大学物理简明教程课后习题答案.docx

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大学物理简明教程课后习题答案

习题一

1-1｜｜与有无不同?

和有无不同?

和有无不同?

其不同在哪里?

试举例说明．

解：

（1）是位移的模，是位矢的模的增量，即，；

（2）是速度的模，即.

只是速度在径向上的分量.

∵有（式中叫做单位矢），则

式中就是速度径向上的分量，

∴不同如题1-1图所示.

题1-1图

（3）表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量.

∵有表轨道节线方向单位矢），所以

式中就是加速度的切向分量.

（的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论）

1-2设质点的运动方程为=（），=（），在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r＝，然后根据=，及＝而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

=及=

你认为两种方法哪一种正确？

为什么？

两者差别何在？

解：

后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有，

故它们的模即为

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

其二，可能是将误作速度与加速度的模。

在1-1题中已说明不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分。

或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢及速度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。

1-3一质点在平面上运动，运动方程为

=3+5,=2+3-4.

式中以s计，,以m计．

（1）以时间为变量，写出质点位置矢量的表示式；

（2）求出=1s时刻和＝2s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；（3）计算＝0s时刻到＝4s时刻内的平均速度；（4）求出质点速度矢量表示式，计算＝4s时质点的速度；（5）计算＝0s到＝4s内质点的平均加速度；（6）求出质点加速度矢量的表示式，计算＝4s时质点的加速度（请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式）．

解：

（1）

（2）将,代入上式即有

（3）∵

∴

（4）

则

（5）∵

（6）

这说明该点只有方向的加速度，且为恒量。

1-4在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以（m·）的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

图1-4

解：

设人到船之间绳的长度为，此时绳与水面成角，由图可知

将上式对时间求导，得

题1-4图

根据速度的定义，并注意到,是随减少的，

∴

即

或

将再对求导，即得船的加速度

1-5质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为＝2+6，的单位为，的单位为m.质点在＝0处，速度为10,试求质点在任何坐标处的速度值．

解：

∵

分离变量：

两边积分得

由题知，时，,∴

∴

1-6已知一质点作直线运动，其加速度为＝4+3，开始运动时，＝5m，=0，求该质点在＝10s时的速度和位置．

解：

∵

分离变量，得

积分，得

由题知，,,∴

故

又因为

分离变量，

积分得

由题知,,∴

故

所以时

1-7一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为=2+3，式中以弧度计，以秒计，求：

（1）＝2s时，质点的切向和法向加速度；

（2）当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?

解：

（1）时，

（2）当加速度方向与半径成角时，有

即亦即

则解得于是角位移为

1-8质点沿半径为的圆周按＝的规律运动，式中为质点离圆周上某点的弧长,，都是常量，求：

（1）时刻质点的加速度；

（2）为何值时，加速度在数值上等于．

解：

（1）

则

加速度与半径的夹角为

（2）由题意应有

即

∴当时，

1-9以初速度＝20抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角，

求：

（1）球轨道最高点的曲率半径；

（2）落地处的曲率半径．

（提示：

利用曲率半径与法向加速度之间的关系）

解：

设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．

题1-9图

（1）在最高点，

又∵

∴

（2）在落地点，

而

∴

1-10飞轮半径为0.4m，自静止启动，其角加速度为β=rad·，求＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．

解：

当时，

则

1-11一船以速率＝30km·h-1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率＝40km·h-1

沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?

在艇上看船的速度又为何?

解：

（1）大船看小艇，则有，依题意作速度矢量图如题1-13图（a）

题1-11图

由图可知

方向北偏西

（2）小船看大船，则有，依题意作出速度矢量图如题1-13图（b），同上法，得

方向南偏东

习题二

2-1一个质量为的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平线平行，如图所示，求这质点的运动轨道．

解:

物体置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐标：

取方向为轴，平行斜面与轴垂直方向为轴.如图2-2.

题2-1图

方向：

①

方向：

②

时

由①、②式消去，得

2-2质量为16kg的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为＝6N，＝-7N，当＝0时，0，＝-2m·s-1，＝0．求

当＝2s时质点的

（1）位矢；

（2）速度．

解：

（1）

于是质点在时的速度

（2）

2-3质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力（为常数）作用，=0时质点的速度为，证明

（1）时刻的速度为＝；

（2）由0到的时间内经过的距离为

＝（）［1-］；（3）停止运动前经过的距离为；（4）证明当时速度减至的，式中m为质点的质量．

答:

（1）∵

分离变量，得

即

∴

（2）

（3）质点停止运动时速度为零，即t→∞，

故有

（4）当t=时，其速度为

即速度减至的.

2-4一质量为的质点以与地的仰角=30°的初速从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量．

解:

依题意作出示意图如题2-6图

题2-4图

在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,

而抛物线具有对轴对称性，故末速度与轴夹角亦为，则动量的增量为

由矢量图知，动量增量大小为，方向竖直向下．

2-5作用在质量为10kg的物体上的力为N，式中的单位是s，

（1）求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．

（2）为了使这力的冲量为200N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度m·s-1的物体,回答这两个问题．

解:

（1）若物体原来静止，则

沿轴正向，

若物体原来具有初速，则

于是

同理，,

这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量（亦即冲量）就一定相同，这就是动量定理．

（2）同上理，两种情况中的作用时间相同，即

亦即

解得，（舍去）

2-6一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F=（）N（为常数），其中以秒为单位：

（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；

（2）求子弹所受的冲量．（3）求子弹的质量．

解:

（1）由题意，子弹到枪口时，有

得

（2）子弹所受的冲量

将代入，得

（3）由动量定理可求得子弹的质量

2-7设．

（1）当一质点从原点运动到时，求所作的功．

（2）如果质点到处时需，试求平均功率．（3）如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．

解:

（1）由题知，为恒力，

∴

（2）

（3）由动能定理，

2-8如题2-18图所示，一物体质量为2kg，以初速度＝3m·s-1从斜面点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．

解:

取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原

长处为弹性势能零点。

则由功能原理，有

式中，，再代入有关数据，解得

题2-8图

再次运用功能原理，求木块弹回的高度

代入有关数据，得,

则木块弹回高度

2-9一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直．

证:

两小球碰撞过程中，机械能守恒，有

即①

题2-9图（a）题2-9图（b）

又碰撞过程中，动量守恒，即有

亦即②

由②可作出矢量三角形如图（b），又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以为斜边，故知与是互相垂直的．

2-10一质量为的质点位于（）处，速度为,质点受到一个沿负方向的力的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩．

解:

由题知，质点的位矢为

作用在质点上的力为

所以，质点对原点的角动量为

作用在质点上的力的力矩为

2-11哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为＝×1010m时的速率是＝×104m·s-1，它离太阳最远时的速率是＝×102m·s-1这时它离太阳的距离多少?

（太阳位于椭圆的一个焦点。

）

解:

哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有

∴

2-12物体质量为3kg，=0时位于,，如一恒力作用在物体上,求3秒后，

（1）物体动量的变化；

（2）相对轴角动量的变化．

解:

（1）

（2）解

（一）

即,

即,

∴

∴

解

（二）∵

∴

题2-12图

2-13飞轮的质量＝60kg，半径＝，绕其水平中心轴转动，转速为900rev·min-1．现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力，可使飞轮减速．已知闸杆的尺寸如题2-25图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数=，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．试求：

（1）设＝100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?

在这段时间里飞轮转了几转?

（2）如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力?

解:

（1）先作闸杆和飞轮的受力分析图（如图（b））．图中、是正压力，、是摩擦力，和是杆在点转轴处所受支承力，是轮的重力，是轮在轴处所受支承力．

题2-13图（a）

题2-13图（b）

杆处于静止状态，所以对点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有

对飞轮，按转动定律有，式中负号表示与角速度方向相反．

∵

∴

又∵

∴①

以等代入上式，得

由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为

这段时间内飞轮的角位移为

可知在这段时间里，飞轮转了转．

（2），要求飞轮转速在内减少一半，可知

用上面式

（1）所示的关系，可求出所需的制动力为

2-14固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴转动．设大小圆柱体的半径分别为和，质量分别为和．绕在两柱体上的细绳分别与物体和相连，和则挂在圆柱体的两侧，如题2-26图所示．设＝,＝，＝4kg，＝10kg，＝＝2kg，且开始时，离地均为＝2m．求：

（1）柱体转动时的角加速度；

（2）两侧细绳的张力．

解:

设,和β分别为,和柱体的加速度及角加速度，方向如图（如图b）．

题2-14（a）图题2-14（b）图

（1）,和柱体的运动方程如下：

①

②

③

式中

而

由上式求得

（2）由①式

由②式

2-15如题2-15图所示，一匀质细杆质量为，长为，可绕过一端的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求：

（1）初始时刻的角加速度；

（2）杆转过角时的角速度.

解:

（1）由转动定律，有

∴

（2）由机械能守恒定律，有

∴

题2-15图

习题三

3-1气体在平衡态时有何特征?

气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同?

答：

气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化．

力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零．

3-2气体动理论的研究对象是什么?

理想气体的宏观模型和微观模型各如何?

答：

气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法．

从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点.

3-3温度概念的适用条件是什么?

温度微观本质是什么?

答：

温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度微观本质是分子平均平动动能的量度．

3-4计算下列一组粒子平均速率和方均根速率?

21

4

6

8

2

解：

平均速率

方均根速率

3-5速率分布函数的物理意义是什么?

试说明下列各量的物理意义（为分子数密度，为系统总分子数）．

（1）

（2）（3）

（4）（5）（6）

解：

：

表示一定质量的气体，在温度为的平衡态时，分布在速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.

（）：

表示分布在速率附近，速率区间内的分子数占总分子数的百分比.

（）：

表示分布在速率附近、速率区间内的分子数密度．

（）：

表示分布在速率附近、速率区间内的分子数．

（）：

表示分布在区间内的分子数占总分子数的百分比．

（）：

表示分布在的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是.

（）：

表示分布在区间内的分子数.

3-6题3-6图（a）是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢?

题3-6图（b）是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高?

答：

图（a）中（）表示氧，（）表示氢；图（b）中（）温度高．

题3-6图

3-7试说明下列各量的物理意义．

（1）

（2）（3）

（4）（5）（6）

解：

（）在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为T．

（）在平衡态下，分子平均平动动能均为.

（）在平衡态下，自由度为的分子平均总能量均为.

（）由质量为，摩尔质量为，自由度为的分子组成的系统的内能为.

（5）摩尔自由度为的分子组成的系统内能为.

（6）摩尔自由度为的分子组成的系统的内能，或者说热力学体系内，1摩尔分子的平均平动动能之总和为.

3-8有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液面0.12m，管的截面积为×10-4m2，当有少量氦（He）混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为

27℃，试计算有多少质量氦气在管顶（He的摩尔质量为0.004kg·mol-1）?

解：

由理想气体状态方程得

汞的重度

氦气的压强

氦气的体积

3-9设有个粒子的系统，其速率分布如题6-18图所示．求

（1）分布函数的表达式；

（2）与之间的关系；

（3）速度在到之间的粒子数．

（4）粒子的平均速率．

（5）到1区间内粒子平均速率．

题3-9图

解：

（1）从图上可得分布函数表达式

满足归一化条件，但这里纵坐标是而不是故曲线下的总面积为，

（2）由归一化条件可得

（3）可通过面积计算

（4）个粒子平均速率

（5）到区间内粒子平均速率

到区间内粒子数

3-10试计算理想气体分子热运动速率的大小介于与之间的分子数占总分子数的百分比．

解：

令，则麦克斯韦速率分布函数可表示为

因为,

由得

3-111mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少?

解：

理想气体分子的能量

平动动能

转动动能

内能J

3-12一真空管的真空度约为×10-3Pa（即×10-5mmHg），试求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程（设分子的有效直径d＝3×10-10m）．

解：

由气体状态方程得

由平均自由程公式

3-13

（1）求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；

（2）若温度不变，气压降到×10-4Pa，平均碰撞频率又为多少（设分子有效直径10-10m）?

解：

（1）碰撞频率公式

对于理想气体有，即

所以有

而

氮气在标准状态下的平均碰撞频率

气压下降后的平均碰撞频率

3-141mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间

（1）气体分子方均根速率之比；

（2）分子平均自由程之比．

解：

由气体状态方程

及

方均根速率公式

对于理想气体，，即

所以有

习题四

4-1下列表述是否正确?

为什么?

并将错误更正．

（1）

（2）

（3）（4）

解：

（1）不正确，

（2）不正确，

（3）不正确，

（4）不正确，

4-2用热力学第一定律和第二定律分别证明，在图上一绝热线与一等温线不能有两个交点．

题4-2图

解：

1.由热力学第一定律有

若有两个交点和，则

经等温过程有

经绝热过程

从上得出，这与,两点的内能变化应该相同矛盾．

2.若两条曲线有两个交点，则组成闭合曲线而构成了一循环过程，这循环过程只有吸热，无放热，且对外做正功，热机效率为，违背了热力学第二定律．

4-3一循环过程如题4-3图所示，试指出：

（1）各是什么过程；

（2）画出对应的图；

（3）该循环是否是正循环?

（4）该循环作的功是否等于直角三角形面积?

（5）用图中的热量表述其热机效率或致冷系数．

解：

（1）是等体过程

过程：

从图知有，为斜率

由得

故过程为等压过程

是等温过程

（2）图如题4-3’图

题4-3’图

（3）该循环是逆循环

（4）该循环作的功不等于直角三角形面积，因为直角三角形不是图中的图形．

（5）

题4-3图题4-4图

4-4两个卡诺循环如题4-4图所示，它们的循环面积相等，试问：

（1）它们吸热和放热的差值是否相同；

（2）对外作的净功是否相等；

（3）效率是否相同?

答：

由于卡诺循环曲线所包围的面积相等，系统对外所作的净功相等，也就是吸热和放热的差值相等．但吸热和放热的多少不一定相等，效率也就不相同．

4-5根据及，这是否说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变?

为什么?

说明理由．

答：

这不能说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变，熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果可逆过程和不可逆过程初末状态相同，具有相同的熵变．只能说在不可逆过程中，系统的热温比之和小于熵变．

4-6如题4-6图所示，一系统由状态沿到达状态b的过程中，有350J热量传入系统，而系统作功126J．

（1）若沿时，系统作功42J，问有多少热量传入系统?

（2）若系统由状态沿曲线返回状态时，外界对系统作功为84J，试问系统是吸热还是放热?

热量传递是多少?

题4-6图

解：

由过程可求出态和态的内能之差

过程，系统作功

系统吸收热量

过程，外界对系统作功

系统放热

4-71mol单原子理想气体从300K加热到350K，问在下列两过程中吸收了多少热量?

增加了多少内能?

对外作了多少功?

（1）体积保持不变；

（2）压力保持不变．

解：

（1）等体过程

由热力学第一定律得

吸热

对外作功

（2）等压过程

吸热

内能增加

对外作功

4-8m3氮气在温度为300K时，由MPa（即1atm）压缩到10MPa．试分别求氮气经等温及绝热压缩后的

（1）体积；

（2）温度；（3）各过程对外所作的功．

解：

（1）等温压缩

由求得体积

对外作功

（2）绝热压缩

由绝热方程

由绝热方程得

热力学第一定律，

所以

，

4-91mol的理想气体的T-V图如题4-9图所示，为直线，延长线通过原点O．求过程气体对外做的功．

题4-9图

解：

设由图可求得直线的斜率为

得过程方程

由状态方程

得

过程气体对外作功

4-10一卡诺热机在1000K和300K的两热源之间工作，试计算

（1）热机效率；

（2）若低温热源不变，要使热机效率提高到80%，则高温热源温度需提高多少?

（3）若高温热源不变，要使热机效率提高到80%，则低温热源温度需降低多少?

解：

（1）卡诺热机效率

（2）低温热源温度不变时，若

要求K，高温热源温度需提高

（3）高温热源温度不变时，若

要求K，低温热源温度需降低

4-11如题4-11图所示是一理想气体所经历的循环过程，其中和是等压过程，和为绝热过程，已知点和点的温度分别为和．求此循环效率．这是卡诺循环吗?

题4-11图

解：

（1）热机效率

等压过程

吸热

等压过程

放热

根据绝热过程方程得到

绝热过程

绝热过程

又

（2）不是卡诺循环，因为不是工作在两个恒定的热源之间．

4-12

（1）用一卡诺循环的致冷机从7℃的热源中提取1000J的热量传向27℃的热源，需要多少功?

从-173℃向27℃呢?

（2）一可逆的卡诺机，作热机使用时，如果工作的两热源的温度差愈大，则对于作功就愈有利．当作致冷机使用时，如果两热源的温度差愈大，对于致冷是否也愈有利?

为什么?

解：

（1）卡诺循环的致冷机

℃→℃时，需作功

℃→℃时，需作功

（2）从上面计算可看到，当高温热源温度一定时，低温热源温度越低，温度差愈大，提取同样的热量，则所需作功也越多，对致冷是不利的．

4-13如题4-13图所示，1mol双原子分子理想气体，从初态经历三种不同的过程到达末态．图中1→2为等温线，1→4为绝热线，4→2为等压线，1→3为等压线，3→2为等体线．试分别沿这三种过程计算气体的熵变．

题4-13图

解：

熵变

等温过程,

熵变

等压过程

等体过程

在等温过程中

所以

熵变

绝热过程

在等温过程中

4-14有两个相同体积的容器，分别装有1mol的水，初始温度分别为和，＞，令其进行接触，最后达到相同温度．求熵的变化，（设水的摩尔热容为）．

解：

两个容器中的总熵变

因为是两个相同体积的容器，故

得

4-15把0℃的的冰块加热到它全部溶化成0℃的水，问：

（1）水的熵变如何?

（2）若热源是温度为20℃的庞大物体，那么热源的熵变化多大?

（3）水和热源的总熵变多大?

增加还是减少?

（水的熔解热）

解：

（1）水的熵变

（2）热源的熵变

（3）总熵变

熵增加

习题五

5-1电量都是的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：

（1）在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡（即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零）?

（2）这种平衡与三