完整版相似三角形证明技巧 专题.docx

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完整版相似三角形证明技巧专题

两角对应相等，两三角形相似

判定定理1或判定定理4

判定定理1

判定定理1

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

一、相似、全等的关系

全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似

形则是全等形的推广•因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础.

二、相似三角形

（1）三角形相似的条件：

①:

②:

③.

三、两个三角形相似的六种图形：

糾边上的高

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决•四、三角形相似的证题思路：

判定两个三角形相似思路：

1）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单；

2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；

3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；

、口血占殆r找另一角两角对应相等，两三角形相似

a）已知一对等t

L找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

J找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

b）己知两边对应成比［找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似

找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似

c）己知一个直

角-找两边对应成比例

'找顶角对应相等

d）有等腰关］找底角对应相等

e）相似形的传递性若厶12,△2s^3,则厶1s^3

五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

具体做法是：

先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不

同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。

百

例1、已知：

如图，△AB（中,CE丄AB,BF丄AC.>\

B'

AFBA

（判断“横定”还是“竖定”？

）

例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，/BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F,AC•AE=AF•AB吗？

说明理由。

分析方法：

1）先将积式

2）（“横定”还是“竖定”？

）

已知：

如图，△ABC中，/ACB=9O0,AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。

求证：

CD2=DE•DF。

分析方法：

1）先将积式

2）（“横定”还是“竖定”？

）

六、过渡法（或叫代换法）

有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用过渡”，其主要类型有三种，下面

分情况说明.

1、等量过渡法（等线段代换法）

遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。

然后再应用三点定形法确定相似三角形。

只要代换得当，问题往往可以得到解决。

当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。

例1:

如图3,△ABC中，AD平分/BAC,AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证：

DE2=BE-CE.分析：

2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法,

三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。

例2:

如图4,在厶ABC中，/BAC=90

ABDF

求证：

一

ACAF'

3、等积过渡法（等积代换法）

思考问题的基本途径是：

用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。

例3:

如图5,在△ABC中，/ACB=90°,CD是斜边AB上的高,BE丄AG，垂足为E,交CD于点F.

求证：

CD2=DF-DG.

小结：

证明等积式思路口诀：

“遇等积，化比例：

横找竖找定相似;

不相似，不用急：

等线等比来代替。

同类练习：

1.如图，点D、E分别在边AB、AC上，且/ADENC求证：

（ADE^AACB;

（2）AD-AB=AE-AC.

2.如图，△ABC中，点DE在边BC上，且△ADE是等边三角形，/BAC=120求证：

（ADB^ACEA;

（2）DE2=BD-CE;

（3）AB-AC=ADBC.

3.如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点,

（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）

4.如图，ADABC中/BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线。

（此题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。

5.如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点（此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。

6.

如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点,

代可以解决。

）

7.如图，△ABC中，AB=AC点D为BC边中点,求证：

（1）BF=CF.

（2）BF2=FG・FE.

&如图，/ABC=90,AD=DB,DE!

AB,求证：

DC2=DE-DF.

ABCD为直角梯形，AB//CD,ABLBC,AC丄BD。

AD=BD,过

（1）AF=BE;

（2）AF2=AE-EC.

10.

AABC中，/BAC=90,AD丄BC,E为AC中点。

求证：

AB:

AC=DF:

AF。

11.已知，CE是RT^ABC斜边AB上的高，在EC延长线上任取一点

CE于点D.试证：

CE2=ED-EP.

（注：

此题要用到等积替代，将CE2用射影定理替代，再化成比例式。

七、证比例式和等积式的方法：

对线段比例式或等积式的证明：

常用三点定形法

或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比三角形来证明.

可用口诀：

遇等积，改等比，横看竖看找关系；平行线，转比例，等线等比来代替；

等线段替换法、中间比过渡法、面积法等.若比例式

转移”必要时需添辅助线），使其分别构成两个相似

三点定形用相似，三点共线取平截；

两端各自找联系，可用射影和园幕.

例1如图5在厶ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DF丄AB于F,交AC的延长线于H,交BE于G,求证：

（1）FG/FA=FB/FH

（2）FD是FG与FH的比例中项.

1说明：

证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似.找相似三角形用三点定形法（在比例式中,或横着找三点，或竖着找三点），若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等比代换

例2如图6,CABCD中，E是BC上的一点，AE交BD于点F，已知BE：

EC=3：

1,

S?

FBE=18,求：

（1）BF:

FD

（2）S?

FDA

2说明：

线段BF、FD三点共线应用平截比定理•由平行四边形得出两线段平行且相等，再由平截比

定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的平方，求出三角形的面积.

例3如图7在厶ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N.求：

AN:

AB的值；

EA

N

M

BDC

3说明：

求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡•当已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡.

例4如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE丄AC交AC于F,过F作FG//AB交AE于G.求证：

AG2=AF>FC

DEC

GF

4说明：

证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用三点定形法”确定要

证明的两个三角形相似.、

例5如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD=AC,DE丄BC,交AB于点E,EC交AD于点F.⑴求证：

△ABCFCD;

（2）若fcd=5,BC=10,求DE的长.

A

E

5说明：

要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似.再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长.

例6如图10过厶ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E.过点D作DM//FC交AB于点M.⑴若Saaef:

S四边形MDEF=2:

3,求AE：

ED;

（2）求证：

AEXFB=2AF>€D

图

6说明：

由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到两线段的比•注意平截比定理的应用.

例7己知如图11在正方形ABCD的边长为1,P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时,△ADP与厶QCP相似？

B图11QC

7说明：

两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系•然后再确定顶点P所在的位置•本题是开放

性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解.

例8己知如图12在梯形ABCD中，AD//BC,/A=900,AB=7,AD=2,BC=3.试在边AB上确

定点P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似.

A

C

8说明：

两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系•然后再确定顶点P所在的位置•本题有多个

位置，应注意计算，严防漏解.

例11.如图，已知△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，CF//BA,BF交AD于P点，交AC于E点。

求证：

BP2=PE•PF。

11分析：

因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因

为AB=AC,D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC,由线段

垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明△PECs^PCF,问题就能解决了。

例12.如图，已知：

在△ABC中，/BAC=900,AD丄BC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于ASDF

F。

求证：

…-」。

I-

12分析：

比例式左边AB,AC在厶ABC中，右边DF、AF在厶ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。

通过证明两套三角形分别相似证得结论。

:

.

八、确定证明的切入点。

几何证明题的证明方法主要有三个方面。

第一，从"已知”入手，通过推理论证，

得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”；第

三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。

九、相似三角形中的辅助线

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。

主下几种：

一、作平行线，一—.

例1.如图，ABC的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE，DE延长线与BC延长线相交于

BFBD

F，求证：

CFCE

例2.如图，△ABC中，AB

AB•DF=AC•EF。

例6:

如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E,交AB于F,求证：

AE:

ED=2AFFB。

二、作延长线

例7.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F,FGAB于

2

G，求证：

FG=CF?

BF

AF丄人。

例8.如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，3，连E、F交AC于G.求AG:

AC的值.

三、作中线

例10:

已知：

如图，△ABC中，AB=AC,BD丄AC于D.求证：

BC2=2CD•AC.

1说明

（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法,并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边.

（2）要说明线段的乘积式abcd，或平方式a2be，—般都是证明比例式,

再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.

2.如图，矩形ABCD中，AD3厘米，ABa厘米（a3）.动点M,N同时从B点出发，分别沿

BA,BC运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB,分别交AN,CD于P,Q.当点N

到达终点C时，点M也随之停止运动•设运动时间为t秒.

（1）

若a4厘米，t1秒，贝UPM厘米；

（2）若a5厘米，求时间t,使△PNBPAD，并求出它们的相似比;

（3）

若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求t（用表示）

C

N11

B

3.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从

BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

（2）设厶BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

4.如图（10）所示：

等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线BiCi丄AC于Ci交AB的延长线于Bi.

⑴请你探究：

些CD,如CD错误!

未指定书签。

是否都成立？

ABDBARDBi

5.如图12,在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16,点D与点A关于y轴对称，AB:

BC=4:

3，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且/CEF=/ACB.

（1）求AC的长和点D的坐标；

（2）说明△AEF与厶DCE相似；

1

6.如图，在Rt△ABC中，/B=90°,AB=1,BC=-，以点

2

以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E.

（1）求AE的长度；

（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点设EF交弧DE所在的圆于点G,连接AG,试猜想/EAG

7.如图

（1）,△ABC与厶EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=定厶ABC,将厶EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G

（1）问：

始终与△AGC相似的三角形有及

（2）设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式（只要求根据

8.

/

4

珀/BAC=^DE

90。

，固

•不考虑旋转开始和

结束时重

、H点，如图（2

J理由）；

\

Hef

>/<

如图8,AABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M.

（1）求证：

処匹

ADBC

（2）求这个矩形EFGH的周长.

9.

（1）如图1,在厶ABC中，点D,E,Q分别在AB,AC,BC上，且DE//BC,AQ交DE于点P.求

DPPE

证：

BQQC

（2）如图，在△ABC中，/BAC=90°正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG,AF分别交

DE于M，N两点.

①如图2,若AB=AC=1,直接写出MN的长；

10.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点.且满足AD=AB,ZADE=ZC.

（1）求证：

/AED=/ADC，/DEC=/B;

（2）求证：

AB2=AE?

AC.

11•学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。

（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”类似地，你可以等到：

“满足，或，两个直角三角形相似”。

（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足

的两个直角三角形相似”。

请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。

已知：

如图，。

12.如图，在△ABC中，/C=90°,AC=8,BC=6.P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N.设AP=x.

⑴在厶ABC中，AB=▲;

（2）当x=▲时，矩形PMCN的周长是14;

⑶是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？

请说出你的判断，并加以说明.

13•如图，已知△ABCa1B1C1，相似比为k（k1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（abc）,

△A]BiG的三边长分别为3|、D、C|。

⑴若cai，求证：

akc；

⑵若cai，试给出符合条件的一对△ABC和厶ABiG，使得a、b、c和印、b、Ci进都是正整数，并

加以说明；

⑶若bai，cbi，是否存在△abc和厶ABC1使得k2?

请说明理由。

A

（如图8所示）.

（i）当AD=2且点Q与点B重合时（如图9所示），求线段PC的长;

3

（2）在图8中，联结AP•当AD—,且点Q在线段AB上时，设点BQ之间的距离为x,

2

16.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C,ZDME=ZA=ZB=a,且DM交AC于F,ME交BC于G.

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

（2）连结FG,如果a=45°,AB=4.2,AF=3,求FG的长.

17.如图1,在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A的坐标为（8,0），直线BC经过点B（8,6）,C（0,6）,

将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形OABC，此时直线OA、直线BC分别与直

线BC相交于点P、Q.

BP

（1）四边形OABC的形状是当90°时，竺的值是;

BQ

Bp

（2）①如图2，当四边形OABC的顶点B落在y轴正半轴时，求的值;

BQ

②如图3，当四边形OABC的顶点B落在直线BC上时，求AOPB的面积.

yB

BAC

Q

P

C

AO

x

（图2）

（图3）

A

B（Q）

P

（第10题）

O

（备用图）

18.如图，在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设

AP=x，现将纸片折叠，使点

D与点P重

合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

（1）当X=0时，折痕EF的长为#

当点E与点A重合时，折痕EF的长为#

（2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长;温馨提示：

用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！

第（3）題吊

19.正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，

（1）

证明：

Rt△ABMsRt△MCN;

（2）设BMx,梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；；

（3）当M点运动到什么位置时RtAABMsRtAAMN，求x的值.

20•如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G•求证：

GEGD-

CEAD3

A

BC

D

（第21题）