32厄米算符讲稿.docx
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32厄米算符讲稿
§3.2厄米算符
设为厄米算符,其本征问题的解可分为分立谱和连续谱两种情况。
分立谱:
,
例如无限深方势阱中粒子的哈密顿量为厄米算符,本征值问题的解为
连续谱:
例如动量是厄米算符,本征值问题的解为
一、厄米算符的本征值为实数
以连续谱为例证明
因为厄米算符,则
二、厄米算符的本征波函数正交
分立谱:
,当;
连续谱:
当.
以连续谱为例证明
因为厄米算符,则
所以
当 .
如果把本征波函数归一化或归格化到函数,那么厄米算符的本征波函数就构成一个正交、归一的函数系
分立谱:
连续谱:
三、本征波函数构成完备集合
1、分立谱情况
可以证明:
对于分立谱情况,厄米算符的本征波函数构成完备的函数系。
设为厄米算符
任何一个满足适当边界条件和连续性要求的波函数,均可作向展开
展开系数按下式计算:
为证明上式,只要用与展开式两边作内积
综上所述:
厄米算符的本征波函数构成一个正交、归一、完备的函数系。
❍正交、归一、完备的函数系−基底
矢量代数中的基底:
❍展开系数 −态矢在基矢上的投影
−矢量在基矢上的投影
❍集合−态矢在基底上的表示
−在基底上的表示
❍用展开系数表示态的归一化
证明:
模方− 态中包括的百分比
❍用展开系数表示在态上的平均值
证明:
模方− 在态上测量所得结果中出现的概率
展开系数−概率幅
概率幅的集合−态在表象上的表示
其实,概率幅−在坐标表象上的表示而已!
合理的假定:
在任意状态上对力学量进行测量,所有可能出现的测量值都是该力学量的本征值。
由表达的力学量在态上的平均值用展开系数表示为
[例题1]证明§1.3列出的定态特征(3):
在定态上,任何不显含时间的力学量的测量值的概率分布不随时间变化。
设定态为
力学量的本征函数系为
把定态中的向展开
在定态上测量得到的测值为的概率为
显然不随时间变化。
[思考]如果不是定态,例如
那么在上的测量值的概率分布如何随时间变化?
❍封闭关系
本征函数系的完备性用封闭关系表示
因为,如果完备,则对任意态都有展开式
代入
因态任意,则有封闭关系
2、连续谱情况
在连续谱情况下,要证明一个算符的本征函数系是否完备,有时是很困难的。
但经常用到的坐标和动量算符的本征函数系都是完备的。
下面列出的是分立谱和连续谱情况的对照表。
对照分立谱情况,容易推导连续谱情况的计算公式(课下推导)。
分立谱和连续谱对照表
分立谱
连续谱
本征方程
正交归一
封闭关系
展开式
展开系数
归一化
平均值
测量值概率
(1)坐标
本征方程:
本征值为的本征波函数:
因为:
正交归一化条件:
封闭关系:
完备性,任何波函数都可以向“展开”:
(2)动量
因为动量算符的本征函数系是定义在整条实轴上的平面波,作为Fourier变换的基底,其完备性是显然的。
四、简并
若本征问题的解为
一个本征值对应一组线性无关的波函数
本征值−度简并
波函数−简并波函数
当时,但当时?
简并波函数集合中的波函数不一定正交。
[例题2]设两个态函数和不正交,试由它们构造两个正交的态函数和.
用代表在上的投影
由和构造
容易验证 .
三、量子力学的基本假设
1、物理体系的状态由希尔伯特空间中的态矢量描述,体系的每一个力学量由对这些态矢量作用的线性厄米算符表达。
2、在任意状态上,对力学量进行足够多次测量,所有可能出现的测量值都是的本征值,所得结果的平均值为
.
3、波函数随时间的演化满足薛定格方程。
4、全同粒子的全同性假设(第四章讨论)。
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