传染病的传播问题.docx
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传染病的传播问题
传染病的传播问题
摘要:
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响,我们从中得到了许多重要的经验和教训。
本论文以微分方程为理论基础,综合运用机理分析和参数辨识的一般原理建立了传统模型,定量地研究传染病的传播规律,并通过对自然状态下模型的优化,得出适合的数学模型,最后分析建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型。
关键字:
指数模型微分方程曲线拟合MATLAB
1模型的背景问题描述
SARS(英文全称是SevereAcuteRespiratorySyndromes,严重急性呼吸道综合症,俗称:
非典型肺炎)是21世纪第一个在全球范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响,我们从中得到了许多重要的经验和教训,认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性,这也是人们十分关注的问题。
一种传染病的传播是一个非常付出的过程,它受很多社会因素和自然因素的制约和影响,如传染者的数量及其在人群中的分布,传染者的感染期限等。
在建立模型时不可能考虑所有因素,只能抓住关键的因素,采用合理的假设,建立一个与实际比较吻合的数学模型,有简单到复杂,从而使模型逐步完善。
在建立模型时,我们根据本次SARS疫情的具体情况,只考虑初始时刻传染者的数量,传染率,传染者的可感染期限,采取控制措施之后病例数的衰减等主要因素。
由于SARS发生的初期,社会对它的传播速度和危害程度认识不够,政府部门每采取措施加以控制,随着SARS的蔓延规律按控制前和控制后两个阶段来分别建立模型型。
2指数模型的建立
假定了一个初始时刻的病例数N0,平均每病人每天可传染K个人(K一般为小数),平均每个病人可以直接感染他人的实际时间为L天。
在此假设下建立了在L天之内,病例数目随时间t的解释公式模型:
(2-1)
该模型简单直观刻画了随着公众的防范意识、政府的防范措施的变化非典患者数目的变化。
模型中的显性参数K和隐性参数L决定了疫情的发展趋势。
2.1指数模型的合理性
模型中的参数具有实际的物理意义,参数K表示在一定地理范围内一个人使其他人感染的概率。
在疫情的整个发展中,K取决于政府的防范措施及公众的防范意识等因素,且在疫情初期和疫情中后期其大小是不一样的。
在疫情初期,政府措施和人们的防范意识较弱,因此K较大,中后期由于政府采取措施,相应的人们的防范意识增强,K值也开始减小。
模型中给出的物理意义符合实际情况,且放映了实际的疫情,是合理的。
2.2指数模型的实用性:
通过调整参数可计算出不同地区疫情发展的周期和峰值,并作相对比较。
模型通过对香港数据和广州数据进行了计算和分析,和实际结果结合的较好,并对北京进行了预测和分析,与实际虽有一定的偏差,但考虑在模型较为简单的情况下,具有一定的优点。
综上所述,由于指数模型的功能和精确性的缺陷,我通过对其优化得出新的更优模型。
3新模型的建立及分析
3.1模型假设
我们把SARS流行范围内的人群分为三类:
第一类:
易感染SARS者,指未得SARS者,但与得SARS者接触后容易受到感染的人。
第二类:
感染SARS者,指已经确诊为SARS患者。
第三类:
移出者,指因患病而死亡或因病愈后而具有免疫能力的人,他们这是既非得病者,也非易病者,实际上他们已经退出了我们所考虑的SARS传播系统。
根据模型中要考虑的易感染者、感染者和移出者三类人的动态,给出假设。
(1)除感染SARS者的特征外,人群的个体没有差异,感染SARS者与易感染SARS者的个体在人群中的混合式均匀的。
(2)SARS所有可能传播途径都视为与病原的直接接触。
(3)人群的数量足够大,只考虑SARS传播过程的平均效应。
(4)易感染SARS者感染SARS的机会与他接触感病者的机会成正比。
(5)疾病的传染率为常数。
(6)在SARS传播期内所考察的地区总人数N视为常数,即不考虑出生与死亡的过程和人群的迁入与迁出,或着人群的迁入与迁出数相等且这些人均没有得SARS。
时间以一天为计量单位。
(7)根据目前的医学资料表明,SARS治愈后均有很强的免疫能力,所以病愈的SARS病人即不会是易感染SARS者,也不会是感染SARS者。
由假设
(1),易感者、感染SARS者和移出者只是时间的函数,分记S(t)、I(t)和R(t)。
假设(6)表明在SARS传播的过程中,人群的总数N保持不变,即S(t)+I(t)+R(t)=N。
为简便起见,我们不妨将R(t)、I(t)和S(t)理解为移出者、感染SARS者和易感者各在人群中所占的比例,则有S(t)+I(t)+R(t)=1。
根据假设(3),可以认为它们是连续的,而且足够光滑。
3.2符号的说明
K——SARS的感染率(每个已被诊断的SARS病人每天感染易感染者的可能性)。
h——移出率,为痊愈率i
(单位时间内痊愈的百分数)与死亡率j(单位时间内痊愈的百分数)之和。
N——人口总数。
S(t)——易感者人数。
I(t)——感染者人数。
R(t)——移出者人数。
3.3模型的建立与求解
根据物质平衡法则和假设(6),通过分析可以建立如下的传播模型的微分方程组:
(3-1)
(3-2)
记初始时刻易感者和感病者的比例分别为,并设初始移出者。
注意到条件,可知三个方程是相容的。
因此,模型可以化简为以下的微分方程组:
(3-3)
(3-4)
此微分方程无法求出解析S(t)|I(t)。
由于前期对疫情不太重视,我们只能错略的确定参数k|h。
K——根据医学资料和有关数推到而得。
h——由表格中的统计数据分析。
现假设在4月20日开始控制,控制措施需要10天左右才能生效,故可以认为4月20至4月30日食没有控制时的疫情传染状况。
则根据4月20日至4月30日的疫情数据,我们可以粗略控制前的参数。
以下为求死亡率和治愈率的MATLAB程序:
sumdead=0;sumcure=0;
dead=[1825283539424856596675];
besure=[3394825886937748779881114119913471440];
cured=[3343465564737678788390];
forj=1:
11
dead(1,j)=dead(1,j)/besure(1,j);
end
forj=1:
11
sumdead=dead(1,j)+sumdead;
end
sumdead=sumdead/11;
'死亡率:
'
sumdead
fori=1:
11
cured(1,i)=cured(1,i)/besure(1,i);
end
fori=1:
11
sumcure=sumcure+cured(1,i);
end
'痊愈率:
'
sumcure=sumcure/11
3.4模型检验
利用MATLAB对模型的检验
3.4.1主程序:
clear;
n=65;
I2=zeros(1,n);
popu=6500000;
cured=0.0769;
dead=0.05;
day=1:
n;
ganran=0.338;
allbesured=zeros(1,n);
Syigan=zeros(1,65);
allbesured(1,1)=339;
Syigan2(1,1)=(popu-339)/popu;
I22(1,1)=287/popu;
dd(1,1)=0;
fori=2:
n
I2(1,i)=ganran*I22(1,i-1)*Syigan2(1,i-1)-(cured+dead)*I22(1,i-1);
I22(1,i)=I22(1,i-1)+I2(1,i);
Syigan2(1,i)=Syigan2(1,i-1)-ganran*I22(1,i-1)*Syigan2(1,i-1);
dd(1,i)=Syigan2(1,i-1)*popu*I22(1,i);
allbesured(1,i)=allbesured(1,i-1)+Syigan2(1,i-1)*popu*I22(1,i);
end
'易感人群:
'
Syigan2
'日增加:
'
dd
plot(day,allbesured)
3.4.2检验结果
ans=易感人群:
Syigan2=
Columns1through4
0.99990.99990.99990.9999
Columns5through8
0.99990.99980.99980.9997
Columns9through12
0.99970.99960.99950.9994
Columns13through16
0.99930.99920.99900.9988
Columns17through20
0.99850.99820.99780.9973
Columns21through24
0.99680.99610.99530.9943
Columns25through28
0.99310.99160.98980.9877
Columns29through32
0.98520.98210.97840.9740
Columns33through36
0.96860.96230.95470.9457
Columns37through40
0.93500.92240.90760.8904
Columns41through44
0.87040.84750.82150.7923
Columns45through48
0.75980.72430.68610.6456
Columns49through52
0.60350.56050.51750.4754
Columns53through56
0.43480.39640.36070.3280
Columns57through60
0.29840.27190.24840.2277
Columns61through64
0.20950.19360.17970.1677
Column65
0.1571
ans=日增加:
dd=1.0e+005*
Columns1through4
00.00350.00420.0051
Columns5through8
0.00620.00750.00910.0110
Columns9through12
0.01330.01610.01950.0236
Columns13through16
0.02850.03460.04180.0506
Columns17through20
0.06130.07420.08980.1086
Columns21through24
0.13140.15890.19210.2321
Columns25through28
0.28040.33850.40840.4924
Columns29through32
0.59300.71340.85691.0277
Columns33through36
1.23001.46861.74832.0741
Columns37through40
2.45052.88103.36763.9097
Columns41through44
4.50305.13865.80196.4717
Columns45through48
7.12077.71628.22308.6065
Columns49through52
8.83788.89808.78148.4975
Columns53through56
8.06887.52786.91206.2583
Columns57through60
5.59964.96174.36303.8147
Columns61through64
3.32172.88512.50232.1694
Column65
1.8815
(图3-1)传播模型(从4月20日起)
3.5新模型与指数模型相比的优点
(1)该模型具有良好的可控性,可以在新模型的基础上加入控制量,得出新的可控模型。
(2)该模型假设科学和理,与指数模型相比该模型更加细化了变量的分类是,是输出结果更加精确。
(3)设定了又关的参数,建立了为微分模型。
(4)在该模型的基础上建立的控后模型考虑到了传染率、移出率随时间的不断变化,这与实际情况相符合。
4建立真正能够为预测以及预防和控制提供信息的模型的困难
(1)对合理约定参数的求解中,每个地区的医疗卫生水平,经济发展情况,人口密度等的不同,不能用全国的总情况进行分析,难以找到比较齐全的数据。
(2)要通过拟合来分析设定参数需要大量的数资料,但不同部门或期刊所提供的数据往往不一致,很难判断哪个的资料准确。
(3)由于人口众多,模型需要的变量复杂繁多,使得建立模型过程中添加变量的过程变的难以控制。
5推迟5天控制的情况分析
由于地区上的差异所以不能对所有地区进行说明,所以对于本题的分析仅以北京市为例。
由延迟5天的每天确诊比例图可知,在4月20日至25日之间确诊比率按照自然增长率急速增长,而4月25日之后,由于政府人为控制的介入,每天的确诊比率迅速下降,经过30天左右增长率几乎将为零。
从推迟5天的累计确诊人数图中可以发现经过5天的自然快速增长后,又经历了一个渐慢的增长区间,最后在接近4000人时,停止了增长。
对于无控制状态下的确诊增长率模型图,其上非常清楚的显示了SARS的自然传播过程,它存在一个峰值,最大在5月末达到,它明确指出即使不加任何控制,SARS也将最终自行消灭。
在无控制的传播模型中累计确诊率将按确诊的治愈率、感染率和死亡率增长,最终结果全北京近600万人SARS。
控制后的日增长率图与延迟5天的每天确诊比率图对照分析,由于政府相对较早的实施了控制行为,使SARS得日确诊累计增长最大值低于延迟5天的每天确诊比率图,转折点也先于后图。
可见提早控制将能够有效减低传染病的蔓延程度。
(图5-1)推迟5天的累计确诊人数(控制日从4月25日起)
(图5-2)延迟5天的每天确诊比率(传播时间从4月20日起)
(图5-3)无控制传播模型传播模型(从4月20日起)
(图5-5)无控制状态下的确诊增长率(传播时间从4月20日起)
控制后的日增长率
(图5-6)控制后的日增长率(控制从4月20日起)
6建立传染病数学模型的重要性
传染病室严重危机人类身体健康的重要因素,它剥夺了无数人的生命,使许多人长期处于恐惧、忧郁、痛苦的状态中,甚至因之失去了生活的信心。
鉴于这种情况,传染病的传播和蔓延,长期以来一直受到世界各国的关注。
随着社会的进步、卫生设施和医疗水平的改善、人类文明的不断进步,虽然诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染病已经得到控制,但是在世界的某些地区,特别是在较贫困的发展中国家,很可能出现传染病流行的情况。
一般地,传染病经过较长时间的传播感染后才会引起人们的关注,并给以一定的预防和控制。
因此,找出一个能够预测并为预防和控制提供足够、可靠信息的方法是人们所期望的,而建立传染病数学模型可以为预测、预防以及控制提供可靠、准确的信息,使传染疾病得到较快的控制。
阻止其蔓延,最终杜绝传染病的爆发。
7参考文献
《数学模型与数学建模》刘来福曾文艺编著北京师范大学出版社
《数学模型》(第二版)姜启源编著北京:
高等教育出版社1993
《MATLAB7.X与科学计算》王沫然编著北京:
清华大学出版社
《大学生数学建模竞赛辅导教材》叶其孝编著长沙:
湖南教育出版社1993
《SARS传播模型的建立与分析》作者:
杨波、独军利、李峰
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- 传染病 传播 问题