初中数学 面积问题与面积方法.docx
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初中数学面积问题与面积方法
面积问题与面积方法[赛点突破]1.利用面积关系解决几何问题,古已有之,最典型的例子就是勾股定理的许多采用面积割补的证明。
在数学竞赛中,有些问题是要求出指定图形的面积,也有些问题从表面上看似乎不直接涉及到面积,但若用等积变换与面积法去解答,往往会收到事半功倍的效果。
在运用等积变换与面积法时,常常用到以下的公式和定理。
2.中,设为a边上的高,R、r分别为外接圆、内切圆的半径,ABCABCha1,则p=(a+b+c)211S=ah=absinCDABCa22=rp=p(p-a)(p-b)(p-c)abc2=2RsinAsinBsinC=4R三角形的面积公式形式多样,注意根据问题需要灵活选取。
3.
(1)相似三角形面积的比等于相似比的平方;
(2)等底(或等高)的三角形的面积比等于其所对应的高(或底)的比。
4.共角定理×SABBCDABC若与相等或互补,则。
ÐABCÐA'B'C'=×SA'B'B'C'DA'B'C'5.共边定理SPMDPAB=如图,若直线AB与PQ相交于M,则。
SQMDQABPPQMABMBAQ图25—11
[范例解密]例1已知:
如图,P是△中平分线上的任一点,过C作CE∥PB交ABCÐBACAB的延长线于E,过B作BF∥PC交AC的延长线于F。
求证:
。
BE=CF分析:
利用角平分线性质得到距离相等,结合A等底等高的两个三角形面积相等,将问题转化为等积问题。
证明:
连结PE、PFP∵CE∥PB,BF∥PCCBD∴S=S,S=SDPBEDPBCDPCFDPBC∴S=SEDPBEDPCFF又∵P是平分线上的点ÐBAC图25—2∴P到BE及CF的距离相等即的边BE上的高等于的边CF上的高DPCFDPBE∴BE=CF评注:
解决本题的关键是运用“平行得等积”。
例2(2003年德国数学竞赛)在平行四边形ABCD中,M、N分别在AB、BC上,且M、N不与端点重合,。
设AN与CM相交于点Q。
求证:
DQ平AMNC分。
ADC、、、证明:
设点Q到AB、BC、CD、DA的距离分别为abcd∵S=S-SDAQCDAMCDAMQDC=S-SDANCDCNQ11∴AM(a+c)-AMaN22Q11=CN(b+d)-CNbAMB2211∴AMcCNd22图25—3AMNC又∵cd∴ADC故DQ平分2
例3已知:
O是的外接圆圆心,直线AO、BO、CO分别交对边于D、ABC1112E、F。
求证:
。
ADBECFR分析:
运用共边定理将要证明的等式转化为面积恒等式。
SSOAAOABOAC证明:
∵ADSABCESSOBFOABOBCBESABCOSSOCBDCOBCOACCFSABC图25—4OAOBOC∴2ADBECFRRR∴2ADBECF1112即ADBECFR评注:
本题看似与面积无关,但运用面积法特别简单。
例4(2002年澳大利亚数学奥林匹克)设四边形ABCD是矩形,E、F分别是边BC、CD上的点,且满足是正三角形。
求证:
。
SSSAEFECFABEAFD分析:
引入角和线段长,将所证三角形的面积表示出来,利用三角法求证。
000DAF。
证明:
设,则,,EAB30AFD90EFC301112又设正边长为t,则S=ADDF=tsinq?
tcosqtsin2qAEFDAFD2243
1SABBEABE2AB100E=tsin(30-q)?
tcos(30q)2120=tsin(60-2q)41ECCFS=DECF2DFC100=tsin(30+q)?
tcos(30q)2图25—5120=tsin(60+2q)41300又因为sin2sin(602)sin2cos2sin(260)22所以,SSSECFABEAFD例5(2003年白俄罗斯数学奥林匹克)已知圆内接四边形ABCD满足,,。
求△ABC的面积。
ABBCADCDBADACd分析:
参数法求解。
B解:
延长AD至M,使,DMDC设,,。
ADxABzCDy∵CDMABCCDDMABBCA∴△DCM∽△BACCCDy设,则kDABzCMkACkdM2SkSCDMABC图25—6yy又SSkSSCDMACMACMACMzxy1111∴kSACCMsinACMSSACMABCCDM22k2kk4
又∵DCMBCA0∴ACMBCD18011102∴Sdkdsin(180)dsinABCk22评注:
本题涉及到圆内接四边形,其另一种解法是运用托勒密定理,请参考本章超级训练第3题。
例6(2000年全国高中数学联赛)如图,在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F,满足∠BAE=∠CAF,作FM⊥AB,FN⊥AC(M、N为垂足),延长AE交三角形ABC的外接圆于D点。
证明:
四边形AMDN与三角形ABC的面积相等。
证明:
连结MN、BD、CD,设MN交AD于O。
∵FM⊥AB,FN⊥ACA∴A、M、F、N四点共圆∴AMOAFN又∵BAECAFM∴△AOM∽△ANFOAMAON∴AFAN①∴AMANAFAOFBCE又∵BAECAFBDAFCA∴△ABD∽△AFCDABAD∴AFAC图25—7∴②ABACAFADAMANAO由①、②得ABACADSSAOAMANAMNAMN又∵,及SADSABAC四边形AMDNABCSSAMNAMN∴SSABC四边形AMDN∴SSABC四边形AMDN5
例7(2003年白俄罗斯数学奥林匹克)已知凸五边形ABCDE满足,ABBC00,,,。
求五边形ABCDE的面积。
CDDEABC150CDE30BD2解:
设K是点C关于直线BD的对称点,则BKBCBADKDCDE作和的平分线,且交于点M。
于是,BM是AK的中垂线,DMABKEDK是EK的中垂线。
特别地,有,即M是的外心。
MAMKMEAKE因为MBDMBKKBDCB111ABKBKCABC222KA1MDBCDEM2DE,所以1)DE(ABCCMBDMDB2图25—81009018020所以,即BMD90BMDM又因为,AKBMDMKE所以AKKE故AE是的斜边,即M是AE的中点。
RtAKE因为,,SSSSSSBCDBKDABMKBMEDMKDM所以S2SBMMDABCDEBMDBDcosMBDBDsinMBD12BDsin2MBD212BDsinABC21121222评注:
巧妙地构造K点,采用“割补法”求解。
ABC例8(2004年首届中国东南地区数学奥林匹克)设点D为等腰的底边ABCBC上一点,F为过A、D、C三点的圆在内的弧上一点,过B、D、F三点的6
圆与边AB交于点E。
求证:
。
CDEFDFAEBDAF证明:
设AF的延长线交⊙BDF于K,则AKBDKFDACB∴∥ACBK∴SSABCAKCF∴SSSEABDDCKADK又由正弦定理,得BDCKBCCK仔sinBCK=BK仔sinACB=BK仔sinKKFDDK仔sinDKA=DF仔sin图25—9ACB=DF仔sin11∴CDBKsinACBSCDCKsinBCKDCK2211AKDFsinACBSAKDKsinDKAADK2211而BDABsinABDSBDABsinACBABD22∴CDBKDFAKBDAB又∵AEFAKB∴∽AEFAKBBKAKAB∴EFAEAF故。
CDEFDFAEBDAF例9(2003年第2届中国女子数学奥林匹克)已知D是的边AB上的任ABCAD意一点,E是边AC上的任意一点,连结DE,F是线段DE上的任意一点,设,xABAEDF,。
yzACDE求证:
(1),;S(1x)yzSSx(1y)(1z)SBDFABCCEFABCSSS
(2)。
333BDFCEFABC7
证明:
连结BE、CD。
A
(1)S=zSDBDFDBDE=z(1-x)SDABEFED=z(1-x)ySDABCS=(1-z)SBCDCEFDCDE=(1-z)(1-y)SDACD图25—10=(1-z)(1-y)xSDABC
(2)由
(1)得SS[(1x)yzx(1y)(1z)]S33333BDFCEFABC(1x)yzx(1y)(1z)。
[]SS33ABCABC33例10(第16届亚太地区数学奥林匹克)设O、H分别是锐角的外心和垂ABC心。
求证:
、和中一个三角形的面积等于其余两个的和。
AOHBOHCOH证明:
先证如下引理:
设O、H是线段BC所在直线外两D点,P是线段BC的中点,记、BOHOE和的面积分别为、COHPOHSH1和,则。
SSSS2SF212事实上,过点B、P、C分别作OH的垂线,垂足分别分别为D、E、F。
则PE是梯形BDFC的中位线,所以CPBBDCF2PE111图25—11∴OHCF2OHPEOHBD222即得。
SS2S12故引理得证。
下面证明原命题:
8
过点O作于POPBCA∵O是锐角的外心ABC∴BPPC根据引理,得SS2SBOHCOHPOHOG连AP交OH于G,则由欧拉定理,H知点G为的重心ABCOPPG1∴PCBAHAG2SPG1OPPOH∴图25—12AG2SAHAOH∴SS2SSBOHCOHPOHAOH和中一个三角形的面积等于其余两个的和。
这就证明了、BOHCOHAOH[超级训练]1.在锐角中,的平分线交BC于L点,交的外接圆于N点,ABCABCÐA交AB于K,交AC于M。
证明:
与四边形AKNM的面LM^ACABCLK^AB积相等。
2.从内一点M向三角形的三条高作垂线。
若在每一条高上所作垂线的ABC垂足到顶点的距离是等长的。
求证:
这个长度等于三角形内切圆的直径。
3.已知圆内接四边形ABCD满足,,。
ABBCADCDBADACd求△ABC的面积。
ABC4.已知点P是内一点,PAB=PBC=PCA=,A'B',B'C',C'A'分别过2A、B、C三点,且分别垂直于PA、PB、PC,求证:
S=S·sinABCA'B'C'CDE、分别为、5.设E为凸四边形ABCD的对角线的交点,、、FFFABE312四边形ABCD的面积。
求证:
,等号何时成立?
FFF129
6.如图,设中,D、E、F分别在BC、AC、AB上,若四边形AFDE是它的ABC24SEFDEF内接四边形,求证:
.SADABCAFEBDC第6题图10
第25章面积问题与面积方法1.设,则?
BAC2qAK=AM=ALcosq1∴ALANsin2qS=S+S=AK?
ANsinqAKNMDAKNDANM2又∵?
ANCABL∴DANC:
DABL∴ABACAN?
AL11∴AL?
ANsin2qS=AB?
ACsin2qSAKNMDABC222.设高是AD、BE、CF,点M到AAD、BE、CF的垂足分别是I、J、K。
F设,则AIBJCKtE1∵S=ABCFKJDABC211IM=CABEBC?
AD22BDCSSSSABCABMBCMCAM111第2题图ABFKBCDICAEJ222111∴BC(ADDI)2SAB(CFFK)CA(BEEJ)ABC222111CABJABCKBCAI222t(ABBCCA)2ABC又若r是的内切圆半径,则rS(ABBCCA)ABC2t2rABC∴,即t等于的内切圆直径。
3.连BD交AC于O点ADBACBBACBAO∵,11
BABDOBA∴△ABD∽△OBA,BOABAD2∴ABBOBD又由托勒密定理,得AC?
BDAB?
CDBCADAOC2=AB(CD+AD)=ABD∴BOACd∴SSS第3题图ABCABOOBC11AOBOsinAOBOCBOsinBOC22112ACBOsindsin2212即SdsinABC24.过点C'作C'DB'P于D,连CD.∵PAA'B',PBB'C'B'∴A、B'、B、P四点共圆.∴CDB'=C'B'D.A又显然P、B、C'、D、C这五A'点在以PC'为直径的圆上,PB∴CDB'=PBC==DB'C'.C∴CD//B'C'.∴四边形BCDC'是圆内接梯形.D∴BC=C'D.BCC'D∴.sinC'B'C'B'C'ACAB.同理:
sinA'C'A'B'第4题图∴ABC∽ABC,且相似比为sin.2∴S=Ssin.ABCA'B'C'12
、、、5.记abcd分别为EA、EB、EC、ED的长度,则aabFSSS1ABEABCABCDacacbdcdAD同理,,因此FS1ABCDacbdFFFE12abcd(ac)(bd)BC由柯西不等式,得第5题图2(ac)(bd)(abcd)ac当且仅当,即,。
adbcSSAEDBECbd也就是,即AB∥CD时等号成立。
SSABDABC故原不等式成立,当且仅当AB∥CD时等号成立。
A6.∵A、F、D、E四点共圆,B'o.∴EDF+EAF=180C'∴sinEDF=sinEAF=sinBAC.X1FDEDFsinEDFS2DEF∴,E1SYABACsinBACABC2DCBDEDF,ABAC第6题图作BB'AC于B',DXAC于X;CC'AB于C',DYAB于Y,∵BB'//DX,DXDCDYBD∴,BB'BCCC'BCDXDCBDDCBDDY∴,2BCBCBCBB'BC222∵BC=(BD+DC)=(BDDC)+4BD·DC≥4BD·DC,13
DXDY1∴.①BB'CC'4设EAF=,DEA=DFB=,则EF=2R·sin;AD=2R·sin,(R为外接圆半径),DY=DF·sin;DX=DE·sinEFsinDYDX∴,;ADsinDFDE又∵BB'=AB·sin,CC'=AC·sin2DXDYDEDFsin∴,2BB'CC'ABACsin因此,由①可得2DEDFsin1.2ABACsin424SEFDEF∴.SADABC14
同步测试25面积问题与面积方法11.已知BC是等腰直角的斜边,在BC上取点D,使,作ABCDCBC3交AC于E。
求证:
。
AEECBEAD2.在中,,D是AB边上的一点。
考察的内切圆和ABCACBCACDBCD的与DB边相切的旁切圆,设这两个圆的半径都等于r。
求证:
的相等边上的ABC高等于4r。
03.在中,,P是内的角平分线上的点,M(异于RtDABCABC?
B90ÐAA、B)是边AB上的点,直线AP、CP、MP分别交边BC、AB、AC于点D、E、N。
如果SDAPC,,试求。
?
MPBPCN?
NPCMBPSACDE4.已知锐角△ABC的三边BC、CA、AB的中点分别为。
分别由A、B、C111向△ABC的另外两条边各作垂线,相应的交点分别为。
A、B、CA、B、C111222求证:
六边形的面积等于面积△ABC的一半。
ACBACB1212125.锐角三角形ABC中,,H、G分别为该三角形的垂心和重心。
已ABAC1110知。
求证:
。
AGH90SSSHABHACHBCA6.如图,已知圆内接三角形边长分别为a、+B'b、c(a,b,cR).设A'、B'、C'分别为劣弧BC、C'RSCA、AB的中点,且交各边于点P、Q、R、S、T、U.QTSPQRSTU试求。
SDABCPCUBA'第6题图15
同步测试25面积问题与面积方法1.在中,RtABEBEADA∴DAEABEDABAEBE又∵ABACSDCADACsinDACADC∴BDSADABsinDABADBBDCAEAEsinABEABACsinAEB1第1题图∵DCBC3∴BD2DC∴AC2AE故AEEC2.设从的顶点C、A、D到该三角形内切圆的切线长分别为x、y、z。
又ACD设从的顶点D和B到该三角形DB边外侧的旁切圆的切线长分别为z和w,则BCD有x2zwBCACxy∴①wy2zh设的AC边和BC边上的高线长等于,则ABC1Sh(xy)ABC2BSr(xyz)ACDDSr(x2zzw)BCDC又∵SSSABCACDBCDA1∴②h(xy)r(2xy2zw)2第2题图h4r由①、②得16
3.设,,,,,r是的AB=cBC=aCA=bABC?
MPBa?
NPCb内切圆半径。
行AA0∵180=?
MPNa+(+b)+(+a)+b22行BC∴a+b=+22C行B0∴?
BPC-180-22∵点P在的角平分线上ÐA∴点P一定是的内心ABCSS+S+S+SPDPEACDEDAPCDDPCDAPEDEPD∴==(1+)(1+)SSPAPCDAPCDAPCacPDrPEr又∵,及r===PAc-rPCa-ra+b+c2S1(c-r)(a-r)(a+b)(b+c)b+b(a+c)+acDAPC∴====222Sac(a+b+c)(a+b+c)ACDE4.连结、、,作的三条高、、。
AABBCCABBCCAABC131********1111设的垂心为H。
ABC111∵,BHACCAACC112∴∥BHCA121同理∥CHBA112∴四边形是平行四边形BACH121∴SSCBACBHCB2A1211111C3H同理SSAABCAHC312111B3ASSB2ACBAHB212111ACB11∴SS2SABCABC六边形ACBACB2111121212第4题图17
5.设AH交BC于O,以O为原点,OC为x轴正方向建立直角坐标系。
设,C(c,0)bccba,,则易算得,。
于是H(0,)G(,)B(b,0)A(0,a)a330AGH90AGGHykk1AGGHAbca2aa331bcbc33G222①2ab4bccH1(bc)bc而SHBCx2aBOC21b(abc)SHAB2a第5题图21c(abc)SHAC2a2(因为为锐角三角形,所以)ABCabc111故SSSHACHBCHABaa2a22bc(bc)b(abc)c(abc)22(abc)11bc(bc)bc222(abc)(bc)222②2ab4bcc由①、②,即知原命题成立。
6.连结AC',AB',则11111AB'ACB2222同理可得18
1112=C;3=C;4=B22211o∴5=6=(B+C)=90A22∴在AC'R中,由正弦定理得1sinBAR2A1AC'oA)sin(902B'C'由此可得RS1QsinBT12ARdsinCAS12cosA2PCUB1(d为直径,d·sinC=AC')2SARASA'ASR所以SbcABC第6题图BC222dsinsin22①A2bccos2BCBC2222∵sinsin1cos1cos22221cosB1cosC222222acacb(bac)(bac)且1cosB2ac2ac4(pc)(pa)2(pc)(pa)2acac2(pb)(pa)1cosCab1(p=(a+b+c))219
A1cosAp(pa)22cos2bc22(pa)(pc)(pa)(pb)d∴①式为p(pa)acab22dS1PQRSTU2pabca222abc2dbc24d222pabc4dSbcASR即2S4pABCSSacabCPQBTU同理,22S4pS4pABCABCSSbcacabABCPQRSTU∴2S4pABC222Sabbcca(ab)(bc)(ca)PQRSTU故122S4p2(abc)ABC20
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