一元二次方程重点题型全.docx
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一元二次方程重点题型全
一元二次方程重点题型
一.选择题(共7小题)
定义
1.(2016•凉山州模拟)下列方程中,一元二次方程共有( )个
①x2﹣2x﹣1=0;②ax2+bx+c=0;③
+3x﹣5=0;④﹣x2=0;⑤(x﹣1)2+y2=2;⑥(x﹣1)(x﹣3)=x2.
A.1B.2C.3D.4
一般形式
2.(2016春•荣成市期中)关于x的方程(m﹣3)x
﹣mx+6=0是一元二次方程,则它的一次项系数是( )
A.﹣1B.1C.3D.3或﹣1
3.(2016春•宁国市期中)方程2x2﹣6x﹣9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A.6;2;9B.2;﹣6;﹣9C.2;﹣6;9D.﹣2;6;9
一元二次方程的解
4.(2016•山西校级模拟)已知一元二次方程ax2+bx+c=0,若a+b+c=0,则该方程一定有一个根为( )
A.0B.1C.﹣1D.2
5.(2016•诏安县校级模拟)关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值为( )
A.1B.﹣1C.1或﹣1D.
6.(2016•济宁校级模拟)一元二次方程ax2+bx+c=0,若4a﹣2b+c=0,则它的一个根是( )
A.﹣2B.
C.﹣4D.2
7.(2015•诏安县校级模拟)方程(x﹣1)2=2的根是( )
A.﹣1,3B.1,﹣3C.
,
D.
,
二.填空题(共12小题)
8.(2016春•长兴县月考)用配方法将方程x2+6x﹣7=0化为(x+m)2=n的形式为 .
9.(2016•罗平县校级模拟)如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米2,则道路的宽应为多少米?
设道路的宽为x米,则可列方程为 .
(9题)
(10题)
10.学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形,为便于管理,现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道(如图),要使种植面积为600平方米,求小道的宽.若设小道的宽为x米,则可列方程为 .
11.(2016•丹东模拟)某药店响应国家政策,某品牌药连续两次降价,由开始每盒16元下降到每盒14元.设每次降价的平均百分率是x,则列出关于x的方程是 .
11.(2016•松江区二模)某商品原价289元,经连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,那么根据题意可列关于x的方程是 .
12.(2016•萧山区模拟)某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:
每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,在顾客得实惠的前提下,商家还想获得6080元的利润,应将销售单价定位多少元?
15.(2015•东西湖区校级模拟)商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.据此规律计算:
每件商品降价 元时,商场日盈利可达到2100元.
13.在一次同学聚会上,若每两人握一次手,一共握了45次手,则参加这次聚会的同学一共有 名.
16.(2015•东西湖区校级模拟)某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样多数目的小分支,主干、支干、小分支一共是91个,则每个支干长出的小分支数目为 .
17.(2015春•乳山市期末)如图,一块矩形铁皮的长是宽的2倍,将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形,做成一个无盖的盒子,若盒子的容积是240cm3,则原铁皮的宽为 cm.
18.(2015秋•洪山区期中)卫生部门为控制流感的传染,对某种流感研究发现:
若一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,若按此传染速度,第三轮传染后,患流感人数共有 人.
19.(2015秋•临汾校级月考)如图,要建一个面积为130m2的仓库,仓库的一边靠墙(墙长16m)并在与墙平行的一边开一道1m宽的门,现有能围成32m长的木板,仓库的长和宽分别为 m与 m.
三.解答题(共11小题)
20.(2015春•沂源县期末)解下列方程:
(1)x2﹣2x=2x+1(配方)
(2)2x2﹣2
x﹣5=0(公式)①x2﹣2x﹣8=0(因式分解)
②(x﹣4)2=9(直接开)③2x2﹣4x﹣1=0(公式)④x2+8x﹣9=0(配方)
22.(2015春•阜宁县期末)选用适当的方法解下列方程:
(1)x2﹣6x=7
(2)2x2﹣6x﹣1=0(3)3x(x+2)=5(x+2)
23.(2016•唐河县一模)已知关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)当m取满足条件的最大整数时,求方程的根.
24.(2016•洛阳模拟)已知关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2=0
(1)当m取什么值时,原方程没有实数根;
(2)对m选取一个合适的非零整数,使原方程有两个不相等的实数根,并求出这两个实数根.
25.(2016•信阳一模)已知关于x的一元二次方程x2﹣(k+3)x+3k=0.
(1)求证:
不论k取何实数,该方程总有实数根.
(2)若等腰△ABC的一边长为2,另两边长恰好是方程的两个根,求△ABC的周长.
26.(2016•西峡县二模)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x﹣3=0.
(1)若原方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)若原方程的一个根是1,求此时m的值及方程的另外一个根.
27.(2016•平武县一模)已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.
(1)求证:
无论k取任何实数时,方程总有实数根.
(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2?
若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
28.(2016•宛城区一模)已知关于x的方程mx2﹣(m+2)x+2=0
(1)求证:
不论m为何值,方程总有实数根;
(2)若方程的一个根是2,求m的值及方程的另一个根.
29.(2015秋•余干县校级期末)已知x2+y2+6x﹣4y+13=0,求(xy)﹣2.
30.(2016•洪泽县一模)如图,要设计一本画册的封面,封面长40cm,宽30cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的
,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位,参考数据:
≈2.236).
2016年06月03日2456000759的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共7小题)
1.(2016•凉山州模拟)下列方程中,一元二次方程共有( )个
①x2﹣2x﹣1=0;②ax2+bx+c=0;③
+3x﹣5=0;④﹣x2=0;⑤(x﹣1)2+y2=2;⑥(x﹣1)(x﹣3)=x2.
A.1B.2C.3D.4
【解答】解:
①x2﹣2x﹣1=0,符合一元二次方程的定义;
②ax2+bx+c=0,没有二次项系数不为0这个条件,不符合一元二次方程的定义;
③
+3x﹣5=0不是整式方程,不符合一元二次方程的定义;
④﹣x2=0,符合一元二次方程的定义;
⑤(x﹣1)2+y2=2,方程含有两个未知数,不符合一元二次方程的定义;
⑥(x﹣1)(x﹣3)=x2,方程整理后,未知数的最高次数是1,不符合一元二次方程的定义.
一元二次方程共有2个.
故选:
B.
2.(2016春•荣成市期中)关于x的方程(m﹣3)x
﹣mx+6=0是一元二次方程,则它的一次项系数是( )
A.﹣1B.1C.3D.3或﹣1
【解答】解:
由题意得:
m2﹣2m﹣1=2,m﹣3≠0,
解得m=±1.
故选:
B.
3.(2016春•宁国市期中)方程2x2﹣6x﹣9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A.6;2;9B.2;﹣6;﹣9C.2;﹣6;9D.﹣2;6;9
【解答】解:
∵方程一般形式是2x2﹣6x﹣9=0,
∴二次项系数为2,一次项系数为﹣6,常数项为﹣9.
故选B.
4.(2016•山西校级模拟)已知一元二次方程ax2+bx+c=0,若a+b+c=0,则该方程一定有一个根为( )
A.0B.1C.﹣1D.2
【解答】解:
依题意,得c=﹣a﹣b,
原方程化为ax2+bx﹣a﹣b=0,
即a(x+1)(x﹣1)+b(x﹣1)=0,
∴(x﹣1)(ax+a+b)=0,
∴x=1为原方程的一个根,
故选B.
5.(2016•诏安县校级模拟)关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值为( )
A.1B.﹣1C.1或﹣1D.
【解答】解:
根据题意得:
a2﹣1=0且a﹣1≠0,
解得:
a=﹣1.
故选B.
6.(2016•济宁校级模拟)一元二次方程ax2+bx+c=0,若4a﹣2b+c=0,则它的一个根是( )
A.﹣2B.
C.﹣4D.2
【解答】解:
将x=﹣2代入ax2+bx+c=0的左边得:
a×(﹣2)2+b×(﹣2)+c=4a﹣2b+c,
∵4a﹣2b+c=0,
∴x=﹣2是方程ax2+bx+c=0的根.
故选A.
7.(2015•诏安县校级模拟)方程(x﹣1)2=2的根是( )
A.﹣1,3B.1,﹣3C.
,
D.
,
【解答】解:
x﹣1=±
∴x=1±
.
故选C.
二.填空题(共12小题)
8.(2016春•长兴县月考)用配方法将方程x2+6x﹣7=0化为(x+m)2=n的形式为 (x﹣3)2=2 .
【解答】解:
移项,得
x2﹣6x=﹣7,
在方程两边加上一次项系数一半的平方得,
x2﹣6x+9=﹣7+9,
(x﹣3)2=2.
故答案为:
(x﹣3)2=2.
9.(2016•罗平县校级模拟)如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米2,则道路的宽应为多少米?
设道路的宽为x米,则可列方程为 (100﹣x)(80﹣x)=7644 .
【解答】解:
设道路的宽应为x米,由题意有
(100﹣x)(80﹣x)=7644,
故答案为:
(100﹣x)(80﹣x)=7644.
10.(2016•丹东模拟)某药店响应国家政策,某品牌药连续两次降价,由开始每盒16元下降到每盒14元.设每次降价的平均百分率是x,则列出关于x的方程是 16(1﹣x)2=14 .
【解答】解:
设该药品平均每次降价的百分率是x,根据题意得16×(1﹣x)(1﹣x)=14,
整理得:
16(1﹣x)2=14.
故答案为:
16(1﹣x)2=14.
11.(2016•松江区二模)某商品原价289元,经连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,那么根据题意可列关于x的方程是 289(1﹣x)2=256 .
【解答】解:
根据题意可得两次降价后售价为289(1﹣x)2,
即方程为289(1﹣x)2=256.
故答案为:
289(1﹣x)2=256.
12.(2016•萧山区模拟)某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:
每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,在顾客得实惠的前提下,商家还想获得6080元的利润,应将销售单价定位多少元?
【解答】解:
设每件降价为x元,
则(60﹣x﹣40)(300+20x)=6080,
得x2﹣5x+4=0,
解得x=4或x=1,
要使顾客实惠,则x=4,
定价为60﹣4=56元.
答:
应将销售单价定位56元.
13.(2016•南岗区模拟)在一次同学聚会上,若每两人握一次手,一共握了45次手,则参加这次聚会的同学一共有 10 名.
【解答】解:
设这次参加聚会的同学有x人,则每人应握(x﹣1)次手,由题意得:
x(x﹣1)=45,
即:
x2﹣x﹣90=0,
解得:
x1=10,x2=﹣9(不符合题意舍去)
故参加这次聚会的同学共有10人.
故答案是:
10.
14.(2015•平定县一模)学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形,为便于管理,现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道(如图),要使种植面积为600平方米,求小道的宽.若设小道的宽为x米,则可列方程为 (35﹣2x)(20﹣x)=600(或2x2﹣75x+100=0) .
【解答】解:
把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为(35﹣2x)米,宽为(20﹣x)米,
∴可列方程为(35﹣2x)(20﹣x)=600(或2x2﹣75x+100=0),
故答案为(35﹣2x)(20﹣x)=600(或2x2﹣75x+100=0).
15.(2015•东西湖区校级模拟)商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.据此规律计算:
每件商品降价 20 元时,商场日盈利可达到2100元.
【解答】解:
∵降价1元,可多售出2件,降价x元,可多售出2x件,盈利的钱数=50﹣x,
由题意得:
(50﹣x)(30+2x)=2100,
化简得:
x2﹣35x+300=0,
解得:
x1=15,x2=20,
∵该商场为了尽快减少库存,
∴降的越多,越吸引顾客,
∴选x=20,
故答案为:
20.
16.(2015•东西湖区校级模拟)某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样多数目的小分支,主干、支干、小分支一共是91个,则每个支干长出的小分支数目为 9 .
【解答】解:
设每个支干长出的小分支的数目是x个,
根据题意列方程得:
x2+x+1=91,
解得:
x=9或x=﹣10(不合题意,应舍去);
∴x=9;
故答案为:
9
17.(2015春•乳山市期末)如图,一块矩形铁皮的长是宽的2倍,将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形,做成一个无盖的盒子,若盒子的容积是240cm3,则原铁皮的宽为 11 cm.
【解答】解:
设这块铁片的宽为xcm,则铁片的长为2xcm,由题意,得
3(2x﹣6)(x﹣6)=240
解得x1=11,x2=﹣2(不合题意,舍去)
答:
这块铁片的宽为11cm.
18.(2015秋•洪山区期中)卫生部门为控制流感的传染,对某种流感研究发现:
若一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,若按此传染速度,第三轮传染后,患流感人数共有 1000 人.
【解答】解:
设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,
第一轮过后有(1+x)个人感染,第二轮过后有(1+x)+x(1+x)个人感染,
那么由题意可知1+x+x(1+x)=100,
整理得,x2+2x﹣99=0,
解得x=9或﹣11,
x=﹣11不符合题意,舍去.
那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人.
第三轮传染后,患流感人数共有:
100+9×100=1000.
故答案为1000.
19.(2015秋•临汾校级月考)如图,要建一个面积为130m2的仓库,仓库的一边靠墙(墙长16m)并在与墙平行的一边开一道1m宽的门,现有能围成32m长的木板,仓库的长和宽分别为 10 m与 13 m.
【解答】解:
设仓库的垂直于墙的一边长为x,
依题意得(32﹣2x+1)x=130,
2x2﹣33x+130=0,
(x﹣10)(2x﹣13)=0,
∴x1=10或x2=6.5,
当x1=10时,32﹣2x+1=13<16;
当x2=6.5时,32﹣2x+1=20>16,不合题意舍去.
答:
仓库的长和宽分别为13m,10m.
故答案为:
10,13.
三.解答题(共11小题)
20.(2015春•沂源县期末)解下列方程:
(1)x2﹣2x=2x+1(配方法)
(2)2x2﹣2
x﹣5=0(公式法)
【解答】解:
(1)方程整理得:
x2﹣4x=1,
配方得:
x2﹣4x+4=5,即(x﹣2)2=5,
开方得:
x﹣2=±
,
解得:
x1=2+
,x2=2﹣
;
(2)这里a=2,b=﹣2
,c=﹣5,
∵△=8+40=48,
∴x=
=
.
21.(2015•金堂县一模)用规定的方法解下列方程
①x2﹣2x﹣8=0(因式分解法)
②(x﹣4)2=9(直接开平方法)
③2x2﹣4x﹣1=0(公式法)
④x2+8x﹣9=0(配方法)
【解答】解:
①∵x2﹣2x﹣8=0,
∴(x+2)(x﹣4)=0,
∴x+2=0或x﹣4=0,
∴x1=﹣2,x2=4;
②∵(x﹣4)2=9,
∴x﹣4=±3,
∴x1=1,x2=7;
③∵2x2﹣4x﹣1=0,
∴a=2,b=﹣4,c=﹣1,b2﹣4ac=16+8=24,
∴x=
=
=1±
,
∴x1=1﹣
,x2=1+
;
④∵x2+8x﹣9=0,
∴x2+8x+16﹣16﹣9=0,
∴(x+4)2=25,
∴x+4=±5,
∴x1=1,x2=﹣9.
22.(2015春•阜宁县期末)选用适当的方法解下列方程:
(1)x2﹣6x=7
(2)2x2﹣6x﹣1=0
(3)3x(x+2)=5(x+2)
【解答】解:
(1)方程变形得:
x2﹣6x﹣7=0,
分解因式得:
(x﹣7)(x+1)=0,
解得:
x1=7,x2=﹣1;
(2)这里a=2,b=﹣6,c=﹣1,
∵△=36+8=44,
∴x=
=
;
(3)方程变形得:
(3x﹣5)(x+2)=0,
解得:
x1=
,x2=﹣2.
23.(2016•唐河县一模)已知关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)当m取满足条件的最大整数时,求方程的根.
【解答】解:
(1)根据题意得m﹣2≠0且△=4m2﹣4(m﹣2)(m+3)>0,
解得m<6且m≠2;
(2)m满足条件的最大整数为5,则原方程化为3x2+10x+8=0,
∴(3x+4)(x+2)=0,
∴x1=﹣
,x2=﹣2.
24.(2016•洛阳模拟)已知关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2=0
(1)当m取什么值时,原方程没有实数根;
(2)对m选取一个合适的非零整数,使原方程有两个不相等的实数根,并求出这两个实数根.
【解答】解:
(1)∵方程没有实数根,
∴b2﹣4ac=[﹣2(m+1)]2﹣4m2=8m+4<0,
∴m<﹣
,
∴当m<﹣
时,原方程没有实数根;
(2)由
(1)可知,当m≥﹣
时,方程有实数根,
当m=1时,原方程变为x2﹣4x+1=0,
设此时方程的两根分别为x1,x2,
解得x1=2+
,x2=2﹣
.
25.(2016•信阳一模)已知关于x的一元二次方程x2﹣(k+3)x+3k=0.
(1)求证:
不论k取何实数,该方程总有实数根.
(2)若等腰△ABC的一边长为2,另两边长恰好是方程的两个根,求△ABC的周长.
【解答】
(1)证明:
△=(k+3)2﹣4×3k=(k﹣3)2≥0,
故不论k取何实数,该方程总有实数根;
(2)解:
当△ABC的底边长为2时,方程有两个相等的实数根,
则(k﹣3)2=0,
解得k=3,
方程为x2﹣6x+9=0,
解得x1=x2=3,
故△ABC的周长为:
2+3+3=8;
当△ABC的一腰长为2时,方程有一根为2,
方程为x2﹣5x+6=0,
解得,x1=2,x2=3,
故△ABC的周长为:
2+2+3=7.
26.(2016•西峡县二模)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x﹣3=0.
(1)若原方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)若原方程的一个根是1,求此时m的值及方程的另外一个根.
【解答】解:
(1)由题意知,m﹣1≠0,所以m≠1.
∵原方程有两个不相等的实数根,
∴△=22﹣4(m﹣1)×(﹣3)=12m﹣8>0,
解得:
m>
,
综上所述,m的取值范围是m>
且m≠1;
(2)把x=1代入原方程,得:
m﹣1+2﹣3=0.
解得:
m=2.
把m=2代入原方程,得:
x2+2x﹣3=0,
解得:
x1=1,x2=﹣3.
∴此时m的值为2,方程的另外一个根为是﹣3.
27.(2016•平武县一模)已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.
(1)求证:
无论k取任何实数时,方程总有实数根.
(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2?
若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
【解答】解:
(1)当k=0时,方程变形为x+2=0,解得x=﹣2;
当k≠0时,△=(2k+1)2﹣4•k•2=(2k﹣1)2,
∵(2k﹣1)2≥0,
∴△≥0,
∴当k≠0时,方程有实数根,
∴无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)存在,
设方程两根为x1、x2,
则x1+x2=﹣
,x1x2=
,
∵
+
=2,即
=2,
∴
=2,即﹣
=2,
解得:
k=﹣
,
故存在实数k使方程两根的倒数和为2.
28.(2016•宛城区一模)已知关于x的方程mx2﹣(m+2)x+2=0
(1)求证:
不论m为何值,方程总有实数根;
(2)若方程的一个根是2,求m的值及方程的另一个根.
【解答】
(1)证明:
当m=0时,方程变形为﹣2x+2=0,解得x=1;
当m≠0时,△=(m+2)2﹣4m•2=(m﹣2)2≥0,方程有两个实数解,
所以不论m为何值,方程总有实数根;
(2)设方程的另一个根为t,
根据题意得2+t=
,2t=
,
则2+t=1+2t,解得t=1,
所以m=1,
即m的值位1,方程的另一个根为1.
29.(2015秋•余干县校级期末)已知x2+y2+6x﹣4y+13=0,求(xy)﹣2.
【解答】解:
∵x2+y2+6x﹣4y+13=0,
∴(x+3)2+(y﹣2)2=0,
∴x+3=0,y﹣2=0,
∴x=﹣3,y=2,
∴(xy)﹣2=(﹣3×2)﹣2=
.
30.(2016•洪泽县一模)如图,要设计一本画册的封面,封面长40cm,宽30cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的
,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位,参考数据:
≈2.236).
【解答】解一:
设上、下边衬宽均为4xcm,左、右边衬宽均为3xcm,
则(40﹣8x)(30﹣6x)=
×40×30.
整理,得x2﹣10x+5=0,解之得x=5±2
,
∴x1≈0.53,x2≈9.47(舍去),
答:
上、下边衬宽均为2.1cm,左、右边衬宽均为1.6cm.
解二:
设中央矩形的长为4xcm,宽为3xcm,
则4x×3x=
×40×30,
解得x1=4
,x2=﹣4
(舍去),
∴上、下边衬宽为20﹣8
≈2.1,左、右边衬宽均为15﹣6
≈1.6,
答:
上、下边衬宽均为2.1cm,左、右边衬宽均为1.6cm.
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