高考全国3卷理科数学试题及答案解析.docx
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高考全国3卷理科数学试题及答案解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试全国
理科数学试题及答案解析一、选择题本题共12小题每小题5分共60分
1已知集合
2
2A(x,y)xy1B(x,y)yx则AB中元素的个数为
A3B2C1D0
【答案】B
【解析】A表示圆
2
2xy1上所有点的集合B表示直线yx上所有点的集合
故AB表示两直线与圆的交点由图可知交点的个数为2即AB元素的个数
为2故选B.
2设复数z满足(1i)z2i则z
A
1
2
B
2
2
C2D2
【答案】C
【解析】由题
2i
2i1i2i2
zi1则
z12122故选C.1i1i1i23某城市为了解游客人数的变化规律提高旅游服务质量收集并整理了2014年1月至
2016年12月期间月接待游客量单位万人的数据绘制了下面的折线图
根据该折线图下列结论错误的是
A月接待游客量逐月增加
B年接待游客量逐年增加专业技术参考资料...
...WORD格式整理C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月波动性更小变化比较平稳
【答案】A
【解析】由题图可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少则A选项错误故选A.
4
5
(xy)(2xy)的展开式中
3
3xy的系数为
ABC40D80
【答案】C
【解析】由二项式定理可得原式展开中含
3
3xy的项为
2
332
2333x
C2xyyC2xy40xy则55
33x
y的系数为40故选C.
5已知双曲线
2
2xy
C2
21
a0b0的一条渐近线方程为ab
5
yx且与椭圆
2
2
2xy
1有公共焦点则
C的方程为1232222xyxyA1B1
81045
C
2
2xy
54
1
D
2
2xy
43
1【答案】B
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为
5
yx则
2
b
a
5
2
①22xy2229又∵椭圆1与双曲线有公共焦点易知c3则
abc②12322xy
1由①②解得a2,b5则双曲线C的方程为故选B.456
设函数
π
f(x)cos(x)则下列结论错误的是
3
Af(x)的一个周期为2
πByf(x)的图像关于直线
8π
x对称
3
Cf(x)的一个零点为
π
xDf(x)在
6
π
(,π)
2
单调递减
【答案】D
【解析】函数
π
fxcosx的图象可由y
cosx向左平移
3
π
个单位得到
3
如图可知fx在
π
π
2
上先递减后递增D选项错误故选
D.yOx-...
...6
7执行右图的程序框图为使输出S的值小于91则输入的正整数N的最小值为
A5专业技术参考资料...
...WORD格式整理B4
C3
D2
【答案】D
【解析】程序运行过程如下表所示SMt初始状态01001
第1次循环结束100102
第2次循环结束9013
此时S9091首次满足条件程序需在t3时跳出循环即N2为满足条件的最小值故选D.
8已知圆柱的高为1它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上则该圆柱的体
积为
Aπ
B
3π
4
C
π
D
π
4
【答案】B
【解析】由题可知球心在圆柱体中心圆柱体上下底面圆半径
2
21
3
r1
22
则圆柱体体积
2
3π
Vπrh故选B.
4
9等差数列an
的首项为1公差不为0若aa3a6成等比数列则an前6项的
和2
为
A24B3C3D8
【答案】A
【解析】∵an
为等差数列且
a2
a3,a6成等比数列设公差为d.
则
2
aaa即326
2a1
2da1da15d
又∵a1
1代入上式可得220
dd
又∵d0则d26565
S6ad16224故选A.∴6122
10已知椭圆C
2
2xy
:
1a
b0的左、右顶点分别为A1A2且以线段A1A2为直22ab径的圆与直线bxay2ab0相切则C的离心率为...
...专业技术参考资料...
...WORD格式整理
A
6
3
B
3
3
C
2
D
1
3
【答案】A
【解析】∵以A1A2为直径为圆与直线bxay2ab0相切∴圆心到直线距离d等于半径
∴
2ab
da2
2ab
又
∵a0,b0则上式可化简为232ab
∵
2
22bac可得
2
322aac即
2
c2a
2
3
∴
e
c
a
6
3
故选A
11已知函数
2
x1x1fxxxa有唯一零点则a()2(ee)
A
1
B
1
3
C
1
2
D
1
【答案】C
【解析】由条件
2
x1x1f(x)x2xa(ee)得22x1(2x)1f(2x)(2x)2(2x)a(ee)21xx1x4x442xa(ee)2x1x1x2xa(ee)
∴
f(2x)f(x)即x1为f(x)的对称轴
f
(x
)
由
题
意
有
唯
一
零
点
f
(x)
∴x
1的
零
点
只
能
为
即2
1111f
(1)121a(ee)0
y
B
Pg
C
1
a
2
解得
12在矩形ABCD
中AB1AD2动点P在以
E
AODx()
点C为圆心且与BD相切的圆上若APABAD则的最大值为
A3B22C5D2
【答案】A
【解析】由题意画出右图
设BD与C切于点E连接CE
以A为原点AD为x轴正半轴AB为y轴正半轴建立直角坐标系
则C点坐标为(2,1)∵|CD|1|BC|2
∴BD12225...
...∵BD切C于点E
∴CE⊥BD
∴CE是Rt△BCD中斜边BD上的高专业技术参考资料...
...WORD格式整理1
2|BC||CD|
2S222△BCD|EC|5
|BD||BD|55
2
即C的半径为
5
∵P
在C上
5
2
24
(x2)(y1)
∴P
点的轨迹方程为
5
设P
点坐标
(x,y)可以设出P
点坐标满足的参数方程如下00
x
0
2
25cos
5
y0
2
15sin
5
而AP(x0,y0)AB(0,1)AD(2,0)
∵APABAD(0,1)(2,0)(2,)
∴
2
15
x1cosy0
15sin0255
两式相加得
25
15sin1cos
55
255222()()sin()
55
2sin()≤3
(其中sin
5
5
cos
25
5
)
当且仅当
π
2
2π
kkZ时取得最大值3
二、填空题本题共4小题每小题5分共20分
xy0,
≥
xy2≤0,则z3x4y的最小值为________
13若xy满足约束条件
y0,
≥
【答案】1【解析】由题画出可行域如图
3z
目标函数为z3x4y则直线yx纵截距越大z值越小
44
由图可知z在A1,1处取最小值故zmin31411...
...专业技术参考资料...
...WORD格式整理xyy20
A
(1,1)xB
(2,0)
xy014设等比数列an满足a1a21
a1a33则a4________
【答案】8【解析】an为等比数列设公比为q
a
a12aa13
1
3即
aaq1
1
2a
aq11
1
①
3
②
显然q1
a1
0
②
1
q
3
q
2
得
即
代
入
①
式
可
得
①3
3a
a
q
1
2
8
4
1
a1
1
15设函数
f(x)
x1,x0,
≤x
2,x0,
1
则满足
f(x)f(x)1的x的取值范围是________
2
【答案】
1
4
【解析】
fx
x1,x0
≤
x
2,x0
1
fxfx1即
2
1
fx1fx
2
1
yfx与y1fx的图象如下由图象变换可画出
2...
...y1
yf(x)
2
11
(,)
44
1
2
1
2
x
y1f(x)
1
fxfx的解为
1
由图可知满足
2
1
4
.
16ab为空间中两条互相垂直的直线等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与
ab都垂直斜边AB以直线AC为旋转轴旋转有下列结论
①当直线AB与a成60角时AB与b成30角②当直线AB与a成60角时AB与b成60角③直线AB与a所成角的最小
值为45
④直线AB与a所成角的最大值为60其中正确的是________
填写所有正确结论的编号专业技术参考资料...
...WORD格式整理【答案】②③
【解析】由题意知a、b、AC三条直线两两相互垂直画出图形如图
不妨设图中所示正方体边长为1
故|AC|1AB2
斜边AB以直线AC为旋转轴旋转则A点保持不变B点的运动轨迹是以C为圆心1为半径的圆
以C为坐标原点以CD为x轴正方向CB为y轴正方向
CA为z轴正方向建立空间直角坐标系
则
D(1,0,0)A(0,0,1)
直线a的方向单位向量a(0,1,0)|a|1B点起始坐标为(0,1,0)
直线b的方向单位向量b(1,0,0)|b|1
设B点在运动过程中的坐标B(cos,sin,0)
其中为BC与CD的夹角[0,2π)
那么AB'在运动过程中的向量AB(cos,sin,1)|AB|2
设AB与a所成夹角为
π
[0,]
2
则
(cos,sin,1)(0,1,0)22
cos|sin|[0,]
22
aAB
故
ππ
[,]
42
所以③正确④错误
设AB与b所成夹角为
π
[0,]
2
cos
ABb
bAB
(cos,sin,1)(1,0,0)
.
bAB
2
2
|cos|
当AB与a夹角为60
时即
π
3
12
sin2cos2cos2
322
∵
2
2cossin1
∴
|cos|
2
2
∴
21
cos|cos|
22
∵
π
[0,]
2
∴
=
π
此时AB与b夹角为60
3专业技术参考资料...
...WORD格式整理∴②正确①错误
三、解答题共70分第17-20题为必考题每个试题考生都必须作答第2223题为选
考题考生根据要求作答
一必考题共60分
1712分
ABC的内角ABC的对边分别为abc已知sinA3cosA0a27b2
1求c
2设D为BC边上一点且ADAC求△ABD的面积
【解析】1由sinA3cosA0得
π
2sinA0
3
即
π
AkkZ又
A0,ππ
3
∴
π
Aπ得
3
2π
A.
3
由余弦定理
2
222cos
abcbcA.又∵
1
a27,b2,cosA代入并整理得
22c125故c4.
2∵AC2,BC27,AB4
由余弦定理
cosC
2
2227
abc
2ab7
.
∵ACAD即△ACD为直角三角形
则ACCDcosC得CD7.
由勾股定理
2
2ADCDAC3.
又
2π
A则
3
2πππ
DAB
326
1π
S△ADABsin3.ABD261812分某超市计划按月订购一种酸奶每天进货量相同进货成本每瓶4元售价每
瓶6元未售出的酸奶降价处理以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验
每天需求量与当天最高气温单位℃有关如果最高气温不低于25需求量为500
瓶如果最高气温位于区间2025需求量为300瓶如果最高气温低于20需求量
为200瓶为了确定六月份的订购计划统计了前三年六月份各天的最高气温数据得
下面的频数分布表
最高气温101515202025253030353540天数216362574
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率
1求六月份这种酸奶一天的需求量X单位瓶的分布列
2设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y单位元当六月份这种酸奶一天的
进货量n单位瓶为多少时Y的数学期望达到最大值【解析】⑴易知需求量x可取200,300,500
PX200
2161
3035...
...专业技术参考资料...
...WORD格式整理
P
X300
362
3035
25742
PX500.
3035
则分布列为X200300500
P
1
5
2
5
2
5
⑵①当n≤200时Yn642n此时Ymax400当n200时取到.
②当200
n≤300时
41
Y2n2002n2002
55
88002n6n800
n
555
此时Ymax520当n300时取到.
③当300n≤500时
122
Y2002n20023002n3002n2
555
32002n
5
此时Y520.
④当n≥500时易知Y一定小于③的情况.
综上所述当n300时Y取到最大值为520.
1912分如图四面体ABCD中△ABC是正三角形△ACD是直角三角
形?
ABD?
CBDAB=BD
1证明平面ACD
^平面ABC
D
2过AC的平面交BD于点E若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分求二
面角D
-AE-C的余弦值
C
E
B
D
A【解析】⑴取AC中点为O连接BODOABC为等边三角形E∴BOAC
C∴ABBC
OABBCBBDBDABDCBD.
ABDDBCA∴ADCD,即ACD为等腰直角三角形ADC为直角又O为底边AC中点
∴DOAC令ABa则ABACBCBDa...
...专业技术参考资料...
...WORD格式整理
易得
2
ODa
2
3
OBa
2222ODOBBD
∴
DOB由勾股定理的逆定理可得
2
即ODOBODAC
ODOB
z
ACOBO
ACABC
平面
OD平面ABC
D
OBABC
平面
又∵OD平面ADC
C
E
由面面垂直的判定定理可得
平面ADC平
面ABC
⑵由题意可知VD
ACEVBACE即B,D到平面ACE的距离相等
O
B
y
即
E为BD中点
以O
为原点OA为x轴正方向OB为y轴正方
x
A
向OD为z轴正方向设ACa建立空间直角坐标系
aa
则O
0,0,0A,0,0D
0,0,
22
3
B0,a,0
2
3a
E0,a,
44
易得
a3aaaa
AEaAD,0,OA,0,0
,AEa
AD,0,OA,0,0
244222
设平面AED的法向量为n1
平面AEC的法向量为n2
则
AEn1
ADn1
0
0
解得n1
3,1,
3
AEn2
OAn2
0
0
解得n2
0,1,
3
若二面角DAEC为易知为锐角
则
cos
nn1
2nn12
7
7
2012分
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