初三中考总复习图形变换.docx
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初三中考总复习图形变换
初三中考总复习一一图形变换
西城外国语学校袁慎鹏
图形变换是对几何图形认识方法上的一种改变.通过平移、轴对称、旋转变换达到复杂图形简单化、一般图形特殊化,分散条件集中化的目的.从图形变换的角度思考问题,可以整体把握图形的性质,特别是可以帮助我们从更高的层次理解平行线、截长补短、倍长中线等常用辅助线的作用,使问题解决更加简洁明确.当图形运动变化的时候,从运动变换的角度更容易发现不变量和特殊图形.
一、《考试说明》的要求:
考试内容
考试要求
A
B
C
图形的变化
图形的平移
了解平移的概念;理解平移的基本性质.
能画出简单平面图形平移后的图形;能利用平移的性质解决有关简单问题.
运用平移的有关内容解决有关问题
图形的轴对称
了解轴对称的概念;理解了解平移的概念;了解轴对称图形的概念.
能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质;能利用轴对称的性质解决有关简单问题.
运用轴对称的有关内容解决有关问题
轴对称旋转
认识平面图形关于旋转中心的旋转;理解旋转的基本性质;理解中心对称、中心对称图形的概念;理解中心对称的性质.
能画出简单平面图形关于给定旋转中心的旋转图形;探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质;能利用旋转的性质解决有关简单问题.
运用旋转的有关内容解决有关问题
变化:
1.顺序有变化,符合学生学习的顺序;
2.变换的性质比较笼统没有2014年的说明具体;
3.“作图”变为“画图”,画图的要求更加具体;
4.基本的轴对称图形由六个变为五个,删掉了“等腰梯形”;
5.C级要求的“解决简单问题”统一变为“解决有关问题”
二、图形变换在近6年中考中的分布及呈现方式:
近6年的中考中,变换在选择、填空、操作题、第23题、第24题、第25
题中都有出现过,主要的考察方式有:
辨别轴对称图形与中心对称图形;通过
阅读理解获取有效信息,选择合适的的变换对图形进行重新构造从而解决问题;
把函数的图象进行变换,要求发现平移后的函数与原函数之关系;应用变换的思想综合运用几何知识添加适当的辅助线解决问题.
三、复习建议:
1.基本概念要明晰;
平移
轴对称
旋转
中心对称
图示
性质
(1)平移前后的图形全等;
(2)对应线段平行(或共线)且相等;
(3)对应点所连的线段平行(或共线)且相等.
⑴关于某条直线对称的两个图形全等;
(2)对称点所连的线段被对称轴垂直平分;
探⑶
对应线段所在直线若相交,则交点
⑴旋转前后的图形全等;
(2)对应点到旋转中心的距离相等;
(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
⑴关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,并且被对称中心平分•
⑵关于中心对称的两个图形是全等图形•
在对称轴上.
性质简明图形
性质间接概述
全等、平行四边形的性质
探全
等、中垂线、共线
全等、等
距、等角
全等、平分、共点
2•复习要有浅入深逐层深入,让各层的学生都有所收获.
3.对于几何综合题的复习要引导学生从几何图形与变换的角度重新认识常见
辅助线的添加方法,比如:
(1)中点、中线——中心对称——倍长中线——中位线
(2)等腰三角形、角平分线、垂直平分线一一轴对称一一截长补短;
(3)平行四边形一一平移;
(4)正多边形、共端点的等线段一一旋转;
4.对于坐标系中研究函数图象的平移和对称的问题要引导学生抓住问题的本
质,把该问题转化函数图象上点的变换问题,进而进一步转化为函数图象上
关键点的变换问题.
四、第一轮复习安排和例题
共用三个课时,第一课时:
三种变换的概念和性质的简单应用;第二课时,
作图和操作问
题;第三课时:
综合.
例1(2013北京)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是()
学生存在的问题:
审题只看见是什么,忽略不是什么;旋转对称与中心对称
易混淆;怕文字表述的图形•
例2如图,Rt△ABC中,/ACB=90°,AO2cm,■A=60.将△ABC沿AB边所
在直线向右
平移,记平移后它的对应三角形DEF
(1)
若将△ABC沿直线AB向右平移3cm,求此时梯形CAEF勺面积;【答案】
(2)
若使平移后得到的△CDF是直角三角形,
则厶ABC平移的距离应为
cm.【答
案】1
53
学生存在的问题:
弄不清3cm是那条线段的长,不会分类.
例3(2011上海)Rt△ABC中,已知/C=90°,/B=50°,
点D在边BC上,BD=2CD把厶ABC绕着点D逆时针旋转
m(0 边上,那么m= 学生存在的问题: 会将整个△ABC旋转后的图形都画,把图形弄复杂 例4(2013湖南郴州)如图,在Rt△ACB中,/ACB=90,/A=25, D是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B'处, 贝ADB等于()【答案】D A.25°B.30°C.35°D.40° 学生存在的问题: 轴对称的性质应用不全面,想到了边,但忘了角• 《探诊》P17T10题例5西总P29例4学生存在的问题: 一是没看清把那个三角形平移或对称,二 是不会判断中心对称 西总P88例1 例6(2014顺义二模)如图,正方形ABCD勺边长为3,点E,F分 另用边AB,BC上,AE=BF=1,小球P从点E出发沿直DC线 向点F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角 等于入射角.当小球P第一次碰到BC边时,小球P所经过 AEB 的路程为;当小球P第一次碰到AD边时,小球P所 经过的路程为;当小球P第n(n为正整数)次碰到点F时,小球 P所经过的路程为 .【答案】V5,5V5,6V5n—5炎. 2 学生存在的问题: 作图不合理,不会将角关系转化为线段的关系 例7(2011北京中考).阅读下面材料: 小伟遇到这样一个问题: 如图1,在梯形ABCD中,AD//BC,对角线AC、BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1,试求以AC、BD、ADBC的长度为三边长的三角形的面积. 图3 小伟是这样思考的: 要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可,他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC 的平行线交BC的延长线于点E,得到的 △BDE即是以AC、BD、ADBC的长度为三边长的三角形(如图2). 请你回答: 图2中△BDE的面积等于. 参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题: 如图3,△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF. ⑴在图3中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹); ⑵若厶ABC的面积为1,则以ADBECF的长度为三边长的三角形的面积 学生存在的问题: 主要是在第三问,能画出图但找不出新三角形与原图形之间 的面积关系,究其原因就是对于中线等分面积的性质不太会用 抛物线 称轴对 I的上方,并且在2x3这一 例8(2013北京中考)在平面直角坐标系xOy中, y=mx2一2mx一2(m^0)与y轴交于点A,对称轴与x轴交于点Bo (1)求点A,B的坐标; (2)设直线I与直线AB关于该抛物线的对 称,求直线I的解析式; (3)若该抛物线在-2: : : x: : : -1这一段位于直线 段位于直线AB的下方,求该抛物线的解析式 P89西总例2 学生存在的问题: 读不懂第三问是什么意思,不能很好地抓住抛物线式轴对称 图形这一特点,同时对于抛物线的连续性理解不到位• 例9(2013.1海淀期末).抛物线y=mx2•(m-3)x-3(m0)与x轴交于A、B两 点,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C,OB=O.C (1)求这条抛物线的解析式; (2)若点Pxb)与点Qx2,b)在 (1)中的抛物线上,且治乜,PQ=n ①求4x12-2x2n6n3的值; ②将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折,抛物线的其它部分保持不变,得到一个新图象•当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时,b的取值范围是. 学生存在的问题: 第2问主要是不能从坐标的特点发现P、Q是关于直线x=1对 称的,另外就是n与X1、X2的关系弄错,再就是消元不明确;第三问主要是临界点把握不好,缺乏对于运动变换问题连续搜索的习惯 例10(2014海淀二模)在AABC中,.ABC=90J,D为平面内一动点,AD=a,AC=b,其中a,b为常数,且a: : : b.将厶ABD沿射线BC方向平移,得到△FCE,点A、B、D的对应点分别为点F、C、E.连接BE. (1)如图1,若D在AABC内部,请在图1中画出△FCE; (2)在 (1)的条件下,若AD_BE,求BE的长(用含a,b的式子表示); (3)若NBACp,当线段BE的长度最大时,则ZBAD的大小为;当线段BE的 长度最小时,则ZBAD的大小为(用含g的式子表示) 图1备用图 西总P93例8: 平移方向不是水平的,与X轴负半轴的角的正切为1 2 例11(2014北京中考).在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,DE,其中DE交直线AP于点F. (1)依题意补全图1; (2)若.PAB=20,求.ADF的度数; (3)如图2,若45、/PAB: : : 90,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明. 学生存在的问题: 第2问一是没想到连AE,二是连BF后证不出直角;没有吃透 第一问解决问题的策略与方法,另外就是对于线段之间的关系不敏感 例12(2014昌平二模)【探究】如图1,在厶ABC中,D是AB边的中点,AE1 BC于点E,BF丄AC于点F,AEBF相交于点M连接DEDF贝UDEDF的数量关系为. 【拓展】如图2,在厶ABC中,CB=CA,点D是AB边的中点,点M在△AB C的内部,且ZMB(=ZMAC过点M作MELBC于点E,MFLAC于点F,连接 DEDF求证: DE=DF; 【推广】如图3,若将上面【拓展】中的条件“CB=CA变为“CB^CA,其 他条件不变,试探究DE与DF之间的数量关系,并证明你的结论. 学生存在的问题: 主要问题出在第三问一是二次相似确实是一个难点,二是证 角等的方法不多• 5.专题整理 专题一、平移变换 1.(2011湖北黄冈)如图,把Rt△ABC放在直角坐标系内, /CAB90°,BC=5,点AB的坐标分别为( BC扫过的面积为()【答案】C 将厶ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=2x—6上时 A.4B.8C.16D.&,2 2. A 形只有一个公共点时,中心距O1O2=3oC (2011广东台山)如图,正方形ABC闲正方形EFGH勺边长分别为22和..2,对角线BDFH都在直线L上,。 1和02分别是正方形的中心,线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距。 当中心02在直线L上平移时,正方形EFGHfc随平移,在平移时正方形EFGH勺形状、大小没有改变。 (3)随着中心02在直线L上的平移,两个正方形的公共点的个数还有哪些变 化? 并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)。 答案: 当0冬O1O2<2时,两个正方形无公共点;当O1O2=2时,两个正方形有无数公共点;当2<01。 2<3时,两个正方形有两个公共点;当O1O2=3时,两个正方形有一个公共点;当OQ2>3时,两个正方形无公共点。 3.(2014平谷二模) (1)如图1,在四边形ABCDK/B=ZC=90°,E为BC 上一点,且CE=AB,BE二CD,连结AE、DE、AD,则厶ADE的形状是 ⑵如图2,在AABC中,NA=90。 DE分别为ABAC上的点,连结BECD 两线交于点P. 1当BD=ACCE=AtM,在图中补全图形,猜想.BPD的度数并给予证明. 2当=时,NBPD的度数 ACAD 4.(07北京)如图,已知△ABC. (1)请你在BC边上分别取两点D,E(BC的中点除外),连结AD,AE,写出 使此图中只存在两•对.面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角 形; (2)请你根据使 (1)成立的相应条件,证明ABACA&AE 专题二、轴对称变换. 5.(2014怀柔二模)如图(a),有一张矩形纸片ABCD其中AD=6cm以AD为直径的半圆,正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠,使点A落在BC上,如图(b).则半圆被覆盖部分 (阴影部分)的面积为. 6. (1)如图,在直角坐标系中,将矩形OAB(沿 OB对折,使点A落在点A处,若OA-3, AB=1,则点A•的坐标是多少? (2)如图,把矩形纸片OAB(放入平面直角坐 标系中,使OAOC分别落在x轴、y轴上, 连结OB将纸片OABC沿OB折叠,使点A落在A的位置,若OBjW, tan.BOCJ,则点A•的坐标是多少? 2 7.(2012浙江绍兴)如图,直角三角形纸片ABC中,AB=3,AC=4,D为斜边BC中点,第1次 将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD交与点P仁设P1D的中点为D1,第2次将纸片折叠,使点A与点D1重合,折痕与AD交于点P2;设P2D1的中点为D2,第3次将纸片折叠,使点 A与点D2重合折痕与AD交于点P3;…设Pn-1Dn-2的中点为1,第n次将纸片折叠,使点A 与点Dn-1重合,折痕与AD交于点Pn(n>2),则AP6的长为() A C 36 37 212 214 536 11 D.52 535 9 B.52 8.(2012江苏南京)如图,菱形纸片ABCD中 值为() 9.(2012山东德州)如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边 上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处, PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH. (3)设AP为X,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值? 若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由. 10.(2014西城二模)在厶ABC/BAC为锐角,AB>ACAD平分/BAC交 BC于点D. (1)如图1,若△ABC是等腰直角三角形,直接写出线段AC,CD AB之间的数量关系; (2)BC的垂直平分线交AD延长线于点E,交BC于点F. ①如图2,若/ABE=60°,判断AC,CEAB之间有怎样的数量 关系并加以证明; (1)求证: /APB=/BPH; 化? 并证明你的结论; ②如图3,若ACAB-3AE,求/BAC的度数. 专题三、旋转变换 11.(2014大兴二模)已知: E是线段AC上一点,AE=AB过点E作直线EE 在EF上取一点D,使得/ED母/EAB联结AD (1)若直线EF与线段AB相交于点P,当/EA申60°时,如图1,求证: ED=AD^BD
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