运筹学清华第四版答案.docx
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运筹学清华第四版答案
运筹学清华第四版答案
【篇一:
清华_第三版_运筹学教程_课后答案~(_第一章_第五章部分)】
文字]
运筹学教程
1.某饲养场饲养动物出售,设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100mg
维生素。
现有五种饲料可供选用,各种饲料每kg营养成分含量及单价如表1所示。
表1
要求确定既满足动物生长的营养需要,又使费用最省的选用饲料的方案。
解:
设总费用为z。
i=1,2,3,4,5代表5种饲料。
xi表示满足动物生长的营养需要时,第i种饲料所需的数量。
则有:
minz?
0.2x1?
0.7x
2?
0.4x3?
0.3x4?
0.8x5?
3x1?
2x2?
x3?
6x4?
8x5?
700?
?
x1?
0.5x2?
0.2x3?
2x4?
0.5x5?
30s.t.?
?
0.5x1?
x2?
0.2x3?
2x4?
0.8x5?
100?
x?
0,i?
1,2,3,4,5?
i
2.某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如表2所示。
每班护士值班
开始时间向病房报道,试决定:
(1)若护士上班后连续工作8h,该医院最少需要多少名护士,以满足轮班需要;
(2)若除22:
00上班的护士连续工作8h外(取消第6班),其他班次护士由医院
排定上1~4班的其中两个班,则该医院又需要多少名护士满足轮班需要。
表2
6
2:
00~6:
0030
解:
(1)设x第i班开始上班的人数,i=1,2,3,4,5,6
minz?
x1?
x2?
x3?
x4?
x5?
x6?
x1
?
?
x1?
x2?
s.t.?
x3
?
x?
4?
x5?
?
xi
?
x6?
60?
x2?
70?
x3?
60?
x4?
50?
x5?
20?
x6?
30
?
0,i?
1,2,3,4,5,6且为整数
解:
(2)在题设情况下,可知第五班一定要30个人才能满足轮班需要。
则设设xi第i班开始上班的人数,i=1,2,3,4。
minz?
x1?
x2?
x3?
x4?
30
?
y11x1?
y21x2?
y31x3?
y41x4?
60,第一班约束
?
?
y11?
1,y11?
y12?
y13?
y14?
2
?
yx?
yx?
yx?
yx?
70,第二班约束121222323424?
?
y22?
1,y21?
y22?
y23?
y24?
2?
s.t.?
y13x1?
y23x2?
y33x3?
y43x4?
60,第三班约束?
y?
1,y?
y?
y?
y?
2
31323334
?
33
?
y14x1?
y24x2?
y34x3?
y44x4?
50,第四班约束?
?
y44?
1,y41?
y42?
y43?
y44?
2
?
x?
0,y是0—1变量,i,j?
1,2,3,4
ij?
i
3.要在长度为l的一根圆钢上截取不同长度的零件毛坯,毛坯长度有n种,分别为aj
(j=1,2,…n)。
问每种毛坯应当截取多少根,才能使圆钢残料最少,试建立本问题的数学模型。
解:
设xi表示各种毛坯的数量,i=1,2,…n。
n
maxz?
?
a
i?
1
i
xi
?
n
?
?
aixi?
1?
i?
1
?
x是整数?
i
4.一艘货轮分前、中、后三个舱位,它们的与最大允许载重量如表3.1所示。
现有三
种
货物待运,已知有相关数据列于表3.2。
表3.1
表3.2
又为了航海安全,前、中、后舱实际载重量大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。
具体要求:
前、后舱分别与中舱之间载重量比例的偏差不超过15%,前、后舱之间不超过10%。
问该货轮应该载a,b,c各多少件运费收入才最大?
试建立这个问题的线性规划模型。
解:
设xij表示第i件商品在舱j的装载量,i,j=1,2,3
maxz?
1000(x11?
x12?
x13)?
700(x21?
x22?
x23)?
600(x31?
x32?
x33)
1)商品的数量约束:
?
x11?
x12?
x13?
600
?
?
x21?
x22?
x23?
1000?
x?
x?
x?
800
3233?
31
2)商品的容积约束:
?
10x11?
5x21?
7x31?
4000?
?
10x12?
5x22?
7x32?
5400?
10x?
5x?
7x?
1500
132333?
3)最大载重量约束:
?
8x11?
6x21?
5x31?
2000?
?
8x12?
6x22?
5x32?
3000?
8x?
6x?
5x?
1500
2333?
13
4)重量比例偏差的约束:
?
?
8x11?
?
8x?
11?
?
8x
13?
?
?
8x
13?
?
?
8x13?
?
?
8x13?
?
6x21?
5x31?
?
6x21?
5x31?
?
6x23?
5x33?
?
6x23?
5x33?
?
6x23?
5x33?
?
6x23?
5x33?
232312123434
(1?
0.15)(8x12?
6x22?
5x32)(1?
0.15)(8x12?
6x22?
5x32)(1?
0.15)(8x12?
6x22?
5x32)
(1?
0.15)(8x12?
6x22?
5x32)(1?
0.1)(8x11?
6x21?
5x31)(1?
0.1)(8x11?
6x21?
5x31)
5.篮球队需要选择5名队员组成出场阵容参加比赛。
8名队员的身高及擅长位置见表
5.表5
出场阵容应满足以下条件:
(1)只能有一名中锋上场;
(2)至少一名后卫;
(3)如1号和4号均上场,则6号不出场;(4)2号和8号至少有一个不出场。
问应当选择哪5名队员上场,才能使出场队员平均身高最高,试建立数学模型。
解:
设xi?
1表示第i个队员出场,i=1,2…8.
maxz?
1
8
i
x?
5
i?
1
?
8
?
?
xi?
5
?
i?
1
?
?
x1?
x2?
1,x6?
x7?
x8?
1?
x?
x?
1,x?
x?
x?
2
8146
?
2?
?
xi是0—1变量
6.时代服装公司生产一款新的时装,据预测今后6个月的需求量如表4所示,每件时
装用工2h和10元原材料费,售价40元。
该公司1月初有4名工人,每人每月可工作200h,月薪2000元。
该公司可于任一个月初新雇工人,但每雇1人需一次性额外支出1500元,也可辞退工人,但每辞退1人需补偿1000元。
如当月生产数超过需求,可留到后面月份销售,但需付库存费每件每月5元,当供不应求时,短缺数不需补上。
试帮组该公司决策,如何使用6个月的总利润最大。
表4单位:
件
解:
设xi1为第i月现有工人人数,xi2为新雇工人人数,xi3为辞退工人人数,yi为每月的需求。
i=1,2,…,6。
则有:
6
maxz?
?
(40?
10)?
i?
1
2002
66j
(xi1?
xi2)?
?
(2000
i?
1
xi1?
3500xi2?
1000xi3)?
5?
?
(n
i
?
yi)f(ni?
yi)
j?
1k?
1
?
1,x?
0
其中f(x)?
?
?
0,x?
0
?
x11?
4?
2,?
,5?
xi1?
xi3?
xi1?
xi2,i?
1,
s.t.?
?
ni?
200?
(xi1?
xi2)?
2?
x?
0,i?
1,2,,?
,6;k?
1,2?
ik
7.童心玩具厂下一年度的现金流(万元)如表6所示,表中负号表示该月现金流出大
于流入,为此该厂需借款。
借款有两种方式:
一是于上一年末借一年期贷款,一次得全部贷款额,从1月底起每月还息1%,于12月归还本金和最后一次利息;二是得到短期贷款,每月初获得,于月底归还,月息1.5%。
当该厂有多余现金时,可短期
【篇二:
运筹学习题及答案】
章(39页)
1.1用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
(1)maxz?
x1?
x25x1+10x2?
50
x1+x2?
1x2?
4x1,x2?
0
(2)minz=x1+1.5x2
x1+3x2?
3x1+x2?
2x1,x2?
0
(3)maxz=2x1+2x2
x1-x2?
-1
-0.5x1+x2?
2
x1,x2?
0
(4)maxz=x1+x2
x1-x2?
0
3x1-x2?
-3
x1,x2?
0
解:
(1)(图略)有唯一可行解,maxz=14
(2)(图略)有唯一可行解,minz=9/4(3)(图略)无界解(4)(图略)无可行解
1.2将下列线性规划问题变换成标准型,并列出初始单纯形表。
(1)minz=-3x1+4x2-2x3+5x44x1-x2+2x3-x4=-2
x1+x2+3x3-x4?
14
-2x1+3x2-x3+2x4?
2
x1,x2,x3?
0,x4无约束
(2)maxs?
n
m
zk
pk
zk?
?
?
aikxik
i?
1k?
1
?
?
x
k?
1
m
ik
?
?
1(i?
1,...,n)
xik?
0(i=1…n;k=1,…,m)
(1)解:
设z=-z?
x4=x5-x6,x5,x6?
0标准型:
maxz?
=3x1-4x2+2x3-5(x5-x6)+0x7+0x8-mx9-mx10s.t.
-4x1+x2-2x3+x5-x6+x10=2
x1+x2+3x3-x5+x6+x7=14
-2x1+3x2-x3+2x5-2x6-x8+x9=2
x1,x2,x3,x5,x6,x7,x8,x9,x10?
0
(2)解:
加入人工变量x1,x2,x3,…xn,得:
maxs=(1/pk)?
i?
1n
?
k?
1
m
?
ikxik-mx1-mx2-…..-mxn
s.t.
xi?
?
xik?
1(i=1,2,3…,n)
k?
1m
xik?
0,xi?
0,(i=1,2,3…n;k=1,2….,m)
m是任意正整数
1.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。
指出哪些是基可行解,并代入目标函数,确定最优解。
(1)maxz=2x1+3x2+4x3+7x42x1+3x2-x3-4x4=8x1-2x2+6x3-7x4=-3
x1,x2,x3,x4?
0
(2)maxz=5x1-2x2+3x3-6x4
x1+2x2+3x3+4x4=7
2x1+x2+x3+2x4=3
x1x2x3x4?
0
(1)解:
系数矩阵a是:
?
23?
1?
4?
?
1?
26?
7?
?
?
令a=(p1,p2,p3,p4)
p1与p2线形无关,以(p1,p2)为基,x1,x2为基变量。
有2x1+3x2=8+x3+4x4x1-2x2=-3-6x3+7x4令非基变量x3,x4=0解得:
x1=1;x2=2
基解x
(1)=(1,2,0,0)t为可行解
z1=8
同理,以(p1,p3)为基,基解x
(2)=(45/13,0,-14/13,0)t是非可行解;以(p1,p4)为基,基解x(3)=(34/5,0,0,7/5)t是可行解,z3=117/5;以(p2,p3)为基,基解x(4)=(0,45/16,7/16,0)t是可行解,z4=163/16;以(p2,p4)为基,基解x(5)=(0,68/29,0,-7/29)t是非可行解;以(p4,p3)为基,基解x(6)=(0,0,-68/31,-45/31)t是非可行解;最大值为z3=117/5;最优解x(3)=(34/5,0,0,7/5)t。
(2)解:
系数矩阵a是:
?
1234?
?
2112?
?
?
令a=(p1,p2,p3,p4)
p1,p2线性无关,以(p1,p2)为基,有:
x1+2x2=7-3x3-4x4
2x1+x2=3-x3-2x4令x3,x4=0得
x1=-1/3,x2=11/3
基解x
(1)=(-1/3,11/3,0,0)t为非可行解;
同理,以(p1,p3)为基,基解x
(2)=(2/5,0,11/5,0)t是可行解z2=43/5;以(p1,p4)为基,基解x(3)=(-1/3,0,0,11/6)t是非可行解;以(p2,p3)为基,基解x(4)=(0,2,1,0)t是可行解,z4=-1;以(p4,p3)为基,基解x(6)=(0,0,1,1)t是z6=-3;最大值为z2=43/5;最优解为x
(2)=(2/5,0,11/5,0)t。
1.4分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题,并指出单纯形迭代每一步相当于图形的哪一点。
(1)maxz=2x1+x23x1+5x2?
156x1+2x2?
24
x1,x2?
0
(2)maxz=2x1+5x2
x1?
4
2x2?
123x1+2x2?
18
x1,x2?
0
【篇三:
运筹学(清华大学第三版)习题集】
axz?
2x1?
3x2
?
x1?
2x2?
x3?
8?
?
4x1?
x4?
16
s.t.?
?
4x2?
x5?
12
?
xj?
0,j?
1,2,?
5?
解:
依据单纯形理论,有以下计算:
(1)令x3,x4,x5为基变量、x1,x2为非基变量,可得
?
x1?
2100?
?
x2?
?
8?
?
x3?
8?
x1?
2x2
?
?
?
,代入目标函数,得z?
0?
2x1?
3x2。
0010?
?
x3?
?
?
16?
,解得?
x4?
16?
4x1
?
?
?
?
?
?
x?
12?
4x4001?
2?
5?
?
x4?
?
?
12?
?
?
?
x5?
?
?
1
?
4?
?
?
0
此时得到的解为x?
(0,0,8,16,12)t,z?
0。
由
?
z?
x1
?
2?
0、
?
z?
x2
?
3?
0可知,x1,x2取正值可使z增大。
?
x3?
8?
2x2?
0
?
x2?
4?
若令x2取正值且x1仍为0,由?
x4?
16?
0,可得?
,这说明x2最大可以达到3,此
x?
3?
2?
x?
12?
4x?
0
2?
5
时x5将变为0,成为非变量。
(2)令x2,x3,x4为基变量、x1,x5为非基变量,可得
?
x1?
?
1/2?
?
x2?
?
2?
?
x2?
3?
x5/4
?
?
3?
0?
?
x3?
?
?
16?
,解得?
x3?
2?
x1?
x5/2,目标函数变为z?
9?
2x1?
x5。
?
?
?
?
?
4?
x?
16?
4x?
?
1/4?
x31?
4?
?
4?
?
?
?
?
x5?
?
?
1010
?
4001?
?
?
0100
此时得到的解为x?
(0,3,2,16,0)t,z?
9。
由
?
z?
x1
?
2?
0可知,x1取正值可使z增大。
?
x2?
3?
0
?
x1?
2?
若令x1取正值且x5仍为0,由?
x3?
2?
x1?
0,可得?
,这说明x1最大可以达到2,此
x?
4?
1?
x?
16?
4x?
0
?
41
时x3将变为0,成为非基本变量。
(3)令x1,x2,x4为基变量、x3,x5为非基变量,可得解x?
(2,3,0,8,0)t,z?
13。
此时z?
13?
2x3?
14
x5,可知此时应让x5取正值,即进入基变量。
经过类似检查,可知应让x4变成非基变量。
(4)令x1,x2,x5为基变量,x3,x4为非基变量,可得解x?
(4,2,0,4,0)t,此时z?
14?
32x3?
18
x4,达到最优点。
上述过程可以编制表格计算,这就是单纯形法。
z?
14。
例1.9分别用图解法、单纯形法求解例1.8的lp问题,并指出单纯形法迭代的每一步相当于图形上的哪个顶点。
maxz?
2x1?
3x2
?
x1?
2x2?
x3?
8?
s.t.?
4x?
1?
x4?
16
?
4x2?
x5?
12
?
?
xj?
0,j?
1,2,?
5解:
原问题可等价转化为:
maxz?
2x1?
3x2?
x1?
2x2?
8?
s.t.?
4x1?
16
?
?
4x2?
12
?
?
xj?
0,j?
1,2图解如下:
可知,目标函数在b(4,2)处取得最大值,故原问题的最优解为x*?
(4,2)t,目标函数最大值为z*?
2*4?
3*2?
14。
用单纯形法求解原问题时,单纯形表如下:
原问题的最优解为x*?
(4,2,0,0,4)t,目标函数最大值为z*?
2*4?
3*2?
14。
单纯形法的寻找路径为:
x
(1)?
(0,0,8,16,12)→x
(2)?
(0,3,2,16,0)→
x(3)?
(2,3,0,8,0)→x(4)?
(4,2,0,0,4)
与图解法对照,寻找相当于o(0,0)→d(0,3)→c(2,3)→b(4,2)。
例1:
用单纯形法求解下述lp问题。
maxz?
3x1?
4x2?
2x1?
x2?
40
,?
s.t.?
x1?
3x2?
30
?
x,x?
0?
12
解:
首先将原问题转化为线性规划的标准型,引入松弛变量x3、x4,可得:
maxz?
3x1?
4x2?
2x1?
x2?
x3?
40
?
s.t.?
x1?
3x2?
x4?
30
?
x,x,x,x?
0?
1234
构造单纯形表,计算如下:
由此可得,最优解为x*?
(18,4,0,0)t,目标函数值为z*?
3*18?
4*4?
70。
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