高考理科数学试题及答案全国卷2.docx
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高考理科数学试题及答案全国卷2
绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2)
数学(供理科考生使用)
第I卷一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1
(1)复数的Z1模为
i1
12(A)(B)(C)2(D)2
22
(2)已知集合Ax|0log4x1,Bx|x2,则AB
A.0,1B.0,2C.1,2D.1,2
(3)已知点A1,3,B4,1,则与向量AB同方向的单位向量为
4)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题:
6)在ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosCcsinBcosAb,
2
且ab,则B
9)已知点O0,0,A0,b,Ba,a3.若ABC为直角三角形,则必有
A.ba3
B.ba31
a
10)已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若.AB3,AC4,
ABAC,AA112,则球O的半径为
A.317
2
B.210C.13D.310
2
(11)已知函数
fxx22a2xa2,gxx22a2xa28.设
H1xmaxfx,gx,H2xminfx,gx,maxp,q表示p,q中的较大值,minp,q
表示p,q中的较小值,记H1x得最小值为A,H2x得最小值为B,则
AB
2
2ee
11)设函数fx满足x2fx2xfx,f2,则x0,时,fx
x8
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题-第22题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22题-第24题为选考题,考生根据要求作答。
、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
x25x40的两个根,则S6
22
15)已知椭圆C:
x2y21(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于ab
4
A,B两点,连接AF,BF.若AB10,AF6,cosABF,则C的离心率e=.
5
(16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的
认为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为.
、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(本小题满分12分)
I)若ab.求x的值;
(II)设函数fxab,求fx的最大值.
18.(本小题满分12分)
如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点
I)求证:
平面PAC平面PBC;
II)若AB2,AC1,PA1,求证:
二面角CPBA的余弦值.
19.(本小题满分12分)
现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;3
(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是3,答对每道乙
5类题的概率都是4,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望
5
20.(本小题满分12分)
如图,抛物线C1:
x24y,C2:
x22pyp0.点Mx0,y0在抛物线C2上,
过M作C1的切线,切点为A,BM为原点O时,A,B重合于O.当x012时,
1
切线MA的斜率为-.
2
(I)求P的值;
II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程
A,B重合于O时,中点为O.
21.(本小题满分12分)
3
e2xx
已知函数fx1x,gxax12xcosx.当x0,1时,
(I)求证:
1-xfx1;
1x
II)若fxgx恒成立,求实数a的取值范围
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。
作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,AB为O直径,直线CD与O相切于E.AD垂直于CD于D,BC垂直于
CD于C,EF垂直于F,连接AE,BE.证明:
(I)FEBCEB;
(II)EF2ADBC.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为
4sin,cos22..
4
(I)求C1与C2交点的极坐标;
(II)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点已.知直线PQ的参数方程为
xt3ab3tR为参数,求a,b的值.
y2t1
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲已知函数fxxa,其中a1.
(I)当a=2时,求不等式fx4x4的解集;
(II)已知关于x的不等式f2xa2fx2的解集为x|1x2,
求a的值.
2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
数学(供理科处使JTJ)试建参考答案和评分参考
评分说明:
1.本黯譜I;「一种或儿脾法供参与•如果石5揃解法勇本解答不剧.可根据i」(也溝劇瀛容比丽T亦加iI皿册计介细则.
2.创汁篦起.当,的嵋冷4某増出现储嘲J.如児看能祁分的够?
U、改变汲迪的内容和堆度.叫视彫响的悍腹决朮拆继部分的绐"・但不评超过该部分正确斛答应得分数的-T:
如知刪:
湍分的解签何蛟严朮的锚谋•就彳、IV給分.
3.解松右曲听汗.分数.农示箱生丁确做到这•步应得的累加分数.
4.只给整数分数.
一.选择題
(nn
(?
M)
(5)B
(9*(:
(1()}(:
(11)1:
(12)1»
二•填空题
育酚9運网音发。
三.解答旷FlWww.ks5u7com
三.解答
(】7)解:
rI)|l{|n|?
=(v^sinx)2+(sin.r)2=4sinzA.
\b\l=(cosx)2十(sinxY=1■
及\n\=|/).(1/4sin?
.r=I
sinx.所以
6
丈“|0・
(II)/(x)ab=\3sinx・cosx+sin?
x
的IITt1
-—sin2x-—cos2.v=sin(2x一匚)+片•
22LnI
髙■资矗网
*wwk*Wwn
Xx=善E[0•弓时.sin(2.v一卡)IUJ12kfftI.a厶*J
3
所以f(.i)的IfiArtery•
乙
(18)(I)证明:
^ACIHC・
rhPA丄平IfuABC.BCuY帀i,4/?
c.得P/lI.PC.
附/MC.,4CuflfuPAC. 听JSg鹽嘯PAG W为BCuf|fi]PBC. 所以rIfijPBCIYKilPAC.6分 (n)(解法一) idC^CM//AP.^\CML^lillARC. 如图,以点c为坚标脈点.分别以a线CB.CA.CM为x轴.y轴.彳轴比'•厂乍间it几唯标糸. W为AB=2・/1C=l.所以〃勺・ 因为P/1=1.听以4(0,1.0).〃(百.0.0).P(0.1.1). (CFin.=0.(V3x=0・ 则I莎心“•所以 不奶令y=1•则H.=(0.1.—1)・ |川为AP=(0.0,1)./W=(点一1・0>• i殳法向叩勿心二(x・y・/)・ 不妨令*=1•则心=(1.V3J)). 則<JA-••张同学所取的3道乜都址屮艾题"・ 山为P(A) 3214 P(X=0)=C«.(y)«'.(-)^-=- 、.3t21.3n2,428 PE)=e(丁八(P*+吋- p(y=2)=•(y)2•(£)0-+ 324 P—3)=釦中2.(丁严亍加 听以X的分布列为: X 0 1 1 O n 4 281 57 36 1 1P 1-.— 125 125 125 125 “428573b MfWf(X)=0x—+lx—+2x—^3x—=2. H)分 12分 (2())解: x *=4yUr.fi一点(x.y)的切嗖饵•辛为卩'〒三・11切浅AM的斜申为一丄.所以4加1竹小为(一1丄)•故切线心的方补分 24 1_ y=-y(-V+1)+—・ 因为也Mf1—V7.y())4: 切线MA及抛物线GT.. 〃高考发 • (1一⑵3-272 7o=- 2p 山12禍p=2・ (Fl)izN(x.y).A(xt, 8 切线SI・MB的力凰为♦、k y=y(x-X! )+—, Xi(、.^2 y=yCv-r2)+—. dlV(>MA.MB的交 Xy+x->XLX2 q=—九=〒 0 G° 叨•……6分 AB中点知 •R(x2. ・yo)fi・ri絆小为 2" 丙点.QI.•川IkJ=一化巾.网 4 r: =x2il-]・/! ・〃巫介干吨白0・AB^^NhO•來标满足”=三只 因此/I8中点N的轨迹方秤为 12分 24 宀尹 I21)(I)iiE明: 咚iilx€|0.1]时.(1十Qe■旅21-x.泉岛证明(1+小(? 芒左(l-x)H・Jb ii! /i(x)=(1+A)e~r—(1—x)ev•则/i'(x)=a(cx-亡勺・xG(0.1)l! j. AU)>u.因此hMAJ(oai上址増函数.故3&0)=().所以 高考尊靈网首发 燮ilLx€|oW'附.临驭册%厂片'.miilUl卍2X+1. idK(x)=ex~x-1.则K'(O=ex-1.k(x)rr|o.i|上上増臥数.故kq]mk(o)=o. 1Nr ・XGW・l|・ 综上. 高豪礙首爱 rX厂一 /(x)-g(x)=(1+x)e'2x一(ax+•—+I^t>2xcosx)厶• M1—xm—1-—-2xcosx =-x(d+I+—-H2cosa)・ i殳G(x)=—42cosx.则G"(x)=x-2sinx. idH(x)=x-2sinx.则〃'(x)=I-2msx・'HxE(0.1)III,//f(x)<0・j: 是G'(x)存[0・1丨|_是减函数•从而6(0.1)HhG'(x)VG‘(0)=0・故G(x)4[0.1]I•是滅蘭数.「•是G(X)WG(O)=2・Ml u+1+G(x)Wa+3. 彌? ^和凰W-3Ilf./'(x)5: i/(x)fl|0.1|I|n.,k•FrtliWL当a>-3时.6: |0.1l上不恫成£. [立丁 fM一9(x)w-1-ax-—-2xcosx —xQ ="X—-2xcosx 1+xL 1X2 =-x(—-+«+—+2cosX). 1•-V/ 1Zx'1 4-«+—+2cosx=+a+G(x)・ -1、 r(x)二帀而j+g'w•出xw(o・i)hj.r(e<址救/(X)任|山丨|i: 是碱惭数. 1+x2i+x 常環愿网首 —〜 冈为'lla>-3Hj.a+3>0.WO;.ff7l-x0€(0.1).使得/(几)〉电、h时fM<"(x°)・l! |lfW^fj(x)々炉iI: 仏恒成>o・ 粽I: •实数“的収侑范I.一3].$……门分 <解法二)总•古 vtiiE'1! xG|0.1 1一! “WcosxW1-fx? •亍、 規芳廳會陳首1耀/.: 则F#(x)=-sm,^x. idG(x)=-sinx-^x.W'j=-cosxt1? .(0.1)il«LC'(x)>0.丁是 (;(x)6(0.11上上増函数.冈此嗎xe(QJ齐氏G(a)>G(0)=0.从僧F(x)6-|0,l)I址你数.|人|此F(x)Mf(0)=9.苫以髙炳聽 同理“【ill•Jxe[0.1|llj.cos1-彳・—・ 紛汀.Hx€[0.1|nf-1-yx2^cosx 丙为年xW[0.1|时. 0 /(x)一g(x)=(1+x)e"2x一(ax+—+1+2xcosx)厶 高■资源网M(17・)一ax-牛-I-2x(1-•]*) WWWktSiPcXmL4 =一(a+3)x. 斯以恤W-3时・f(x)^y(x)fl|0.l|I池应工・ 半心-3时•/(x)剂&)/i10.1]I: 不恒成"•IM为 x f[x)一g(x)=O+r)e"Zv—(tit+—+I+2rrosx) XX EL® 所叫"i: 心辿阳卜備枷PR®i—中的絞小『I)插足f(r0) 综I-.实数a的取佰范屈是(e^-3|. (I)由"线CD&0O相切.待乙CEB=上」: AB. 克卿艦酋发朋丁: 卜;%r 乂EFlAB.得/FEB+ZEIH: =~.从M匕=A/M9. ■ (II)illHC1CE.EFLAli・厶卜飞卩3-CEB・8E是公兵边. f! /R(A/? a: ^RtAKF/: .Qi以/? Cv〃/・•. 类個可证: RtA/lDE^RiAa/^.f! |/lD=/tF. 乂ARlA/IEB中.FF丄AH.占攵EF2=AFHF.听以 (22)证明: k$ 故/FEB=ZCEB. EF2=AD・BC. 10分 )岁 (-i二Gm二TK二xm注二j\+QI2)卜n4.口卩Q吕uaAx-r..二丈・匕;yI4U0・ X-n0. 書,冷・密£黑5二・十)・(2SI•心】•书: 声方M嬴Tgsu臺1•厂二一二一-二二二」? =p・dEQ%MLf=^rA«_w(0・2)・(1・3)・去_—: 孵PQ=>二.-;y+2M0・ b《& 二一於巷二犬三三yHdx—-l+7 d9xl6・XW4・O •o=X/A2=一・三二X)W4I-XI4_二I2X+6W4・f_MWX/Ar歩2AXA4nr/.(x)w4-&2±r言“/be公Xw4=f・=-、(x)w4—¥4-w2xi6\v4・婁三X\V5・SJmG・f(x)w4l_.;^¥gY5(x_X^JG5)・%••: ・: 4i二一乍5~slrf(2x+a)I2f(.”)・s/~(x)d----h(x)I2・玉^: : 2;/ax/a'yKrLn二h(x)72s奏心MM_一仏新2一・fuI一,Q rzan3・ —2r: x/A0・AxI2a・0AAa. 2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(供理科考生使用)解析 一选择题: 1.【答案】B 1i112 【解析】由已知Z1i11i,所以|Z|2 (1i)(1i)222 2.【答案】D 【解析】由集合A,1x4;所以AB(1,2] 3.【答案】A 【解析】AB(3,4),所以|AB|5,这样同方向的单位向量是1AB(3,4) 555 4.【答案】D 【解析】设ana1(n1)ddnm,所以P1正确;如果an3n12则满足已知,但 nan3n212n并非递增所以P2错;如果若ann1,则满足已知,但an11,是递减数列,所以nn P4正确 P3错;an3nd4dnm,所以是递增数列, x【解析】由已知,[x2f(x)]e (1)。 在已知 x 2ex3x2 代入,得f (2)0;因为x2f(x)2xf(x),两边乘以x后令g(x)x3f(x)ex2[x2f(x)] (2)。 求导x x并将 (1)式代入,g(x)e2e xg(x)0,g(x)增;并且由 (2)式知x3f(x)0,在x0时得f(x)0,13.【答案】 x2xex,显然x(0,2)时,g(x)0,g(x)减;x(2,)时, x g (2)0,所以g (2)0为g(x)的最小值,即g(x)0,所以所以f(x)为增函数,故没有极大值也没有极小值。 1616 解析】 直观图是圆柱中抽出正四棱柱。 V2242241616 解析】 2224由余弦定理,62|BF|2102210|BF|,解得|BF|8,所以A到右焦点的距离也 5105是8,,由椭圆定义: 2a6814,又2c10,所以e 147 abcde 7 16.【答案】10 解析】设五个班级的数据分别为abcde。 由平均数方差的公式得 22222 (a7)2(b7)2(c7)2(d7)2(e7)2 5 显然各个括号为整数。 设 a7,b7,c7,d 7,e7分 别为p,q,r,s,t, (p,q,r,s,tZ), 则pqrst0 (1)p2q2r2s2t220 (2) 2222f(x)(xp)2(xq)2(xr)2(xs)2= 2222222 4x22(pqrs)x(p2q2r2s2)=4x22tx20t2,因为数据互不相同,分析 成,得f(x)0恒成立,因此判别式0,得t4,所以t3,即e10。 f(x)的构
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