第十四章一次函数141变量doc.docx
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第十四章一次函数
14.1.1变量
教学目标
1.知识与技能
了解变量的概念,会区别常量与变量.
2.过程与方法
经历探索变量的过程,感受常量与变量的意义.
3.情感、态度与价值观
培养学生良好的变化与对应意识,体会数形结合的思想.
重、难点与关键
1.重点:
理解变化与对应的内涵.
2.难点:
理解变化与对应的内涵.
3.关键:
从实际问题出发,引入变量,由具体到抽象的认识事物.
教学方法
采用“情境教学法”进行教学,让学生在熟悉的背景中认知常量与变量.
教学过程
一、创设情境,揭示课题
【情境思考1】
汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米,行驶时间为t小时,先填下面的表,再试用含t的式子表示s.
t/时
1
2
3
4
5
s/千米
【教师活动】提出问题,引导学生思考问题,提问个别学生.
【学生活动】先独立思考后再与同伴交流,填出表格中问题:
s:
60千米,120千米,180千米,240千米,300千米.推出含t的等式为s=60t(t≥0).
【情境思考2】
每张电影票的售价为10元,如果早场售出票150张,日场售出票205张,晚场售出票310张,三场电影的票房收入各多少元?
设一场电影售出票x张,票房收入为y元,怎样用含x的式子表示y?
【教师活动】引导学生思索,然后从学生中推荐好的方法.
【学生活动】分四人小组合作交流,通过交流,部分学生上讲台演示:
早、中、晚三场电影的票房收入各为:
1500元、2050元、3100元;含x的式子表示y为:
y=10x.
【情境思考3】
在一根弹簧的下端悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,探索它们的变化规律,如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用含重物质量m(单位:
kg)的式子表示受力后的弹簧长度L(单位:
cm)?
【教师活动】启发诱导,并让出讲台,请学生上台板演.
【学生活动】观察图形,先独立思考后再与同桌交流,得到关系式为L=10+0.5x(x表示悬挂重物的重量).
【情境思考4】
要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?
圆面积为20cm2呢?
怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?
【教师活动】巡视、观察学生的思考,并及时加以启发,请一位学生上讲台演示.
【学生活动】独立思考,把问题解决.根据圆的面积公式S=
r2,得出面积为10cm2时,圆的半径为
cm;面积为20cm2时,圆半径为
cm;关系式r=
.
【情境思考5】
如课本图14.1-1所示,用10m长的绳子围成长方形,试改变长方形的长度,观察长方形的面积怎样变化,记录不同的长方形长度值,计算相应的长方形面积的值,探索它们的变化规律,设长方形的长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S?
【教师活动】引导学生做实验.
【学生活动】拿出准备好的线,按要求进行实践、记录、计算、寻找规律,得到S与x的关系式为S=x(5-x).
二、操作观察,获取新知
【形成概念】在某一变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,有些量的数值始终不变,我们称它们为常量.
【拓展延伸】请同学们具体指出上面的各问题中,哪些是变量,哪些量是常量?
【学生活动】通过小组合作交流,得到常量为:
60、10、5、
、0.5等,变量为:
x、y、r、S、t、L等.
【教学形式】生生互动,畅所欲言.
三、随堂练习,巩固深化
课本P95练习.
四、课堂总结,发展潜能
1.什么叫做变量?
什么叫做常量?
它们之间有何区别?
2.本节课中,通过实际事例,你对变量的概念以及实际意义有怎样的感受?
五、布置作业,专题突破
课本P106第1,6题.
板书设计
14.1.1变量
1、变量的概念例:
2、会区别常量与变量练习:
14.1.2函数(2课时)
教学目标
1.知识与技能
了解函数的概念,弄清自变量与函数之间的关系.
2.过程与方法
经历探索函数概念的过程,感受函数的模型思想.
3.情感、态度与价值观
培养观察、交流、分析的思想意识,体会函数的实际应用价值.
重、难点与关键
1.重点:
认识函数的概念.
2.难点:
对函数中自变量取值范围的确定.
3.关键:
从实际出发,由具体到抽象,建立函数的模型.
教学方法
采用“情境──探究”的方法,让学生从具体的情境中提升函数的思想方法.
教学过程
一、回顾交流,聚焦问题
1.变量(P94)中5个思考题.
【教师提问】
同学们通过学习“变量”这一节内容,对常量和变量有了一定的认识,请同学们举出一些现实生活中变化的实例,指出其中的常量与变量.
【学生活动】思考问题,踊跃发言.(先归纳出5个思考题的关系式,再举例)
【教师活动】激发兴趣,鼓励学生联想,
2.在地球某地,温度T(℃)与高度d(m)的关系可以挖地用T=10-
来表示(如图),请你根据这个关系式回答下列问题:
(1)指出这个关系式中的变量和常量.
(2)填写下表.
高度d/m
0
200
400
600
800
1000
温度T/℃
(3)观察两个变量之间的联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就______.
3.课本P7“观察”.
【学生活动】四人小组互动交流,踊跃发言
二、讨论交流,形成概念
【函数定义】
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.
【教师活动】归纳出函数的定义.强调在上述活动中的关系式是函数关系式.提问学生,两个变量中哪个是自变量呢?
哪个是这个自变量的函数?
【学生活动】辨析理解,如:
T=10-
这个函数关系式中,d是自变量,T是d的函数等.弄清函数定义中的问题。
三、继续探究,感知轻重
课本P8探究题.
【学生活动】使用计算器进行探索活动,回答问题,理解函数概念.
(1)y=2x+5,y是x的函数;
(2)y=2x+1,y是x的函数.
四、范例点击,提高认知
【例1】一辆汽车的油箱中现有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:
L)随行驶里程x(单位:
km)的增加而减少,平均耗油量为0.11L/km.
(1)写出表示y与x的函数关系的式子.
(2)指出自变量x的取值范围.
(3)汽车行驶200km时,油箱中还有多少汽油?
【教师活动】讲例,启发引导学生共同解决上述例1.
五、随堂练习,巩固深化
课本P99练习.
六、课堂总结,发展潜能
1.用数学式子表示函数的方法叫做表达式法(解析式法),它只是函数表示法的一种.
2.求函数的自变量取值范围的方法.
(1)要使函数的表达式有意义;
(2)对实际问题中的函数关系,要使实际问题有意义.
3.把所给自变量的值代入函数表达式中,就可以求出相应的函数值.
七、布置作业,专题突破
课本P106习题14.1第1,2,3,4题.
板书设计
14.1.2函数
1、函数的概念例:
2、函数中自变量取值范围的确定练习:
3、从实际出发建立函数的模型
14.1.3函数的图象
(一)
教学目标
1.知识与技能
了解函数的三种表示方法,领会它们的联系和区别.
2.过程与方法
经过探索函数图象的过程,会应用数形结合的思想分析问题.
3.情感、态度与价值观
培养变化与对应的思想方法,体会函数模型的建构在实际生活中的应用价值.
重、难点与关键
1.重点:
函数的三种表示法.
2.难点:
函数图象的认识.
3.关键:
从情境中抽象出函数的概念,认清自变量与函数的关系,通过画函数图象直观地认识函数的内涵.
教学方法
采用“操作──感悟”的教学法,让学生在画图中认识函数,从而提高识图能力.
教学过程
一、回顾交流,情境导入
1、一种豆子每千克2元,写出买豆子的总金额y(元)与所买豆子的数量x(千克)之间的函数关系,回答下列问题:
(1)上面函数式中,哪个是自变量?
哪个是函数?
自变量取值范围是什么?
(2)由所求出的函数式填表:
x(千克)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y(元)
【教师活动】观察学生的思维表现,提问学生.
【学生活动】独立思考,解答问题,上讲台演示.
【师生共识】y=2x,
(1)x是自变量,y是x的函数,x取值范围是x取大于等于0的数;
(2)0,1,2,3,4,5,6.
2、问题探究:
如图,正方形边长为x,面积为S,探究下列问题:
(1)写出S关于x的函数关系式,并求出x的取值范围.
(2)计算并填写下表:
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
S
(3)在直角坐标系中,将上面表格中各对数值所对应的点描出来,然后用光滑的曲线连接这些点.
【形成概念】一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些组成的图形,就是这个函数的图象.
二、观察思考,实际应用
情境思索:
课本图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化,你从图象中得到了哪些信息?
三、范例点击,提高认识
【例2】下面的图象(课本图)反映的过程是:
小明从家去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家,其中x表示时间,y表示小明离他家的距离.
根据图象回答下列问题:
(1)菜地离小明家多远?
小明走到菜地用了多少时间?
(2)小明给菜地浇水用了多少时间?
(3)菜地离玉米地多远?
小明从菜地到玉米地用了多少时间?
(4)小明给玉米地锄草用了多少时间?
(5)玉米地离小明家多远?
小明从玉米地走回家的平均速度是多少?
【例3】在下列式子中,对于x的每一个确定的值,y有唯一的对应值,即y是x的函数,画出这些函数的图象:
(1)y=x+0.5;
(2)y=
(x>0).
【探索方法】描点法画函数图象的一般步骤如下:
第一步:
列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
第二步:
描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);
第三步:
连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来).
【情境思考】课本P103思考题
(1)、
(2).
四、随堂练习,巩固深化
课本P104练习第1、2、3题.
【探研时空】
如图所示,分析右面反映变量之间关系的图,想象一个适合它的实际情境.
五、课堂总结,发展潜能
1.我们可以由一个函数的表达式,列出这个函数的函数对应值表,并把这些对应值(有序的)看成点坐标,在坐标平面内描点,进而画出函数的图象.
2.如果已知一个变量与另一个变量之间存在函数关系,根据这两个变量的对应值,可以列表或画图表示这个函数.到此为止,我们共学习了函数的三种表示法:
(1)表达式法(解析式法);
(2)列表法;(3)图象法.
六、布置作业,专题突破
课本P106习题14.1第5,6,7,8题.
板书设计
14.1.3函数的图象
(一)
1、函数的三种表示方法
例:
2、自变量与函数的关系
练习:
3、画函数图象
14.1.3函数的图象
(二)
教学目标
1.知识与技能
会运用描点法画出函数的图象,并认识自变量取值范围和函数值的内在联系.
2.过程与方法
经历探索画函数图象的过程,提高识图能力,感受现实世界的变化规律以及有关的数学符号.
3.情感、态度与价值观
培养良好的变化与对应意识,体会函数的内涵.
重、难点与关键
1.重点:
对函数图象的理解.
2.难点:
怎样用语言描述图象的变化过程.
3.关键:
抓住函数的性质,培养学生读图能力.
教具准备
直尺、圆规.
教学方法
采用“启发式──探究”教学法,让学生在图形的认识中感悟新知.
教学过程
一、回顾交流,巩固迁移
【复习提问】
1.函数有哪几种表示方法?
你认为三种表示函数的方法各有什么优点?
2.结合上一节内容,请你说说什么是函数的图象?
【例4】一水库的水位在最近5小时内持续上涨,下表记录了这5小时的水位高度.
t/时
0
1
2
3
4
5
…
y/米
10
10.05
10.10
10.15
10.20
10.25
…
(1)由记录表推出这5小时中水位高度y(单位:
米)随时间t(单位:
时)变化的函数解析式,并画出函数图象;
(2)据估计这种上涨的情况还会持续2小时,预测再过2小时水位高度将达到多少米.
【思路点拨】记录表已经通过6组数值反映了时间t与水位y之间的对应关系,我们现在需要从这些数值找出这两个变量之间的一般联系规律,由写它出函数解析式,画出函数图象,进而预测水位.
(1)y=0.05t+10(0≤t≤7),图见课本P17(课本图14.1-10);
(2)y=0.05×7+10=10.35.
【学生活动】参与其中,认识函数的三种表达形式在实际中的应用.
【评析】由例4可以看出函数的不同表示法之间可以转化.
二、随堂练习,巩固深化
课本P106练习第1、2题.
三、课堂总结,发挥潜能
让学生归纳由函数解析式画函数图象的步骤.
四、布置作业,专题突破
课本P106习题14.1第9,10,11,12题.
板书设计
14.1.3函数的图象
(二)
1、画函数图象
例:
2、用语言描述图象的变化过程
练习:
3、函数的性质
14.2.1正比例函数
教学目标
1.知识与技能
领会正比例函数的定义,会从实际问题中提炼出正比例函数的解析式.
2.过程与方法
经历探索正比例函数的过程,发展学生的类比思维.
3.情感、态度与价值观
培养由此及彼地认识问题的能力,体会事物的抽象性以及正比例函数的实际应用价值.
重、难点与关键
1.重点:
正比例函数.
2.难点:
正比例函数性质的理解.
3.关键:
从实际问题出发,从中提炼出函数的模型.
教学方法
采用“情境导入──建立模型”的方法,让学生从实际生活中感知正比例函数概念.
教学过程
一、回顾交流,探索新知
【知识回顾】
在小学我们学过正比例关系,小学数学是这样陈述的:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化.如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它的关系叫做正比例关系,写成式子是
=k(一定),在小学k是大于零的数.
问题探究1:
1996年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环:
4个月零1周后,人们在2.56万米外的澳大利亚发现了它.
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(精确到10千米)?
(2)这只燕鸥的行程y(单位:
千米)与飞行时间x(单位:
天)之间有什么关系?
(3)这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米?
问题探究2:
下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?
这些函数有什么共同点?
(1)圆的周长L随半径r的大小变化而变化:
(L=2
r)
(2)铁的密度为7.8g/m3,铁块的质量m(单位:
g)随它的体积V(单位:
cm3)的大小变化而变化;(m=7.8V)
(3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:
cm)随这些练习本的本数n的变化而变化;(h=0.5n)
(4)冷冻一个0℃的物体,使它每分下降2℃,物体的温度T(单位:
℃)随冷冻时间t(单位:
分)的变化而变化;(T=-2t)
【特征归纳】正如y=200x一样,上述函数都是常数与自变量的乘积的形式.
【形成定义】一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
二、范例点击,提高认知
【例1】画出下列正比例函数的图象.
(1)y=2x
(2)y=-2x
【教师活动】动手操作示范,并且引导学生进行比较(见课本图14.2-1,图14.2-2).
【观察与比较】
教师口述:
请同学们比较上面两个函数的图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律.
填写你发现的规律:
两图象都是经过原点的直线.函数y=2x的图象从左向右(上升),经过第(一、三)象限;函数y=-2x的图象从左向右(下降),经过第(二、四)象限.
【学生活动】观察比较,寻求规律,总结方法.
三、随堂练习,巩固深化
课本P112练习.
【形成性质】一般地,正比例函数的y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx.当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即随着x的增大反而减小.
【教师提问】经过原点与点(1,k)的直线是哪个函数的图象?
画正比例函数的图象时,怎样画最简单?
为什么?
【学生活动】回答教师提出的问题,并通过探讨,得到画正比例函数的最简单方法:
(1)先选取两点,通常选出(0,0)与点(1,k);
(2)在坐标平面内描出点(0,0)与点(1,k);
(3)过点(0,0)与点(1,k)做一条直线.
这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象.
四、随堂练习,消化理解
课本P113练习.
五、课堂总结,发挥潜能
1.正比例函数y=kx图象的画法:
过原点与点(1,k)的直线即所求图象.
2.正比例函数的性质.(由学生归纳)
六、布置作业,专题突破
课本P120习题14.2第1、2、3题.
板书设计
14.2.1正比例函数
1、正比例函数的定义例:
2、正比例函数的性质练习:
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