北师大版八年级数学下册第四单元相似图形复习.docx
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北师大版八年级数学下册第四单元相似图形复习
第四章《相似图形》复习
Ⅰ.梳理知识
一、线段的比及比例线段
1.线段的比:
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB∶CD=,或写成,其中,线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项.
2.比例尺:
图上距离:
实际距离=比例尺
练一练:
在比例尺1:
6000000的地图上,量的南京到北京的距离是15cm,则两地实际距离是?
3.比例线段:
四条线段a,b,c,d中,如果a:
b=c:
d,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.
概念理解:
(1)线段a、b、c、d若a:
b=c:
d,则线段a、b、c、d成比例
(2)线段a、b、c、d成比例,则a:
b=c:
d(注意有序性)
练一练:
(1)已知四条线段的长度a=1.5cm,b=2cm,c=2.8cm,d=2.1cm,它们(是或不是)成比例线段。
(2)若a,b,c,d成比例线段,其中a=3cm,b=2cm,d=4cm,则c=
(3)已知三个数1、2、4,请你再添上一个数,使它们四个数成比例(只写一个即可)
4、
(1)比例的基本性质:
a:
b=c:
d
ad=bc(比例式与等积式相互转化)
(2)合比性质:
如果a:
b=c:
d,那么。
(3)等比性质:
如果a:
b=c:
d=e:
f=……=m:
n(b+d+…+n≠0),那么
练一练:
1.已知线段2x=3y,把它改写成比例式,正确的是()
2.若3x-4y=0,则
?
;若
,则
=
3.已知
,且3a-2b+c=18,则2a+4b-3c=28
4.若
=k,则y=kx-5的图像一定经过第三、四象限
二、黄金分割:
1.定义:
:
在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果BC:
AC=AC:
AB,(较短:
较长=较长:
原长)那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比(或BC与AC的比)叫做黄金比.其中
=
≈0.618.一条线段有两个黄金分割点。
2.练一练
(1)点C是AB的黄金分割点,且AC>BC,下列说法正确的是(D)
AC=
AB;BC:
AC=AC:
AB;AC2=BC.AB;AC≈0.618AB
A:
1个B:
2个C:
3个D:
4个
(2)点C是AB的黄金分割点,且AB=4,则AC=?
(3)点C、D是AB的两个黄金分割点,若CD=5,则AB=
三、相似多边形、相似三角形的定义、性质与判定
1.相似多边形的定义:
叫相似多边形。
相似比:
————————————————.
例题:
(1)两个矩形一定相似吗?
两个菱形一定相似吗?
、
(2)如图,在四边形ABCD中,点E、O、F分别在AB、AC、AD上,且AE=
AB,AO=
ACAF=
AD
(1)四边形AEFO与四边形ABCD相似吗?
(2)求s四边形AEOF:
s四边形ABCD的值
2.三角形相似的条件
(1),两三角形相似.
(2),两三角形相似.
(3),两三角形相似.
3.如何寻找和发现相似三角形
两个三角形相似,一般说来必须具备下列六种图形之一:
只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形,并能根据问题需要舔加适当的辅助线,构造出基本图形,从而使问题得以解决.
4.相似三角形与相似多边形的性质
(1)相似三角形的性质
①相似三角形的三边,三角.
②相似三角形的,与都等于相似比.
③相似三角形周长之比等于,相似三角形面积之比等于.
(2)相似多边形的性质
①相似多边形的对应边,对应角.
②相似多边形的对角线之比、周长之比都等于.
③相似多边形面积之比等于.
5.几何变换(按一定的方法把一个图形变成另一个图形)
(1)相似变换:
保持图形的形状不变的几何变换叫做相似变换
(2)位似变换
①位似图形:
如果两个图形不仅是图形,而且每组对应点所在的直线都,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做,这时的相似比又称为.
②位似图形的性质:
位似图形上任意一对对应点到的距离之比等于位似比.
6.相似三角形的应用——测量旗杆的高度(利用阳光下的影子;利用标杆;利用镜子的反射.)
Ⅱ.典例剖析
例1.如图,DE∥BC,SΔDOE∶SΔCOB=4∶9,求AD∶BD.
例2.如图,四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F.
(1)ΔABE与ΔADF相似吗?
说明理由.
(2)ΔAEF与ΔABC相似吗?
说说你的理由.
例3.如图,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.
(1)如图
(1),四边形DEFG为ABC的内接正方形,求正方形的边长.
(2)如图
(2),三角形内有并排的两个相等的正方形,它们组成的矩形内接于ΔABC,求正方形的边长.
(3)如图(3),三角形内有并排的三个相等的正方形,它们组成的矩形内接于ΔABC,求正方形的边长.
(4)如图(4),三角形内有并排的n个相等的正方形,它们组成的矩形内接于ΔABC,请写出正方形的边长.
Ⅲ.同步测试
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、在相同时刻的物高与影长成比例,如果高为1.5米的测竿的影长为2.5米,那么影长为30米的旗杆的高是()
A.20米.B.18米C.16米D.15米
2、如图,D、E分别是AB、AC上两点,CD与BE相交于点O,下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是()
A.∠B=∠CB.∠ADC=∠AEBC.BE:
CD=AB:
ACD.AD∶AC=AE∶AB
3、如图所示,D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的点,DE∥BC,并且AD∶BD=2,那么SΔADE∶S四边形DBCE=()
(A)
(B)
(C)
(D)
4.在矩形ABCD中,E、F分别是CD、BC上的点,若∠AEF=90°,则一定有()
(A)ΔADE∽ΔAEF(B)ΔECF∽ΔAEF(C)ΔADE∽ΔECF(D)ΔAEF∽ΔABF
(第2题图)(第3题图)(第4题图)(第5题图)
5、厨房角柜的台面是三角形(如图所示),如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石(图中阴影部分),其余部分铺成白色大理石,则黑色大理石面积与白色大理石的面积之比是()
A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶5
6、如图,在大小为4×4的正方形网格中,是相似三角形的是()
①②③④
A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④
7、如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2m,桌面距离地面1m,若灯泡O距离地面3m,则地面上阴影部分的面积为()
A.0.36πm2B.0.81πm2C.2πm2D.3.24πm2
8、如图,直线l1∥l2,AF∶FB=2∶3,BC∶CD=2∶1,则AE∶EC是()
A.5∶2B.4∶1C.2∶1D.3∶2
9、如图,三个正六边形全等,其中成位似图形关系的有()
A.4对B.1对C.2对D.3对
(第7题图)(第8题图)(第9题图)(第10题图)
10、平面直角坐标系中,有一条“鱼,它有六个顶点”,则()
A.将各点横坐标乘以2,纵坐标不变,得到的鱼与原来的鱼位似
B.将各点纵坐标乘以2,横坐标不变,得到的鱼与原来的鱼位似
C.将各点横、纵坐标都乘以2,得到的鱼与原来的鱼位似
D.将各点横坐标乘以2,纵坐标乘以
,得到的鱼与原来的鱼位似
二、填空题(每小题4分,共20分)
11、两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm,如果它们的面积之和为130cm2,那么较小的多边形的面积是cm2.
12、如图,DE与BC不平行,当
=时,ΔABC与ΔADE相似.
(第12题图)(第13题图)(第14题图)(第15题图)
13、如图,AD=DF=FB,DE∥FG∥BC,则SⅠ∶SⅡ∶SⅢ=.
14、如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在CB、CD上滑动,当CM=时,ΔAED与N,M,C为顶点的三角形相似.
15、如图,在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合),当点C的坐标为或时,使得由点B、O、C组成的三角形与ΔAOB相似(至少写出两个满足条件的点的坐标).
三、解答题(每小题8分,共40分)
16、如图,ΔABC中,BC=a.
(1)若AD1=
AB,AE1=
AC,则D1E1=;
(2)若D1D2=
D1B,E1E2=
E1C,则D2E2=;
(3)若D2D3=
D2B,E2E3=
E2C,则D3E3=;
……
(4)若Dn-1Dn=
Dn-1B,En-1En=
En-1C,则DnEn=.
17、已知:
如图,ΔABC中,∠B=∠C=30°.请你设计三种不同的分法,将ΔABC分割成四个三角形,使得其中两个是全等三角形,而另外两个是相似三角形但不全等的直角三角形.请画出分割线段,标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数或记号,并在各种分法的空格线上填空.(画图工具不限,不要求写出画法,不要求说明理由).
分法一分法二分法三
分法一:
分割后所得的四个三角形中,Δ≌Δ,RtΔ∽RtΔ.
分法二:
分割后所得的四个三角形中,Δ≌Δ,RtΔ∽RtΔ.
分法三:
分割后所得的四个三角形中,Δ≌Δ,RtΔ∽RtΔ.
18、在比例尺为1∶5000的地图上,一块多边形地区的周长是72cm,面积是320cm2,求这个地区的实际周长和面积.
19、如图,ΔABC中,BD是角平分线,过D作DE∥AB交BC于点E,AB=5cm,BE=3cm,求EC的长.
20、如图,四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.
(1)⊿ACF与⊿ACG相似吗?
说说你的理由.
(2)求∠1+∠2的度数.
五、(本题10分)
21、在ΔABC中,AB=4
如图
(1)所示,DE∥BC,DE把ΔABC分成面积相等的两部分,即SⅠ=SⅡ,求AD的长.
如图
(2)所示,DE∥FG∥BC,DE、FG把ΔABC分成面积相等的三部分,即SⅠ=SⅡ=SⅢ,求AD的长.
如图(3)所示,DE∥FG∥HK∥…∥BC,DE、FG、HK、…把ΔABC分成面积相等的n部分,SⅠ=SⅡ=SⅢ=…,请直接写出AD的长.
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- 北师大 八年 级数 下册 第四 单元 相似 图形 复习