第12章 全等三角形 人教版八年级上册数学尖子生训练题含答案.docx
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第12章全等三角形人教版八年级上册数学尖子生训练题含答案
第十二章《全等三角形》尖子生训练题
满分:
100分时间:
90分钟
一.选择题(每题3分,共30分)
1.△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为6cm,4cm,4cm,P为三条角平分线的交点,则△ABP,△BCP,△ACP的面积比等于( )
A.1:
1:
1B.2:
2:
3C.2:
3:
2D.3:
2:
2
2.如图,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别是E,F,且DE=BF,若利用“HL”证明△DEC≌△BFA,则需添加的条件是( )
A.EC=FAB.DC=BAC.∠D=∠BD.∠DCE=∠BAF
3.下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是( )
A.AB=4,BC=5,∠C=60°B.AB=6,∠C=60°,∠B=70°
C.AB=4,BC=5,CA=10D.∠C=60°,∠B=70°,∠A=50°
4.如图,聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分,他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形,那么聪聪画图的依据是( )
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
5.如图所示,在下列条件中,不能判断△ABD≌△BAC的条件是( )
A.∠D=∠C,∠BAD=∠ABCB.∠BAD=∠ABC,∠ABD=∠BAC
C.BD=AC,∠BAD=∠ABCD.AD=BC,BD=AC
6.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.
如图:
一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:
“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是( )
A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.以上均不正确
7.如图,已知:
在△AFD和△CEB,点A、E、F、C在同一直线上,在给出的下列条件中,①AE=CF,②∠D=∠B,③AD=CB,④DF∥BE,选出三个条件可以证明△AFD≌△CEB的有( )组.
A.4B.3C.2D.1
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,下列结论:
①CD=ED;②AC+BE=AB;③∠BDE=∠BAC;④BE=DE;⑤S△BDE:
S△ACD=BD:
AC,其中正确的个数为( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
9.如图,直线a、b、c表示三条公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
A.一处B.两处C.三处D.四处
10.如图,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件之一:
①AB=AE;②BC=ED;③∠C=∠D;④∠B=∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二.填空题(每题4分,共20分)
11.如图,点E,F在AC上,AD=BC,DF=BE,要使△ADF≌△CBE,需添加一个条件是 .(只需添加一个条件即可)
12.在△ABC中,已知∠A=60°,∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点O,∠BOC的平分线交BC于F,则下列说法中正确的是 .
①∠BOE=60°,②∠ABD=∠ACE,③OE=OD④BC=BE+CD
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,若BD=5,BD:
CD=5:
3,AB=10,则△ABD的面积是 .
14.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:
如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合.过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线.这种做法是利用了全等三角形对应角相等,图中判断三角形全等的依据是 .
15.如图,在△ABC中,AB=10,AC=5,AD是角平分线,CE是高,过点D作DF⊥AB,垂足为F,若DF=
,则线段CE的长是 .
三.解答题(每题10分,共50分)
16.如图,△ABC和△EBD中,∠ABC=∠DBE=90°,AB=CB,BE=BD,连接AE,CD,AE与CD交于点M,AE与BC交于点N.
(1)求证:
AE=CD;
(2)求证:
AE⊥CD;
(3)连接BM,有以下两个结论:
①BM平分∠CBE;②MB平分∠AMD.其中正确的有 (请写序号,少选、错选均不得分).
17.如图,点C在线段BD上,且AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,BC=DE.求证:
AB=CD.
18.如图所示,在△ABE和△ACD中,给出以下4个论断:
(1)AB=AC;
(2)AD=AE;
(3)BE=CD;
(4)∠DAM=∠EAN.
以其中3个论断为题设,填入下面的“已知”栏中,1个论断为结论,填入下面的“求证”栏中,使之组成一个正确的命题,并写出证明过程.
已知:
;
求证:
.
19.如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=12,点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动,点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动,连接AD、DE,设D、E两点运动时间为t秒(0<t<4)
(1)运动 秒时,AE=
DC;
(2)运动多少秒时,△ABD≌△DCE能成立,并说明理由;
(3)若△ABD≌△DCE,∠BAC=α,则∠ADE= (用含α的式子表示).
20.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为A(0,m)、B(n,0),且|m﹣n﹣3|+
=0,点P从A出发,以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动,设点P的运动时间为t秒.
(1)求OA、OB的长;
(2)连接PB,设△POB的面积为S,用t的式子表示S;
(3)过点P作直线AB的垂线,垂足为D,直线PD与x轴交于点E,在点P运动的过程中,是否存在这样的点P,使△EOP≌△AOB?
若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
一.选择题
1.解:
∵P为三条角平分线的交点,
∴点P到△ABC三边的距离相等,
∵AB,BC,CA的长分别为6cm,4cm,4cm,
∴△ABP,△BCP,△ACP的面积比=6:
4:
4=3:
2:
2.
故选:
D.
2.解:
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEC=∠BFA=90°,
∵DE=BF,
∴当添加条件DC=BA时,可利用“HL”证明△DEC≌△BFA.
故选:
B.
3.解:
A、若已知AB、BC与∠B的大小,则根据SAS可判定其形状和大小,故本选项错误;
B、有两个角的大小,也就相当于有了三角形的三个角,又有一边的长,所以根据AAS或ASA可确定三角形的大小和形状,故本选项正确.
C、由于AB=4,BC=5,CA=10,所以AB+BC<10,三角形不存在,故本选项错误;
D、有三个角的大小,但又没有边长,故其形状也不确定,故本选项错误.
故选:
B.
4.解:
根据题意,三角形的两角和它们的夹边是完整的,所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形.
故选:
C.
5.解:
A、符合AAS,能判断△ABD≌△BAC;
B、符合ASA,能判断△ABD≌△BAC;
C、不能判断△ABD≌△BAC;
D、符合SSS,能判断△ABD≌△BAC.
故选:
C.
6.解:
(1)如图所示:
过两把直尺的交点P作PE⊥AO,PF⊥BO,
∵两把完全相同的长方形直尺,
∴PE=PF,
∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上),
故选:
A.
7.解:
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE,
∵DF∥BE,
∴∠DFA=∠BEC,
∴若①②③为条件,不能证明△AFD≌△CEB,
若①②④为条件,能证明△AFD≌△CEB(AAS),
若①③④为条件,不能证明△AFD≌△CEB,
若②③④为条件,能证明△AFD≌△CEB(AAS),
故选:
C.
8.解:
①正确,∵在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,
∴CD=ED;
②正确,因为由HL可知△ADC≌△ADE,所以AC=AE,即AC+BE=AB;
③正确,因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余,根据同角的补角相等,所以∠BDE=∠BAC;
④错误,因为∠B的度数不确定,故BE不一定等于DE;
⑤错误,因为CD=ED,△ABD和△ACD的高相等,所以S△BDE:
S△ACD=BE:
AC.
故选:
C.
9.解:
∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等,
∴△ABC内角平分线的交点满足条件;
如图:
点P是△ABC两条外角平分线的交点,
过点P作PE⊥AB,PD⊥BC,PF⊥AC,
∴PE=PF,PF=PD,
∴PE=PF=PD,
∴点P到△ABC的三边的距离相等,
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等,满足这条件的点有3个;
综上,到三条公路的距离相等的点有4个,
∴可供选择的地址有4个.
故选:
D.
10.解:
∵∠1=∠2,
∴∠CAB=∠DAE,
∵AC=AD,
∴当AB=AE时,可根据“SAS”判断△ABC≌△AED;
当BC=ED时,不能判断△ABC≌△AED;
当∠C=∠D时,可根据“ASA”判断△ABC≌△AED;
当∠B=∠E时,可根据“AAS”判断△ABC≌△AED
.
故选:
C.
二.填空题(共5小题)
11.解:
当∠D=∠B时,
在△ADF和△CBE中
∵
,
∴△ADF≌△CBE(SAS),
故答案为:
∠D=∠B.(答案不唯一)
12.解:
①如图,∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣60°=120°,
∵BD、CE分别是∠ABC和∠BCA的平分线,
∴∠OBC+∠OCB=
×120°=60°,
∴∠BOE=∠OBC+∠OCB=60°
故①正确;
②∵BD、CE分别是∠ABC和∠BCA的平分线,
∴∠ABD=
∠ABC,∠ACE=
∠ACB,
当AB=AC时,∠ABC=∠ACB,
而已知AB和AC没有相等关系,
故②不正确;
③∵∠OBC+∠OCB=60°,
∴∠BOC=120°,
∵OF平分∠BOC,
∴∠BOF=∠COF=60°,
∴∠BOE=60°,
∴∠BOE=∠BOF,
在△BOE和△BOF中,
∵
,
∴△BOE≌△BOF(ASA),
∴OE=OF,
同理得:
△CDO≌△CFO,
∴OD=OF,
∴OD=OE,
故③正确;
④∵△BOE≌△BOF,△CDO≌△CFO,
∴BF=BE,CF=CD,
∴BC=CF+BF=BE+CD,
故④正确;
则下列说法中正确的是:
①③④
故答案为①③④.
13.解:
过D作DE⊥AB于E,
∵AD平分∠BAC,∠C=90°,
∴DE=DC,
∵BD=5,BD:
CD=5:
3,
∴CD=3,
∵在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,
∴DE=CD=3,
∵AB=10,
∴△ABD的面积是:
AB•DE=
×10×3=15.
故答案为:
15.
14.解:
由图可知,CM=CN,又OM=ON,
∵在△MCO和△NCO中
,
∴△COM≌△CON(SSS),
∴∠AOC=∠BOC,
即OC是∠AOB的平分线.
故答案为:
SSS.
15.解:
∵AD是角平分线,
∴
=
=
=2,
∵CE是高,DF⊥AB,
∴DF⊥CE,
∴
=
=
,
∴CE=
DF=
×
=4.
故答案为4.
三.解答题(共5小题)
16.
(1)证明:
∵∠ABC=∠DBE,
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE,
即∠ABE=∠CBD,
在△ABE和△CBD中,
,
∴△ABE≌△CBD,
∴AE=CD.
(2)∵△ABE≌△CBD,
∴∠BAE=∠BCD,
∵∠NMC=180°﹣∠BCD﹣∠CNM,∠ABC=180°﹣∠BAE﹣∠ANB,
又∠CNM=∠ANB,
∵∠ABC=90°,
∴∠NMC=90°,
∴AE⊥CD.
(3)结论:
②
理由:
作BK⊥AE于K,BJ⊥CD于J.
∵△ABE≌△CBD,
∴AE=CD,S△ABE=S△CDB,
∴
•AE•BK=
•CD•BJ,
∴BK=BJ,∵作BK⊥AE于K,BJ⊥CD于J,
∴BM平分∠AMD.
不妨设①成立,则△CBM≌△EBM,则AB=BD,显然不可能,故①错误.
故答案为②.
17.证明:
∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,
∴∠ACE=∠ABC=∠CDE=90°,
∴∠ACB+∠ECD=90°,∠ECD+∠CED=90°,
∴∠ACB=∠CED.
在△ABC和△CDE中,
,
∴△ABC≌△CDE(ASA),
∴AB=CD.
18.解:
已知:
AB=AC,AD=AE,BE=CD.
求证:
∠DAM=∠EAN.
证明:
在△ADC和△AEB中,
,
∴△ADC≌△AEB(SSS),
∴∠DAC=∠EAB,即∠DAM+∠BAC=∠EAN+∠BAC,
则∠DAM=∠EAN.
故答案为:
AB=AC,AD=AE,BE=CD;∠DAM=∠EAN.
19.解:
(1)由题可得,BD=CE=2t,
∴CD=12﹣2t,AE=8﹣2t,
∴当AE=
DC,时,8﹣2t=
(12﹣2t),
解得t=3,
故答案为:
3;
(2)当△ABD≌△DCE成立时,AB=CD=8,
∴12﹣2t=8,
解得t=2,
∴运动2秒时,△ABD≌△DCE能成立;
(3)当△ABD≌△DCE时,∠CDE=∠BAD,
又∵∠ADE=180°﹣∠CDE﹣∠ADB,∠B=∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB,
∴∠ADE=∠B,
又∵∠BAC=α,AB=AC,
∴∠ADE=∠B=
(180°﹣α)=90°﹣
α.
故答案为:
90°﹣
α.
20.解:
(1)∵|m﹣n﹣3|+
=0,
且|m﹣n﹣3|≥0,
≥0
∴|m﹣n﹣3|=
=0,
∴n=3,m=6,
∴点A(0,6),点B(3,0).
∴OA=6,OB=3;
(2)连接PB,
t秒后,AP=t,OP=|6﹣t|,
∴S=
OP•OB=
|6﹣t|;(t≥0)
(3)作出图形,
∵∠OAB+∠OBA=90°,∠OAB+∠APD=90°,∠OPE=∠APD,
∴∠OBA=∠OPE,
∴只要OP=OB,即可求证△EOP≌△AOB,
∴AP=AO﹣OP=3,或AP′=OA+OP′=9
∴t=3或9.
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