中考数学二轮复习试题重难点1简单几何图形的证明与计算含答案.docx
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中考数学二轮复习试题重难点1简单几何图形的证明与计算含答案
专题二 解答重难点题型突破
题型一 简单几何图形的证明与计算
类型一 特殊四边形的探究
1.(2017·开封模拟)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,以边AC上一点O为圆心,OA为半径作⊙O,⊙O恰好经过边BC的中点D,并与边AC相交于另一点F.
(1)求证:
BD是⊙O的切线;
(2)若BC=2,E是半圆上一动点,连接AE、AD、DE.
填空:
①当的长度是__________时,四边形ABDE是菱形;
②当的长度是__________时,△ADE是直角三角形.
2.(2017·商丘模拟)如图,已知⊙O的半径为1,AC是⊙O的直径,过点C作⊙O的切线BC,E是BC的中点,AB交⊙O于D点.
(1)直接写出ED和EC的数量关系:
;
(2)DE是⊙O的切线吗?
若是,给出证明;若不是,说明理由;
(3)填空:
当BC=__________时,四边形AOED是平行四边形,同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是__________.
3.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,BC=5cm,点E从点A出发沿射线AD以1cm/s的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).
(1)连接EF,当EF经过BD边的中点G时,求证:
△DGE≌△BGF;
(2)填空:
①当t为__________s时,△ACE的面积是△FCE的面积的2倍;
②当t为__________s时,四边形ACFE是菱形.
4.(2017·新乡模拟)如图,AC是▱ABCD的一条对角线,过AC中点O的直线分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:
AE=CF;
(2)连接AF,CE.
①当EF和AC满足条件__________时,四边形AFCE是菱形;
②若AB=1,BC=2,∠B=60°,则四边形AFCE为矩形时,EF的长是__________.
类型二 几何问题的证明与计算
1.(2017·周口模拟)如图,AB为⊙O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交弧AC于点D,过点D作⊙O的切线,交BA的延长线于点E.
(1)求证:
AC∥DE;
(2)连接CD,若OA=AE=2时,求出四边形ACDE的面积.
2.(2017·湘潭)如图,在▱ABCD中,DE=CE,连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证:
△ADE≌△FCE;
(2)若AB=2BC,∠F=36°.求∠B的度数.
3.(2017·山西)如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,OD⊥AB,与AC交于点E,与过点C的⊙O的切线交于点D.
(1)若AC=4,BC=2,求OE的长.
(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系,并说明理由.
4.(2017·杭州)如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连接AG.
(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;
(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.
题型一 简单几何图形的证明与计算
类型一 特殊四边形的探究
1.
(1)证明:
连接OD,如解图,
∵∠BAC=90°,点D为BC的中点,
∴DB=DA=DC,
∵∠B=60°,∴△ABD为等边三角形,
∴∠DAB=∠ADB=60°,∠DAC=∠C=30°,而OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD=30°,
∴∠ODB=60°+30°=90°,
∴OD⊥BC,又∵OD是⊙O的半径,
∴BD是⊙O的切线;
(2)解:
①连接OD、OE,∵△ABD为等边三角形,
∴AB=BD=AD=CD=,
在Rt△ODC中,OD=CD=1,
当DE∥AB时,DE⊥AC,∴AD=AE,
∵∠ADE=∠BAD=60°,
∴△ADE为等边三角形,
∴AD=AE=DE,∠ADE=60°,∴∠AOE=2∠ADE=120°,∴AB=BD=DE=AE,
∴四边形ABDE为菱形,
此时,的长度==π,
②当∠ADE=90°时,AE为直径,点E与点F重合,此时的长度==π,
当∠DAE=90°时,DE为直径,∠AOE=2∠ADE=60°,此时的长度==π,
所以当的长度为π或π时,△ADE是直角三角形.
2.解:
(1)连接CD,如解图,
∵AC是⊙O的直径,∴∠ADC=90°,
∵E是BC的中点,
∴DE=CE;
(2)DE是⊙O的切线.理由如下:
连接OD,如解图,
∵BC为切线,∴OC⊥BC,
∴∠OCB=90°,即∠2+∠4=90°,
∵OC=OD,ED=EC,∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°,即∠ODE=90°,∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(3)当BC=2时,
∵CA=CB=2,∴△ACB为等腰直角三角形,∴∠B=45°,
∴△BCD为等腰直角三角形,∴DE⊥BC,DE=BC=1,
∵OA=DE=1,AO∥DE,∴四边形AOED是平行四边形;
∵OD=OC=CE=DE=1,∠OCE=90°,
∴四边形OCED为正方形.
3.
(1)证明:
∵G为BD的中点,
∴BG=DG,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴∠EDG=∠FBG,∠GED=∠GFB,
∴△DGE≌△BGF(AAS);
(2)解:
①分两种情况考虑:
当点F在线段BC上时,如解图①,连接AC,EC,设菱形ABCD边BC上的高为h,由题意知S△ACE=AE·h,S△FCE=CF·h,∵△ACE的面积是△FCE的面积的2倍,∴AE·h=2×CF·h,∴AE=2CF,∵AE=t,CF=5-2t,∴t=2(5-2t),解得t=2;当点F在线段BC的延长线上时,如解图②,连接AC,EC,AE=t,CF=2t-5,∵△ACE的面积是△FCE的面积的2倍,∴AE=2CF,∴t=2(2t-5),解得t=;
②∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC,∵∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AC=AB=5,当四边形ACFE为菱形时,则AE=AC=CF=5,即t=5.
4.
(1)证明:
∵AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.
∵O是AC的中点,∴OA=OC,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴AE=CF.
(2)解:
①当EF和AC满足条件EF⊥AC时,四边形AFCE是菱形;
如解图所示,
∵AE∥CF,AE=CF,
∴四边形AFCE是平行四边形,
又∵EF⊥AC,∴四边形AFCE是菱形;
②若四边形AFCE为矩形,
则EF=AC,∠AFB=∠AFC=90°,
∵AB=1,BC=2,∠B=60°,∴∠BAF=30°,
∴BF=AB=,
∴AF=BF=,CF=2-=,
∴AC===,
∴EF=.
类型二 几何问题的证明与计算
1.证明:
(1)∵F为弦AC的中点,
∴AF=CF,∴OD⊥AC,
∵DE切⊙O于点D,∴OD⊥DE,
∴AC∥DE;
(2)∵AC∥DE,且OA=AE,
∴F为OD的中点,即OF=FD,
又∵AF=CF,
∠AFO=∠CFD,
∴△AFO≌△CFD(SAS),∴S△AFO=S△CFD,∴S四边形ACDE=S△ODE.
在Rt△ODE中,OD=OA=AE=2,
∴OE=4,
∴DE===2,
∴S四边形ACDE=S△ODE=·OD·DE=×2×2=2.
2.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠D=∠ECF,
在△ADE和△FCE中,
,
∴△ADE≌△FCE(ASA);
(2)解:
∵△ADE≌△FCE,∴AD=FC,
∵AD=BC,AB=2BC,∴AB=FB,
∴∠BAF=∠F=36°,∴∠B=180°-2×36°=108°.
3.解:
(1)∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:
AB===2,
∴OA=AB=,
∵OD⊥AB,
∴∠AOE=∠ACB=90°,
又∵∠A=∠A,
∴△AOE∽△ACB,
∴=,即=,
解得:
OE=;
(2)∠CDE=2∠A,理由如下:
连接OC,如解图所示:
∵OA=OC,∴∠1=∠A,
∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,
∴∠2+∠CDE=90°,
∵OD⊥AB,∴∠2+∠3=90°,∴∠3=∠CDE,
∵∠3=∠A+∠1=2∠A,
∴∠CDE=2∠A.
4.解:
(1)结论:
AG2=GE2+GF2.
理由:
如解图,连接CG.
∵四边形ABCD是正方形,∴A、C关于对角线BD对称,
∵点G在BD上,∴GA=GC,
∵GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,
∴四边形EGFC是矩形,∴CF=GE,
在Rt△GFC中,∵CG2=GF2+CF2,∴AG2=GF2+GE2;
(2)如解图,作AH⊥BG于点H,
由题意得∠AGB=60°,∠ABH=45°,∴△ABH是等腰直角三角形,
∵AB=1,∴AH=BH=,HG=,∴BG=.
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