-4-3-2-1O
-1
1234
-l÷
5X
Ly
-2-3-4-5-6-7
27.(本小题满分7分)
解:
(1)t抛物线y=^x2-X2与y轴交于点A,•点A的坐标为(0,2).……
12123
•^=-X-X2(X-1)
222
又T点C与点A关于抛物线的对称轴对称,
•••点C的坐标为(2,2),且点C在抛物线上.
3
T直线BC经过点B(1,空)和点C(2,2),
•••抛物线的对称轴为直线x=1,顶点B的坐标为(1,-).
2
设直线BC的解析式为y=kx∙b.
分
分
2
k+b-3k_1
2kb=2.b=1.
•直线BC的解析式为
(2)∙∙∙抛物线y=1X2_x2中,
2
当X=4时,y=6,
•••点D的坐标为(4,6)∙4分
T直线y=丄X1中,
2
当X=O时,y=1,
当X=4时,y=3,
•••如图,点E的坐标为(0,1),
点F的坐标为(4,3)∙
设点A平移后的对应点为点A',点D平移后的对应点为点D
当图象G向下平移至点A'与点E重合时,点D'在直线BC上方,
此匕时t=1;5分
当图象G向下平移至点D'与点F重合时,点A'在直线BC下方,此时t=3∙
6分
结合图象可知,符合题意的t的取值范围是1vt≤3∙7分
2
27.在平面直角坐标系Xoy中,抛物线y=2x+mx+n经过点A(-1,a),B(3,a),
且最低点的纵坐标为-4.
(1)
yI
4-
3■
2-
1•
-4-3-2-10
-1-
-2-
-3「
-4-
求抛物线的表达式及a的值;
(2)设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D,点P是抛物线对称
轴上一动点,记抛物线在点A,B之间的部分为图象G(包含A,
B两点)•如果直线DP与图象G恰有两个公共点,结合函数图
象,求点P纵坐标t的取值范围•
2
27.解:
(1)•••抛物线y=2xmxn过点
A(-1,a),B(3,a),
•••抛物线的对称轴x=1..••….∙1分
•••抛物线最低点的纵坐标为-4,
•抛物线的顶点是(1,-4)..••….∙2分
•抛物线的表达式是y=2(x-1)2-4,
即y=2x2-4x-2..∙∙3分
把A(-1,a)代入抛物线表达式,求出a=4..•••••/4分
(2)•••抛物线顶点C(1,-4)关于y轴的对称点为点D,∙∙∙D(-1,7).
求出直线CD的表达式为y--4..••….-5分
求出直线BD的表达式为y=2x-2,当x=1时,y=0..••…••6分所以-4:
t<0..••…:
7分
27.在平面直角坐标系XQy中,抛物线y=^x2-X'2与y轴交于点A,顶点为点B,点C
与点A关于抛物线的对称轴对称.
(1)求直线BC的解析式;
(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为4.将抛物线在点A,D之间的部分(包含点A,
D)记为图象G,若图象G向下平移t(t0)个单位后与直线BC只有一个公共点,求t的取值范围.
-5-4-3-2-1O
-1-2-3-4
-5-6-7
27.(本小题满分7分)
解:
(1)t抛物线y=^x2-X2与y轴交于点A,•点A的坐标为(0,2).……
12123
•^=-X-X2(X-1)
222
又T点C与点A关于抛物线的对称轴对称,
•••点C的坐标为(2,2),且点C在抛物线上.
3
T直线BC经过点B(1,空)和点C(2,2),
•••抛物线的对称轴为直线x=1,顶点B的坐标为(1,-).
2
设直线BC的解析式为y=kx∙b.
分
分
2
k+b-3k_1
2kb=2.b=1.
•直线BC的解析式为
(2)T抛物线y=lχ2_X2中,
2
当X=4时,y=6,
•••点D的坐标为(4,6)∙4分
T直线y=1X1中,
2
当X=0时,y=1,
当X=4时,y=3,
•••如图,点E的坐标为(0,1),
点F的坐标为(4,3)∙
设点A平移后的对应点为点A',点D平移后的对应点为点D
当图象G向下平移至点A'与点E重合时,点D'在直线BC上方,
此匕时t=1;5分
当图象G向下平移至点D'与点F重合时,点A'在直线BC下方,此时t=3∙
6分
结合图象可知,符合题意的t的取值范围是1:
:
:
tw3∙7分
27.二次函数y=ax2∙bx∙c(a=0)的图象与一次函数y1=x∙b的图象交于A(0,1)、
B两点,C(1,0)为二次函数图象的顶点•
(1)求二次函数y=ax2∙bx∙c(a^0)的表达式;
在所给的平面直角坐标系中画出二次函数y=ax2∙bx∙c(a=0)的图象和一次函
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X轴有三个交点时,直接写出m的取值范围.
(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)2,
27.解:
由抛物线过点A(0,1),可得y=x2-2x•1
注意区间是否含有
2.
27.已知二次函数屮=Xbxc的图象G经过(-1,0),(0,-3)两点.
(1)求CI对应的函数表达式;
(2)将G先向左平移1个单位,再向上平移4个单位,得到抛物线C2,将C2对应的函数
表达式记为y2=Xmxn,求C2对应的函数表达式;
(3)设y3=2x∙3,在
(2)的条件下,如果在_2≤X≤a内存在某一个X的值,使得y2
图7
•••抛物线C1的顶点为(1,-4).4分
•••平移后抛物线C2的顶点为(0,0),它对应的函数表达式为y2=X2.…5分
(3)a≥-1(见图7).7分
23.在平面直角坐标系Xoy中,抛物线y=mx2+2x∙m2•2的开口向下,且抛物线与y
轴的交于点A,与X轴交于B,C两点,(B在C左侧)•点A的纵坐标是3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)
-2
-3
-4
-5
求直线AB的解析式;
(3)将抛物线在点C左侧的图形(含点C)记为G.
若直线y=kx∙n(n:
:
:
0)与直线AB平行,且与
图形G恰有一个公共点,结合函数图象写出n的
取值范围•
23.
(1)
22
■■抛物线y=mx+2xm1与y轴的交点A的纵坐标是3
22
m0+20m2=3解得:
m=1分……1
;抛物线开口向下∙m=-1
2
.抛物线的解析式为y--X+2x■3..分2
(2)由
(1)可知B(-1,0),C(3,0).设AB的解析式为y=kx∙m.
丄m=3
1m=3
则
解得:
-km=O
lk=3
■AB的解析式为:
y-3x■3
分
..4
⑶当y=3xn经过(3,0)点时,n--9分.5
结合图象可知,
n的取值范围是n:
:
:
-9.
分
12
27.抛物线Cry=2xbxc与y轴交于点C(0,3),其对称轴与X轴交于点A(2,0).
(1)求抛物线C1的解析式;
(2)将抛物线Ci适当平移,使平移后的抛物线C2的顶点为D(0,k).已知点B(2,2),
若抛物线C2与厶OAB的边界总有两个公共点,请结合函数图象,求k的取值范围.
•••抛物线y=
■2分
3分
4分
5分
.∙.c=3;
12
-X2bxc的对称轴为X=2,
2
bO
27.解:
(1)∙∙∙抛物线
y十2
bxC与y轴交于点
C(0,3),
2,
2丄
2
解得b=-2,
12
•••抛物线C1的解析式为yx-2x3.
212
(2)由题意,抛物线C2的解析式为yXk.
22
12
当抛物线经过点A(2,0)时,22k=0,
2
解得k=「2.
∙∙∙O(0,0),B(2,2),
•直线OB的解析式为y=X.
y=χ,
12y^x
得χ2—2x+2k=O,(*)
21
当△=(一2)2_412k=O,即k时,6分
2
抛物线C2与直线OB只有一个公共点,
此时方程(*)化为X2-2x•1=0,解得χ=1,
即公共点P的横坐标为1,点P在线段OB上.
1
∙∙∙k的取值范围是_2:
:
k:
:
—.
2
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- 二次 函数 一次 结合